Эксперимент

Биения. 11-й класс

Е.М.РАВОДИН,
школа № 2, г. Прокопьевск,
Кемеровская обл.

ravodin@bk.ru

Биения

Компьютерная поддержка. 11-й класс. Профильный курс

Напоминаем учащимся, что колебания подчиняются принципу суперпозиции. Значит, смещение точки, оказавшейся под воздействием двух колебаний, происходящих вдоль одной оси, равно алгебраической сумме смещений каждого колебания.

Рассмотрим случай сложения двух гармонических колебаний, которые мало отличаются по частоте: x₁ = A₁cos ₁t и x₂ = A₂cos ₂t, где А₁, А₂, ₁ и ₂ – соответственно их амплитуды и циклические частоты, причём || = |₂ – ₁| – очень малая величина. Найти результат сложения, т.е. рассчитать результирующее смещение Х = x₁ + x₂ можно так, как это описано, например, в учебнике Б.М.Яворского и А.А.Пинского «Основы физики», т. 2 (М.: Наука, 1974, с.18), а можно более наглядно и быстро с помощью созданной мною компьютерной программы skxxwd (cайт http://ssmu.ru/er/, раздел «Колебания», бесплатно).

Рассмотрим подробнее последний вариант. Программа skxxwd позволяет складывать колебания методом векторных диаграмм. Запустив программу, вводим через пробел начальную фазу, амплитуду и частоту первого колебания (например: 30 100 0.3). Нажав «Enter», видим на дисплее вектор, выражающий амплитуду первого колебания, наклонённый к оси Х под углом 30°. Вводим параметры второго колебания, у которого частота немного отличается от частоты первого (скажем, 90 150 и 0.28). Появляется второй вектор, отличающийся от первого по модулю и составляющий с ним угол 60°. Нажав пробел, наблюдаем вектор суммарного колебания, выделенный красным цветом. Следующий нажим пробела приводит к тому, что векторы начинают вращаться – каждый со своей угловой скоростью, равной круговой частоте колебаний. В результате амплитуда результирующего колебания периодически изменяется от суммы аплитуд складываемых колебаний (при совпадении фаз) до их разности (при противофазе). Поскольку частоты (а значит, и круговые частоты ₁ и ₂) почти одинаковы, то вращение результирующего вектора происходит с угловой скоростью _р ~ ₁~ ₂ . Итак, результирующее колебание происходит с угловой частотой и с периодически меняющейся амплитудой. Такое явление называется биениями. Из динамичной картинки на экране очевидно, что период изменения амплитуды результирующего колебания (т.е. время, в течение которого более быстрый вектор, совершив полный оборот 2 радиан относительно более медленного, догонит его) Т_р= 2/(₁ – ₂). Отсюда ₁ – ₂ = 2 / Т_р = _р, т.е. биения происходят с частотой, равной разности частот складываемых колебаний.

Соответствующие графики продемонстрирует другая программа, skxx-fur (см. там же). Выбрав в меню пункт 1, наблюдаем на экране графики двух колебаний с мало отличающимися частотами и их уравнения (экранная копия внизу слева). Нажав клавишу «пробел», видим результат их сложения – биения, т.е. колебания с периодически меняющейся амплитудой (экранная копия внизу справа).

Если в кабинете имеются два звуковых генератора с динамиками, то полезно показать биения звуковых колебаний. Для этого устаналиваем звуки с близкими частотами (например, 440 и 445 Гц) и слышим биения частотой 5 Гц. Сблизив частоты (доведя частоту второго колебания, к примеру, до 442 Гц), явственно наблюдаем уменьшение частоты биений.

При наличии микрофона и осциллографа процесс можно визуализировать: микрофон подключаем к Y-входу осциллографа, установив его наибольшую чувствительность и частоту развёртки 440 Гц. В соответствии с вариациями громкости наблюдаем изменение амплитуды на экране осциллографа.

Можно демонстрировать биения звуковых колебаний и при отсутствии звукового генератора. Берём два одинаковых камертона от прибора для демонстрации звукового резонанса (их собственные частоты 440 Гц) и на кончик ветви одного из них приклеиваем кусок пластилина массой 300 мг, – частота колебаний уменьшается приблизительно до 438 Гц. Заставив теперь звучать оба камертона одновременно, отчётливо слышим биения. Увеличив массу пластилина до 600 мг, ещё уменьшаем его частоту и отчётливо регистрируем на слух или по осциллограмме увеличение частоты биений.

В заключение полезно рассказать учащимся, что явление биений используется при настройке музыкальных инструментов. Настройщик заставляет одновременно звучать настраиваемую струну и эталонный камертон. Отсутствие биений указывает на то, что струна настроена правильно. Если биения слышны, то мастер, натягивая или ослабляя струну, добивается прекращения биений.

Наличием биений объясняется дребезжащий звук расстроенного фортепьяно. Высокие звуки в этом инструменте излучаются не одной струной, а несколькими, одновременно звучащими в унисон. Если какая-то струна колеблется не с той частотой, что остальные, то появляются биения, которые слушатели воспринимают как дребезжание.

Биения наблюдаются и в природе, например, периодическое усиление и ослабление волн во время бури. Моряки верят, что самым страшным является девятый вал, что отразил в своей знаменитой картине великий русский маринист И.К.Айвазовский.