В.Б.ДРОЗДОВ, г. Рязань

Период гармонических колебаний

В учебнике «Физика-11» (Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев. – М.: Просвещение, 2004) дан вывод формулы Томсона основанный на постоянстве полной электромагнитной энергии колебательного контура. Представляет интерес применить этот метод к различным колебательным системам, в которых происходят свободные незатухающие гармонические колебания, для определения периода этих колебаний. Данный способ позволяет получить дифференциальное уравнение колебаний откуда следует формула для периода колебаний При этом достигается единообразие в решении различных задач на определение периода колебаний, а также достигается элементарное решение ряда задач. Становится возможным, не выходя за рамки школьного курса, определить период колебаний некоторых физических маятников. Такого рода задачи предлагаются на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по физике. Рассмотрим конкретные примеры.

1. Математический маятник.

Пусть – мгновенное значение скорости маятника, соответствующее отклонению нити от вертикали на угол . Тогда кинетическая энергия маятника потенциальная энергия

E_p = mgl(1 – cos ).

По закону сохранения энергии,

Дифференцируем равенство по времени t, учитывая что Так как ' = 0 лишь в моменты максимального отклонения маятника от положения равновесия, то – дифференциальное уравнение движения математического маятника. Пусть 1, значит, sin . Тогда из уравнения гармонических колебаний получим период

Рассмотрим маятник, несущий электрический заряд q₁, если в точку подвеса помещён заряд q₂. Имеем:

Слагаемое

не зависит от времени, следовательно, получится такое же уравнение колебаний, что и для незаряженного маятника. Поэтому период колебаний от зарядов q₁ и q₂ не зависит.

2. Физический маятник. Физический маятник – это твёрдое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Масса маятника m, момент инерции относительно оси J. Расстояние между центром масс маятника C и точкой подвеса O равно d.

Пусть – мгновенное значение угловой скорости маятника, соответствующее отклонению отрезка OC от вертикали на угол . По закону сохранения энергии,

Дифференцируем это равенство по времени t, учитывая, что = '. В результате имеем дифференциальное уравнение колебаний:

а для малых углов – уравнение гармонических колебаний с периодом

3. Задача Ф 477 («Квант», 1977, № 9).

Резиновое кольцо массой M лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Кольцо немного растягивают так, что оно сохраняет форму окружности и центр его остаётся неподвижным. После этого кольцо отпускают. Опишите дальнейшее поведение кольца. Коэффициент упругости резинового жгута равен k.

Решение. Пусть на рисунке x – мгновенное смещение элементов кольца от положения равновесия, соответствующее скорости этих элементов. Так как все элементы кольца движутся с одной и той же скоростью, то его кинетическая энергия E_k = M²/2.

Поскольку кольцо растянуто на 2x, то его потенциальная энергия По закону  сохранения энергии,

 

Дифференцируем это равенство по времени, принимая во внимание, что = x'. Получим: – уравнение гармонических колебаний с периодом

4. Задача Ф 380 («Квант», 1976, № 2).

Найдите период малых колебаний системы из двух жёстко скреплённых под прямым углом стержней с шарами на концах. Стержни считать невесомыми, их длины l₁ и l₂, массы шаров m₁ и m₂.

Решение. Определим угол , который образует стержень l₂ с вертикалью в положении равновесия, исходя из того, что в состоянии равновесия потенциальная энергия системы минимальна: откуда m₁gl_lsin + m₂gl₂cos = max.

Применяя формулу

получим: минимум потенциальной энергии системы будет при

         (1)

Кинетическая энергия колебательной системы

где – угловая скорость вращения стержней l₁ и l₂ вокруг точки O. Пусть 1 рад – угол, на который отклонились стержни от положения равновесия, тогда потенциальная энергия системы

E_p = m₁gh – m₁gl₁ + m₂gh – m₂gl₂cos( + ) = (m₁ + m₂)gh – g[m₁l₁sin( + ) + m₂l₂cos( + )] =

= (m₁ + m₂)gh –

С учётом равенства (1) имеем:

E_p = (m₁ + m₂) gh –

Закон сохранения энергии даёт уравнение

откуда при 1 получим уравнение гармонических колебаний:

Период колебаний

Энергетический метод позволяет упростить элементарное решение задачи (без использования формулы для периода колебаний физического маятника). Наиболее же простое решение получится, если применить формулу

5. Циклоидальный маятник.

Рассмотрим материальную точку, скользящую без трения по траектории, имеющей форму одной арки циклоиды, обращённой выпуклостью вниз. Параметрические уравнения циклоиды:

По закону сохранения энергии,

где и h – соответствующие дуге s скорость точки и её высота над осью абсцисс. Длину дуги s отсчитываем от положения равновесия точки на циклоиде.

Скорость точки  = s'. Из системы уравнений нетрудно получить h = s²/(8a). Тогда Из последнего уравнения имеем: – уравнение гармонических колебаний с периодом

КОММЕНТАРИЙ РЕДАКЦИИ: «Так ли уж „нетрудно” получить?»

Задав циклоиду в параметрическом виде

x = a(t – sin t),

y = a(1 + cos t).

вычислим длину дуги циклоиды от её нижней точки до точки, где у = h, лежащей левее нижней точки (в точности, как у автора). Сведения из математического анализа дают рецепт:

где ₀ = отвечает нижней точке циклоиды, < отвечает точке циклоиды, в которой y = h;

В таком случае

Как мы договорились выше, y() = a(1+cos) = h. Поэтому

В итоге как и обещал любезный автор. И никаких особенных умений не нужно. Какой-то вузовский курс матанализа плюс некие навыки нехитрого интегрирования. И вот: не прошло и получаса, как ответ готов.

Мы в редакции будем весьма признательны автору, если он пришлёт нам вычисления, которые действительно покажут, что ответ в задаче «нетрудно получить».

В.Г.ГРИБОВ, к.ф.-м.н.,
доцент физфака МГУ им. М.В.Ломоносова