Задачи, тесты

Две задачи о вращающихся телах

А.А.КНЯЗЕВ,
СГУ им. Н.Г.Чернышевского, Лицей прикладных наук, г. Саратов

knf@sgu.ru

Две задачи о вращающихся телах

Недавно в одной в целом очень хорошей статье мне встретилось описание ситуации, где хоккейная шайба скользит по льду, имея горизонтальную начальную скорость, и ещё вращается вокруг своей оси. В задаче вычислялось расстояние, которое пройдёт незакрученная шайба до остановки при известном коэффициенте трения. Это расстояние сравнивалось затем с бльшим расстоянием, на которое уходит закрученная шайба. Эффект сам по себе известный – нетрудно убедиться. Известны и задачи, в которых предлагается определить время остановки закрученного на шероховатой поверхности диска. Однако в решении таких задач используется операция интегрирования, которая на первых стадиях изучения настолько завораживает студента или школьника, что вопросы о физической сущности явления уходят на далёкий задний план. Вот и здесь при объяснении эффекта появилось утверждение о том, что «при вращении шайбы сила трения уменьшается». Решения для расчёта пути закрученной шайбы в заметке не приводилось, поскольку тема была адресована младшим школьникам.

Любой преподаватель знает, как глубоко впечатываются в сознание ребенка знания, полученные в младших классах. Любая неточность исправляется затем в старших классах (и даже в университете) с огромным трудом – не помогают ни изучение теории, ни авторитет нового преподавателя. Примеров – множество. Попробуйте переубедить ученика, а порой уже и учителей (!), в том, что не имеет смысла термин «центростремительная сила», что сила тяжести в отличие от силы гравитационного притяжения не равна mg (на любой широте!), что нарушают логику физики утверждения о существовании релятивистской массы тела и массы фотона. Куда там! Даже задачники и тесты заставляют наших школьников (в том числе и тех, кто прошёл через хорошие физматшколы) вычислять именно эти величины, которых нет ни в одном серьёзном курсе теоретической физики. Думаю, ответственность за это во многом лежит на учителях и на авторах учебников. Порой эти авторы – признанные авторитеты в одной из многочисленных областей физики, но не занимающиеся серьёзно преподаванием и обсуждением всех разделов по причине увлечённости своими делами и идеями. Однако вернёмся к вращающейся шайбе и подробнее рассмотрим этот вопрос, прежде чем говорить младшим школьникам об эффекте зависимости силы трения от скорости в данном явлении скольжения вращающейся шайбы.

• Прочному плоскому обручу радиусом R =1 м, находящемуся на горизонтальной поверхности с коэффициентом трения µ = 0,1, сообщается скорость ₀ = 10 см/с вдоль поверхности и вращение с частотой = 100 об/с вокруг оси, проходящей через центр обруча перпендикулярно поверхности. Сколько времени t потребуется обручу, чтобы удалиться на расстояние s₁ = 10 см от начального положения? Оцените, на какое максимальное расстояние s₂ удалится обруч. Обруч равномерно прилегает к поверхности. Масса обруча M = 1 кг. (Впервые автор обсуждаемой заметки встретился с этой задачей, кажется, на Соросовской олимпиаде.)

Решение первой части задачи уже приводилось в лекции № 4 моего дистанционного курса (см. «Физика (ПС)» № 20/2006). Напомним его, поскольку вторая часть является логическим продолжением первой.

1. В случае скольжения без вращения это расстояние определилось бы по известной формуле равнопеременного движения: Как видим, расстояние, которое пройдёт обруч от лёгкого толчка, невелико, – обруч тяжёлый, а начальная скорость ничтожна.

Что же изменит дополнительное вращение вокруг оси? Здесь стоит обратить внимание школьников на векторную запись силы трения скольжения   где N – сила нормального давления, действующая на тело со стороны поверхности, – скорость относительного движения тела по поверхности. Разделим мысленно кольцо на одинаковые малые элементы m и определим ускорение поступательного движения центра масс кольца:

Отсюда, принимая во внимание большое различие в скорости поступательного движения кольца ₀ (несколько см/с) и линейной скорости вращения u = R = 2R 630 м/c, получим:

Здесь использовано, что u ₀, а также то, что в силу симметрии

Итак, вращаясь, кольцо движется на начальном этапе с малым замедлением, и его координата изменяется по закону   а значит, расстояние s₁ оно пройдёт за время t 1 с. Это время определяется скоростью поступательного движения кольца.

Заметим, что никакого ослабления силы трения нет, – её значение не изменяется в широком диапазоне скоростей движения. Данное явление можно назвать не ослаблением силы, а её компенсацией по направлениям на противоположных участках вращающегося тела. Сейчас мы подадим эту идею более ярко, перейдя ко второй части задачи.

2. Для оценки времени полной остановки кольца удобно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии кольца, учитывая, что его кинетическая энергия может быть представлена суммой энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кёнига), а работа совершается силами трения, действующими на каждый элемент кольца и направленными против движения каждого элемента:

где

Именно здесь важно, что вращающуюся шайбу мы заменили кольцом, иначе бы пришлось суммировать ещё и по кольцам. Заметим, что
s_iвращат s_iпоступ, и тогда предыдущей записи можно придать вид:

(Здесь нужно подчеркнуть, что полученное равенство относится к короткому интервалу времени t 0. Поэтому для оценки времени до полной остановки перепишем это равенство в виде

откуда получаем  – Ред.)

Теперь видно, что время до полной остановки определяется только линейной

скоростью вращения. Можно оценить и расстояние, которое кольцо будет скользить до полной остановки с равномерно убывающей от ₀ до нуля скоростью поступательного движения: s₂ = ₀t/2 30 м. Поразительная разница в результате – вращающееся кольцо уходит на расстояние, в тысячи раз большее (конечно, при таких численных данных)!

Итак, сила трения не уменьшилась. Энергия, необходимая для преодоления работы силы трения, на столь длинном пути, не стала меньше. Она была сообщена при мощном закручивании обруча до окружной скорости u = 630 м/с! Мы даже сэкономили бы в энергетике броска, если бы затратили энергию на сообщение обручу только поступательной начальной скорости около 8 м/с, достаточной для прохождения 30 м – без подкручивания.

Впрочем, об эффективном (формальном) ослаблении коэффициента трения при быстром вращении говорить всё-таки можно. Из сравнения формул и a = µg видно, что

Согласимся, однако, и с тем, что нужно оговаривать, какой смысл содержится в подобном заявлении об «уменьшении» силы трения.

Если решение предыдущей задачи показалось слишком формализованным, то для закрепления впечатления от встретившегося нам явления компенсации рассмотрим ещё одну задачу на эту же тему:

• Узкая длинная линейка длиной L = 20 см и массой 20 г лежит на горизонтальном столе, равномерно прилегая к его поверхности. К одному концу линейки прикладывают горизонтальную силу, перпендикулярную её оси, и увеличивают силу, пока линейка не начинает поворачиваться, проскальзывая по поверхности стола. При каком значении силы это произойдёт? Вокруг какой точки будет происходить поворот? Коэффициент трения µ = 0,05. (М.Ермилов, «Квант», 1996, № 5.)

Ясно, что скольжения линейки не будет, пока внешняя сила не превысит значения F = µgM. Но здесь речь идёт не о скольжении всего тела, а только о начале его поворота вокруг одной из точек, которая остаётся неподвижной. Поэтому значение критической силы может оказаться меньше. Построим модель явления. Пусть неподвижная точка существует. С первого взгляда, может показаться, что эта точка – центр масс. Однако в этом любого разубедит даже наскоро поставленный эксперимент, да и обоснования в пользу такого утверждения привести трудно – их нет*. При подробном рассмотрении видно, что в ответ на действие силы F в системе возникают распределённые силы противодействия – силы трения f_i на каждом из участков линейки. Так, если длина каждого участка x, то

Видно и то, что все силы на участке длиной a от левого края до неподвижной точки оказываются скомпенсированными такими же по модулю силами на участке той же длины, но справа от неподвижной точки. Оставшиеся силы на правом участке длиной (L – 2a) противодействуют силе F. Характерно, что силы трения частично компенсируются при вычислении равнодействующей, тогда как моменты этих сил складываются, не компенсируя друг друга (ср. с анализом предыдущей задачи).

Для получения количественн ого решения и определения критической силы запишем условия равновесия. Это будет, во-первых, условие равенства нулю суммы сил: И во-вторых, условие равенства нулю суммы моментов сил:

Подставляя значение силы во второе уравнение, получаем условие для определения значения расстояния a до неподвижной точки:

откуда следует физическое решение:

Теперь можно определить и значение критической силы

Как видим, сила, необходимая для поворота линейки, в два с лишним раза меньше силы, требуемой для поступательного смещения линейки на этом же столе.

Эта задача есть и в более сложном варианте, для треугольной пластины, правда, с закреплённой осью вращения. Красивое решение без интегрирования, основанное на методе размерности и подобия, дал С.Муравьёв (журнал «Квант», 2005, № 1).

А что же с зависимостью силы сухого трения от скорости? Она действительно существует, правда, очень слабая – только в районе малых скоростей, когда шероховатости ещё упруго сопротивляются изгибу и сдвигу. Эта зависимость в самых общих чертах задаёт коэффициент трения обратно пропорциональным корню кубическому из модуля относительной скорости – закон Томпильсона.

Например, он важен для понимания звучания скрипки, скрипения двери и т.п., в случаях, где скорость движения мала (быстро открываемая дверь уже не скрипит). А в разобранных здесь задачах мы использовали закон Кулона–Амонтона, в соответствии с которым коэффициент трения скольжения считается постоянной величиной. Другое дело, что этот коэффициент меньше коэффициента трения покоя. Однако, если уж тело движется, то с коэффициентом трения, который одинаков для всех скоростей и для любого типа движения, не только для вращения.

Наконец, заметим, что данные для движения обруча взяты экстремальные, – это для того, чтобы облегчить расчёт и усилить разницу между большими и малыми сравниваемыми слагаемыми. Если взять близкие к реальным данные для хоккейной шайбы (масса 150 г, радиус 37 мм, начальная скорость скольжения около 15 м/с, частота вращения около 10 об/с), то механизм явления сохранится, но результаты сравнения не получатся такими впечатляющими, а вот решение станет более сложным, т.к. придётся учитывать все слагаемые.

Знаю, что такие практичные объяснения, даже сделанные на качественном уровне, захватывают воображение младшего школьника красотой действия обыкновенных законов физики в необыкновенных явлениях природы, происходящих не где-то в лабораториях заокеанских учёных, а на наших глазах! Заодно станет понятнее представление о результирующей силе в законах Ньютона.

___________________________

*Верно, что сложное движение свободного твёрдого тела (при отсутствии закреплённых точек) может рассматриваться как сумма поступательного движения центра масс и вращения вокруг центра масс. Отсюда, однако, не следует, что центр масс всегда является неподвижной точкой. Так, у катящегося колеса мгновенной неподвижной точкой является точка касания с поверхностью качения.