А.Н.ДОЛГУШИН,
МОУ СОШ № 23, г. Воскресенск, Московская обл.

Геометрический смысл и графическая интерпретация физических величин, формул, законов

Элективный курс «Практикум решения физических задач», 9-й–11-й классы. Профильный уровень

При изучении теоретического материала на уроках физики мы часто обращаемся к математическому описанию рассматриваемого объекта. В кинематике графическое представление механического движения материальной точки облегчает понимание содержания условия задачи; в динамике графическая интерпретация второго закона Ньютона в импульсной форме позволяет решать задачи, в которых действующая сила линейно зависит от времени; в молекулярной физике графическая интерпретация газовых законов занимает лидирующую позицию; в термодинамике геометрический смысл работы идеального газа облегчает расчёт КПД замкнутого цикла; в электродинамике внешний вид ВАХ исследуемого элемента электрической цепи позволяет классифицировать его по типу электропроводимости. Кроме того, последнее время в КИМах для проведения ЕГЭ появилось много заданий с графическим содержанием.

В связи с этим целесообразно при рассмотрении теоретического материала особое внимание уделять графической интерпретации и геометрическому смыслу физических величин, формул, законов. В качестве примера рассмотрим содержание одного из занятий курса «Практикум решения физических задач». Отметим, что знак равенства в формулировке геометрического смысла означает равенство числовых значений.

КИНЕМАТИКА

Прямолинейное равномерное движение материальной точки

• Путь

При прямолинейном равномерном движении материальной точки пройденный путь численно равен площади прямоугольника

 

Пример задачи.

На графике изображена зависимость проекции скорости тела, движущегося вдоль оси X, от времени. Чему равен модуль перемещения и пройденный телом путь за 10 с?

Решение.

Для нахождения пройденного за 10 с пути используем его геометрический смысл, т.е. вычисляем площади выделенных прямоугольников, а затем складываем.

Для нахождения модуля перемещения за 10 с учитываем, что площадь (серая), расположенная ниже оси абсцисс (времени), является отрицательной.

• Скорость

При прямолинейном равномерном движении материальной точки числовое значение скорости прямо пропорционально тангенсу угла наклона графика зависимости координаты от времени к оси времени.

Пример задачи.

Какой из графиков соответствует равномерному прямолинейному движению материальной точки с наибольшей скоростью? c наименьшей скоростью?

Решение.

Сравнивая углы наклона графиков к оси абсцисс (времени), делаем вывод: график 1 соответствует равномерному прямолинейному движению материальной точки с наибольшей скоростью, график 3 – с наименьшей.

Прямолинейное равноускоренное движение материальной точки

• Мгновенная скорость

При прямолинейном равноускоренном движении материальной точки из состояния покоя с неизменным по модулю и направлению ускорением мгновенная скорость (в данный момент времени и в данной точке траектории) численно равна площади прямоугольника.

Пример задачи [2]. Винни-Пух висит на воздушном шарике на некоторой высоте. Пятачок стреляет в шарик из ружья и пробивает его. Винни-Пух падает вниз с ускорением свободного падения g = 10 м/с². Через 2 с Винни-Пух шлёпается на землю. Найдите скорость приземления Винни-Пуха.

Решение.

С учётом геометрического смысла мгновенной скорости площадь выделенного прямоугольника треугольника определяет её числовое значение: _мгн = 20 м/с.

• Путь

При прямолинейном равноускоренном движении материальной точки пройденный путь определяется площадью прямоугольной трапеции.

Пример задачи [3]. При остановке автобус за последнюю секунду проехал половину тормозного пути. Каково полное время торможения автобуса?

Решение.

Строим графическую зависимость скорости от времени. С учётом геометрического смысла пути при прямолинейном равноускоренном движении:

1. Площадь серого прямоугольного треугольника – половина тормозного пути, которую проехал автобус за последнюю секунду движения: s/2 = (  • 1 с)/2.

2. Площадь чёрной прямоугольной трапеции – первая половина тормозного пути, которую проехал автобус за (t – 1) секунд:

3. Площадь большого прямоугольного треугольника – весь тормозной путь автобуса за время t:

4. Из полученных формул выражаем начальную скорость ₀, скорость автобуса в начале последней секунды торможения , подставляем их в формулу площади прямоугольной трапеции. После математических преобразований получаем полное время торможения автобуса:

Пример задачи [XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Районный этап. 9-й класс, задача 1]. Тело движется вдоль оси Х со скоростью _x(t). Найдите по графику путь, который оно прошло к моменту времени t = 4 с, и среднюю скорость тела за 8 с движения. Известно, что график составлен из одинаковых дуг окружностей.

Решение. Учитываем геометрический смысл пути: «Путь определяется площадью фигуры, ограниченной графиком скорости и осью времени». Площадь одной ячейки S₀ = 2 м. Подобных ячеек к моменту времени 4 с получается две, следовательно, путь равен 4 м. Для определения средней скорости за 8 с подсчитывем путь за 8 с, который определяется площадью четырёх ячеек, т.е. равен 8 м. Поэтому средняя скорость составляет 1 м/с.

Пример задачи.

На рисунке приведён график зависимости скорости от времени движения материальной точки вдоль некоторой прямой. Определите среднюю путевую скорость этой точки за 8 с от начала движения. График считать половиной эллипса, опирающейся на его диаметр.

Решение. Пройденный путь в данном случае определяется половиной площади эллипса с заданными полуосями: а = _max, b = t₀/2;
S = (ab)/2; S = 37, 68 м.

Пример задачи [Дмитриев С.Н., Васюков В.И., Струков Ю.А. Физика. Сборник задач для поступающих в вузы. – М.: Демиург-Арт, 2001. 5-е, доп. изд.]. График зависимости скорости от времени имеет вид дуги эллипса, опирающейся на диаметр. Определите путь, пройденный за время Т.

Решение. Используем первый шаг предыдущей задачи. S = (uT)/4.

• Ускорение

При прямолинейном равноускоренном движении материальной точки числовое значение ускорения прямо пропорционально тангенсу угла наклона графика зависимости скорости от времени к оси времени.

Пример задачи.

Какой из графиков соответствует прямолинейному равноускоренному движению материальной точки с наибольшим ускорением? с наименьшим ускорением?

Решение.

Сравнивая углы наклона графиков к оси абсцисс (времени), делаем вывод, что график 1 соответствует прямолинейному равноускоренному движению материальной точки с наибольшим ускорением, а график 3 – с наименьшим.

ДИНАМИКА

• Второй закон Ньютона в импульсной форме

Изменение количества движения (импульса тела) определяется площадью фигуры – прямоугольника, если сила постоянна, и прямоугольного треугольника, – если сила зависит от времени линейно.

Пример задачи [1].

Какую скорость может сообщить футболист мячу при ударе, если максимальная сила, с которой он действует на мяч, 3,5 кН, а время удара 8 мс? Считайте, что сила во время удара нарастает и спадает по линейному закону. Масса мяча 0,5 кг.

Решение. С учётом графической интерпретации второго закона Ньютона в импульсной форме получаем:   Начальная скорость равна нулю, поэтому:

• Механическая работа

Механическая работа постоянной по модулю и направлению силы численно равна площади прямоугольника.

Механическая работа силы, величина которой зависит от модуля перемещения по линейному закону, численно равна площади прямоугольного треугольника.

Пример задачи [1]. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы втащить сани с грузом общей массой 30 кг на гору высотой 10 м? Угол наклона горы равен 30°. Коэффициент трения между санями и горой линейно убывает вдоль пути от 0,5 у подножия до 0,1 у вершины.

Решение.

Находим выражение для силы трения:

F_тр= µ • N; N = mg cos .

Строим графическую зависимость силы трения от пройденного пути. Используем теорему о кинетической энергии:

A_{всех сил} = W_k = 0;

A_F + A_Fтр + A_mg + A_N = 0,

Здесь:

A_F – минимальная работа, которую необходимо определить;

A_Fтр – работа силы трения, численно равная площади прямоугольной трапеции, взятой со знаком «–», т.к. сила трения направлена противоположно перемещению саней. Высота трапеции определяется длиной наклонной плоскости и выражается через её высоту и угол наклона: l = h/sin ;

A_mg – работа силы тяжести, её величина не зависит от формы траектории, т.к. сила тяжести потенциальна, и определяется выражением A_mg = –mgh, знак «–» означает, что проекция силы тяжести на направление перемещения саней отрицательна;

A_N – работа силы реакции опоры, равна нулю, т.к. сила реакции опоры направлена перпендикулярно перемещению саней.

A_min – S_{прямоуг.трапеции} – mgh = 0.

После преобразований получаем выражение для расчёта минимальной работы:

A_min = 4,5 кДж.

Механическая работа переменной силы численно равна площади криволинейной трапеции (вычисляется интегрированием).

Пример задачи [4]. Какую работу нужно совершить, чтобы переместить тело массой 1 кг из центра Земли на её поверхность? Плотность Земли считать постоянной.

Решение.

Если тело расположено внутри Земли на заданном расстоянии R от центра, то оно притягивается массой Земли, заключённой в сфере радиусом R. Поскольку, по условию задачи, предполагается, что плотность Земли постоянная величина, то имеет место равенство: _RЗ= _R. Отсюда

С учётом границ применимости закона всемирного тяготения

где g – ускорение свободного падения на поверхности Земли (10 м/с²), R_З = 6400 км – радиус Земли. Поскольку F_гр пропорциональна R, графическая зависимость имеет вид, показанный на рисунке.

Для вычисления работы используем геометрический смысл работы для данной задачи. С учётом полученной графической зависимости работа определяется площадью прямоугольного треугольника: A = (g • m • R_З)/2; A = 32 МДж.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Газовые законы

Пример задачи.

В сосуде, закрытом поршнем, находится идеальный газ. График зависимости давления газа от температуры при изменении его состояния представлен на рисунке. Какому состоянию газа соответствует наибольшее значение объёма?

Решение.

Строим семейство изохор. Используя уравнение Клапейрона–Менделеева в виде приходим к выводу: большему объёму соответствует изохора, идущая под меньшим углом к оси абсолютной температуры. Состояние идеального газа в точке D сооответствует наибольшему объёму.

Пример задачи.

По заданному графику циклического процесса с неизменной массой газа определите, в какой точке графика температура максимальна и чему она равна. Температура газа в состоянии 1 равна Т₀.

Решение.

Строим семейство изотерм. Используя уравнение Клапейрона–Менделеева в виде приходим к выводу: большей температуре соответствует изотерма, более удалённая от начала координат. Температура максимальна в точке 3. Для определения её значения используем объединённый газовый закон: T₃ = T_max = 12T₀.

Пример задачи [Ханнанов Н.К., Чижов Г.А., Ханнанова Т.А. Физика. Задачник для 10-го кл. для классов с углублённым изучением физики. – М.: Дрофа, 2004]. По заданному графику циклического процесса с неизменной массой газа определите, в какой точке графика объём минимален и чему он равен. Объём газа в состоянии 1 равен V₀.

Решение.

Строим семейство изохор. Используя уравнение Клапейрона–Менделеева в виде приходим к выводу:

меньшему объёму соответствует изохора, идущая под бльшим углом к оси абсолютных температур. В точке 2 объём минимален. Для определения его значения используем объединённый газовый закон: V₂ =V_min = V₀/3.

Работа газа

Пример 1 [4]. Некоторый газ расширяется от объёма V₁ = 1 л до V₂ = 11 л. Давление при этом изменяется по закону p = aV, где a = 4 Па/м³. Найдите работу, совершённую газом.

Решение.

Чтобы воспользоваться геометрическим смыслом работы газа, строим график процесса в координатах p, V.

A_газа = S_{прямоугольной трапеции} = 0,5 • (aV₂ + aV₁) • (V₂ – V₁) = 0,5a (V₂² – V₁²);   A_газа = 240 мкДж.

Пример 2 [4]. Газ расширяется от давления p₁ = 2 кПа до p₂ = 1 кПа по закону p = a – bV, где a = const, b = 0,5 Па/м³. Найдите работу, совершённую газом.

Решение.

Графическая зависимость давления от объёма имеет вид, изображённый на рисунке. V₁= (a – p₁)/b, V₂= (a – p₂)/b.

A_газа= S_{прямоугольной трапеции} = 0,5 • (p₁ + p₂) • (V₂ – V₁) = 0,5 (p₁ + p₂) • (p₁ – p₂)/b = 0,5 • (p₁² – p₂²)/b; A_газа= 3 МДж.

КОММЕНТАРИЙ РЕДАКТОРА: «Удивительное – рядом!»

1. Вернёмся к примеру 1 в разделе «Работа газа». Вычислим давление газа в начале и в конце его расширения: при V₁ = 1 л из условия задачи следует, что p₁ = aV₁ = 4 · 10^–3 Па; при V₂ = 11 л получаем p₂ = aV₂ = 44 · 10–3 Па. Вспомним, что нормальное атмосферное давление р_атм = 10⁵ Па. Значит, в задаче мы имеем дело с давлениями порядка 10^–7 р_атм. Это глубокий вакуум – удовольствие не из дешёвых. Зачем именно такие специфические цифры нужны в рядовой задаче?

2. А теперь обратимся к примеру 2 в том же разделе «Работа газа». Судя по условию задачи, давление газа при его расширении падает со скоростью 0,5 Па на кубометр увеличения объёма. Перепад давления составляет 1 кПа, поэтому объём должен возрасти на 2000 м³. Это немало. Для сравнения: объём обычной классной комнаты едва ли превосходит 200 м³. Итак, давление газа падает с 2% до 1% нормального атмосферного давления, при этом объём газа увеличивается на десяток с лишним классных комнат. Снаружи обычное атмосферное давление. Спрашивается, как спректировать строение, способное выдержать процесс, описанный в задаче?

В.А.ГРИБОВ, к.ф.-м.н.,
доцент физфака МГУ им. М.В.Ломоносова

 

Пример 3 [1]. Идеальный одноатомный газ в количестве моль расширяется по законам: 1) T = V ²; 2) p = V; 3) T = p². Во всех случаях = const > 0. Для каждого случая определите работу, совершённую газом при расширении от объёма V₁ до V₂.

Решение. В таких задачах важно установить, как давление идеального газа зависит от объёма, используя уравнение Клапейрона–Менделеева pV=RT, и представить полученную зависимость в координатах p, V. Получаем: 1) p = RV; 2) p = V; 3) p =V/(R). Во всех случаях давление газа прямо пропорционально объёму, поэтому работа газа с учётом её геометрического смысла численно равна площади прямоугольной трапеции: A = 0,5(p₁ + p₂)(V₂ –V₁).

Пример 4 [XXXVII всероссийская олимпиада школьников по физике, районный этап. 10-й класс, задача 4]. Определите количество теплоты Q, полученное идеальным газом за цикл в процессе 1-2-3-4-5-1. При выбранных на рисунке масштабах кривые 1-2, 2-3, 3-4, 4-5 являются одинаковыми дугами окружности.

Решение.

Используем 1-е начало термодинамики: Q = U + A_газа. Начальная температура совпадает с конечной (замкнутый цикл), следовательно,  U = 0 и Q = A_г. Для определения работы идеального газа используем её геометрический смысл: A_г = S_фигуры. Площадь одной ячейки S₀ = 20 Дж, всего ячеек, ограниченных замкнутым циклом, 4, поэтому Q = 80 Дж.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Электрический ток в жидкостях

Сила тока через электролит не зависит от времени и является постоянной величиной. Значит, величина заряда, прошедшего через электролит, определяется площадью прямоугольника.

Пример 1 [1]. Какой заряд Q проходит через электролитическую ванну за время t = 10 с, если сила тока за это время равномерно возрастает от нуля до I = 3 A? Определите массу меди, которая выделится при этом на катоде ванны, если электролитом является медный купорос. Масса грамм-атома меди A = 63,6 г/моль.

Решение.

График зависимости силы тока от времени имеет вид, показанный на рисунке. Величина заряда, проходящего через электролитическую ванну, определяется площадью прямоугольного треугольника: Q = It/2 = 15 Кл; m=AQ/(zF ) = 5 мг.

Пример 2 [1]. Какая масса металлического серебра выделится из раствора азотно-кислого серебра за 1,5 мин, если первые 30 с сила тока равномерно нарастала от 0 до 2 A, а затем поддерживалась неизменной? Электрохимический эквивалент серебра 1,12 • 10^–6 кг/Кл.

Решение.

Строим график зависимости силы тока от времени и определяем величину заряда как площадь прямоугольной трапеции:

q = 0,5I₀(2t₂ – t₁) = 150 Кл; m = 168 мг.

Пример 3 [1]. Определите массу меди, выделившейся из раствора CuSO₄ за 100 с, если сила тока, протекавшего через электролит, I = (5 – 0,02t) A, где t – время в секундах. Электрохимический эквивалент меди 0,33 • 10^–6 кг/Кл.

Решение.

Графическая зависимость величины тока от времени имеет вид, показанный на рисунке, и величина заряда определяется площадью прямоугольной трапеции: q = 0,5(I₀ + I₁) t = 400 Кл. Масса выделившейся меди m = 133 мг.

Приведём ряд заданий в общем виде, содержание которых также связано с тематикой занятия:

1.

По графику зависимости силы упругости пружины от величины её деформации определите жёсткость пружины или сравните жёсткости пружин:

tg =F_упр/x = k.

2.

По графику зависимости силы тяжести от массы тела определите ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты:

g = F_тяж/m.

3.

По графику зависимости модуля силы трения от модуля силы нормального давления определите коэффициент трения скольжения: µ = F_тр/N.

4.

По графику колебаний материальной точки определите амплитуду, период, частоту, круговую частоту колебаний и составьте уравнение колебаний.

5.

По графику зависимости температуры тела (с заданной удельной теплоёмкостью вещества) от подводимого к нему количества теплоты определите массу тела:

6.

По графику зависимости силы тока от напряжения на участке цепи с неизменным сопротивлением определите его величину или сравните величины сопротивлений:

tg  = I/U = 1/R.

7.

По графику зависимости магнитного потока, пронизывающего замкнутый проводящий контур, от времени определите интервалы времени, на которых возникающая в контуре ЭДС индукции принимает максимальное значение или равна нулю.

8.

По графику зависимости числа нераспавшихся ядер от времени определите период полураспада или сравните периоды полураспадов двух радиоактивных ядер.

И ещё одна интересная задачка (по аналогии с задачей 3 районного этапа XXXVI Всероссийской олимпиады школьников).

Давление идеального газа зависит от его плотности согласно внешнему контуру осьминога на приведённом рисунке. Определите точки, соответствующие максимальной и минимальной внутренней энергии.

Решение.

Выражение для внутренней энергии идеального газа имеет вид U = (i/2)RT, где i – число степеней свободы (для идеального одноатомного газа i = 3, для идеального двухатомного гназа i = 5). Следовательно, необходимо выяснить, что представляет собой изотерма в координатах p – . Для этого используем уравнение Клапейрона–Менделеева pV = RT/, поэтому в координатах p –  изотерма представляет собой прямую, проходящую через начало координат, причём тангенс угла наклона пропорционален абсолютной температуре.

Литература

1. Баканина Л.П., Белонучкин В.Е., Козел С.М. Сборник задач по физике: Для 10–11 классов с угл. изучением физики: Под ред. С.М.Козела. – М.: Вербум, 2003.

2. Вениг С.Б., Куликов М.Н., Шевцов В.Н. Олимпиадные задачи по физике. – М. : Вентана-Граф, 2005.

3. Марон А.Е., Марон Е.А. Физика-10: дидактические материалы: Изд. 2-е, стереотип. – М.: Дрофа, 2005.

4. Турчина Н.В. Физика: 3800 задач для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2000.