Продолжение. См. № 17, 18/07

В.В.МАЙЕР,
Гоу ВПО ГГПИ им. В.Г.Короленко, г. Глазов,
Республика Удмуртия

varaksina_ei@list.ru

Электростатика: элементы учебной физики

Лекция 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ

Закон взаимодействия электрических зарядов установлен Ш.Кулоном в 1785 г. Это фундаментальный закон электростатики, экспериментальное обоснование справедливости которого при изучении физики в школе совершенно необходимо. Разумеется, не нужно стремиться к излишней точности опытов, – это только усложнит экспериментальную установку и мало что добавит к убедительности обоснования закона Кулона. Лучше всего использовать такие эксперименты, которые каждый школьник сможет поставить у себя дома.

То, что это возможно, проверено нами непосредственно в школе. Один из выпускников Глазовского пединститута во время педагогической практики поставил перед десятиклассниками задачу изготовить простейшие электростатические динамометры и экспериментально проверить закон Кулона дома. Весь класс с большим интересом провёл соответству­ющие исследования. У каждого школьника получился свой прибор и свои результаты эксперимента, но все они в пределах погрешности подтвердили справедливость закона Кулона.

При изучении закона Кулона особое внимание следует обратить на формирование понятий точечного заряда и бесконечности. В теории всё просто: нет школьника, который, представляя себе точку, не сумел бы представить, что к тому же она имеет массу или заряд. Плохо то, что мно­гие школьники убеждены в реальном существовании материальных точек и точечных зарядов. Примерно так же дело обстоит и с бесконечностью. Утверждая, что заряды взаимодействуют на любом как угодно большом расстоянии между ними, мы формируем у школьников представление об унылом плоском мире, в котором длятся и длятся, никогда не кончаясь, электрические и другие поля. В действительности реальная бесконечность всегда конечна.

Поэтому экспериментальное обоснование закона Кулона должно сформировать у учащихся соответствующие теории и эксперименту понятия точечности заряда и бесконечно большого расстояния между зарядами. Это формирование наиболее успешно произойдёт в процессе самостоятельных экспериментальных исследований учащихся.

3.1. Опыты Кулона. Разберёмся в физической сущности опытов Кулона. Использовавшаяся учёным экспериментальная установка схематически изображена на рисунке.

Главным её элементом являются крутильные весы. Это лёгкое коромысло на тонкой упругой нити. Верхний конец нити прикреплён к втулке, снабжённой указателем и шкалой. К нижнему концу нити прикреплено коромысло из диэлектрика, на одном конце которого находится лёгкий проводящий шарик 1, а на другом — противовес. Два точно таких же шарика 2 и 3 укреплены на изолирующих подставках. Возле коромысла имеется вторая шка­ла, непосредственным измерением по которой можно убедиться, что угол закру­чивания нити пропорционален силе, действующей на шарик.

Основной опыт Кулона заключался в следующем. Он зарядил шарик 2 и прикоснулся им к шарику 1. Заряды распределились на шариках поровну, и шарики, получив одноимённые заряды некоторой величины q, оттолкнулись друг от друга и разошлись на расстояние r. При этом нить закрутилась на некоторый угол , пропорциональный силе электрического отталкивания f.

За втулку Кулон поворачивал верхний конец нити в противоположном направлении так, чтобы расстояние между шариками уменьшалось в 2, 3, 4, ... раза, и обнаружил, что угол закручивания нити, а следовательно, сила, увеличивались соответственно в 4, 9, 16, ... раз. Отсюда он сделал вывод, что сила взаимодействия заряженных шариков обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: f ~ 1/r².

Прикоснувшись к шарику 2 незаряженным шариком 3, Кулон уменьшил заряд шарика 2 в два раза. Повторяя описанный опыт, он обнаружил, что сила взаимодействия уменьшилась в два раза и осталась обратно пропорциональной квадрату расстояния между зарядами. Разрядив шарик 3 и вновь коснувшись им шарика 2, он уменьшил заряд последнего в 4 раза по сравнению с первоначальным, и т.д. Из этой серии опытов Кулон заключил, что сила взаимодействия пропорциональна произведению зарядов тел: f ~ q₁q₂.

Наконец, Кулон заметил, что если расстояние между заряженными шариками мало, то наблюдаются отступления от обнаруженных закономерностей. Отсюда следует, что в формулировке закона взаимодействия заряженные тела должны считаться небольшими, в пределе – точечными.

3.2. Закон Кулона. Проанализировав результаты описанных серий опытов, мы приходим к выводу, что получено экспериментальное доказательство справедливости закона Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

     (3.1)

На самом деле точечных зарядов, конечно, не существует, как не существует и заряженных точек. Требование точечности зарядов означает, что заряженные тела имеют размеры, много меньшие расстояния между ними.

В системе единиц СИ коэффициент пропорциональности в законе Кулона

Впоследствии мы убедимся, что коэффициент k удобно записывать в виде

         (3.2)

а закон Кулона – в виде:

     (3.3)

Величина

называется электрической постоянной.

В этой системе единиц заряд 1 Кл можно было бы определить как такой, который взаимодействует с равным себе и удалённым на расстояние 1 м зарядом с силой 9 • 10⁹ Н. Однако в системе СИ в качестве основной используют не единицу заряда, а единицу силы электрического тока ампер, которая вводится на основе магнитного взаимодействия движущихся зарядов. Поэтому единица заряда является производной от ампера: кулон – электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за 1 с при силе тока через проводник 1 А.

Разумеется, грубые опыты Кулона и те их варианты, которые мы можем повторить, не в состоянии убедительно свидетельствовать в пользу справедливости закона Кулона. Но из закона Кулона можно получить следствия, которые допускают гораздо более точную экспериментальную проверку. Сейчас нет никаких сомнений в том, что закон Кулона для силы взаимодействия электрических зарядов справедлив с высокой степенью точности.

3.3. Взаимодействие зарядов в среде. Нетрудно представить, что крутильные весы можно изготовить так, что они будут допускать измерение кулоновской силы в различных газах и жидкостях. Силу взаимодействия зарядов в принципе можно измерить также в твёрдых телах. Эксперименты показали, что закон Кулона выполняется и в диэлектриках, но сила кулоновского взаимодействия в них в e раз меньше, чем в вакууме:

     (3.4)

Величина = f_вак /f получила название диэлектрической проницаемости среды.

Диэлектрическая проницаемость среды – это физическая величина, показывающая, во сколько раз сила взаимодействия зарядов в среде меньше силы их взаимодействия в вакууме.

Исследование 3.1. Доказательность опытов Кулона

Информация. В одном из своих опытов Кулон получил следующие результаты.

После соприкосновения шарика 1 на коромысле с заряженным шариком 2 коромысло повернулось на угол ₁ = 24° (левый рисунок). Чтобы угол между двумя шариками уменьшился в два раза и стал равен ₂ = 12°, верхний конец нити крутильных весов пришлось повернуть на угол = 84° (правый рисунок).

Задание. Покажите, что эти экспериментальные результаты подтверждают закон Кулона.

Вариант выполнения. Первоначальный угол закручивания нити ₁ = 24°. Если плечо коромысла равно d, то расстояние между шариками в этом случае r₁ = 2d(sin₁/2). Когда угол поворота коромысла уменьшился в два раза, расстояние между шариками стало равно r₂ = 2d(sin₂/2). Отношение этих расстояний:

Но сила взаимодействия пропорциональна углу закручивания нити крутильных весов. В первом случае этот угол был равен ₁ = 24°, а во втором Отношение углов Таково же отношение соответствующих кулоновских сил. Таким образом, экспериментальные данные Кулона показывают, что сила взаимодействия между двумя зарядами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Исследование 3.2. Экспериментальное обоснование закона Кулона

Задание. Разработайте доступную конструкцию крутильных весов, соберите экспериментальную установку и на опыте убедитесь в справедли­вости закона Кулона.

Вариант выполнения.

Одна из наиболее доступных экспериментальных установок изображена на фотографии. Нить крутильных весов представляет собой медную проволоку диаметром около 0,1 мм и длиной 200 мм (можно использовать и тонкую леску). Один конец её проходит через расположенные рядом отверстия в крышке пластиковой бутылки и закреплён скруткой. Второй конец проволоки также скруткой закреплён в ушке канцелярской булавки, которая вставлена в центр коромысла крутильных весов. Коромысло специальной формы вырезано острым ножом из тонкого листа пенопласта. Длина собственно коромысла составляет примерно 200 мм. Нижняя часть коромысла размером 40 70 мм выполняет функцию демпфера, увеличивающего затухание крутильных колебаний. На одном конце коромысла деревянной шпилькой, сделанной из спички, закреплён шарик диаметром 1–2 см, вырезанный из пенопласта и покрытый тонкой алюминиевой фольгой. В качестве штатива можно взять пластиковую бутылку, в стенке которой для коромысла диаметрально противоположно вырезаны два прямоугольных отверстия. Чтобы прибор был устойчив, на дно бутылки насыпают немного речного песка или кладут что­нибудь тяжёлое. Коромысло уравновешивают противовесом (например, втыкают в свободный конец канцелярские булавки). На бутылку скотчем наклеивают две шкалы: снизу, возле прорези для коромысла, и сверху, возле крышки. К крышке прикрепляют проволочный указатель.

Пьезоэлектрическим источником или иным способом зарядите второй шарик, расположенный на изолированной подставке. Прикоснитесь этим шариком к шарику на крутильных весах. При этом шарики одинаковых размеров приобретут равные одноимённые заряды, оттолкнутся, и коромысло с шариком повернётся на некоторый угол , величину которого определите по нижней шкале. Поворачивайте крышку, к которой прикреплён верхний конец нити, в противоположном направлении до тех пор, пока угол поворота коромысла a не уменьшится вдвое. По верхней шкале определите угол поворота крышки. Тогда угол закручивания нити составит (см. исследование 3.1).

Найдите отношение этого угла к первоначальному углу закручивания нити . Если оно окажется близким к 4, значит, опыт доказывает, что сила взаимодействия двух заряженных шариков обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Самостоятельно убедитесь, что она пропорциональна произведению зарядов шариков.

Исследование 3.3. Экспериментальное подтверждение следствия закона Кулона

Информация. Справедливость закона Кулона подтверждена многочисленными экспериментами и не вызывает сомнений. Однако, если нужно не просто заучить этот закон, а глубоко вникнуть в его сущность, обосновывающий его учебный эксперимент совершенно необходим. Вовсе не обязательно, чтобы эксперимент подтверждал закон напрямую, во многих случаях предпочтительнее опосредованное обоснование теоретического положения. Нередко прямое экспериментальное обоснование вообще невозможно. Тогда из предполагаемого закона выводят следствия и, если они выдерживают экспериментальную проверку, делают заключение о справедливости закона.

Проблема. Все школьные задачи на взаимодействие зарядов решаются на основе закона Кулона, значит, они являются следствиями этого закона. Нельзя ли использовать для подтверждения закона Кулона имеющуюся во всех школьных учебниках задачу об отталкивании двух висящих на нитях одинаково заряженных шариков?

Задание.

Пусть два одинаковых проводящих шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При сообщении им одноимённых зарядов q₁ и q₂ шарики, отталкиваясь, расходятся на расстояние r друг от друга так, что прямая, по которой действуют кулоновские силы, оказывается на расстоянии h от точки подвеса. Найдите связь между расстояниями r и h. Используя решение этой задачи, разработайте и поставьте эксперимент, подтверждающий справедливость закона Кулона.

Вариант выполнения. Вначале решим предложенную задачу. На шарик действу­ют сила тяжести mg, кулоновская сила f и сила натяжения нити T, модули которых связаны соотношениями:

f = Tsin; mg = Tcos

Отсюда сила отталкивания шариков:

Подставляя выражение для кулоновской силы, получаем Отсюда:

     (3.5)

Таким образом, связь между расстояниями r и h найдена. Теперь обратимся к эксперименту.

Если в эксперименте электрические заряды шариков остаются неизменными, то предыдущую формулу удобно переписать в виде

     (3.6)

Если неизменны расстояние h и заряд одного из шариков, например, q₂ = const, то решение задачи можно представить в виде:

     (3.7)

Очевидно, все привёденные здесь выражения являются следствиями закона Кулона (3.1). Подтвердив их справедливость, мы тем самым получим экспериментальное обоснование закона Кулона.

Пенопластовые шарики диаметром примерно 1 см покройте тонкой алюминиевой фольгой. Шарики подвесьте на тонких нейлоновых нитях длиной 20–40 см так, чтобы они соприкасались. Параллельно нитям закрепите в горизонтальном положении гладкий стержень из диэлектрика (например, стеклянную трубку). Нити должны слегка касаться стержня, тогда удастся избежать их скручивания и длительных колебаний шариков. За шариками на расстоянии примерно 10 см поставьте белый экран с миллиметровой шкалой. Осветите шарики небольшой лампой так, чтобы на экране можно было определять расстояние r' между центрами их теней.

Соприкасающиеся шарики зарядите от наэлектризованной палочки или пьезоэлектрического источника. Шарики оттолкнутся друг от друга. Линейкой измерьте расстояние h от линии взаимодействия шариков до точки подвеса и по шкале на экране измерьте расстояние r' между центрами теней шариков. Пальцами сведите нити вместе ниже точки подвеса и измерьте новые значения тех же расстояний. Повторите опыт в третий раз.

Найдите значения отношений r'³/h для всех трёх измерений и убедитесь, что в пределах ошибок они одинаковы. Таким образом, опыт под­тверждает справедливость формулы (3.1). Отсюда следует, что сила Кулона обратно пропорциональна квадрату расстояния между заряженными телами.

Для доказательства того, что кулоновская сила пропорциональна произведению зарядов, достаточно при неизменном подвесе изменять заряд одного из шариков прикосновением к нему незаряженным шариком того же размера. Пусть это будет первый шарик.

Измерьте расстояние r' между тенями шариков для некоторого заряда q₁ одного из них. Уменьшите заряд этого шарика в два раза (до значения q₁/2) и измерьте новое расстояние между шариками. Повторите опыт в третий раз для заряда q₁/4. Для полученных значений найдите отношения r' ³/q₁, подставляя в них вместо q₁ числа 1; 0,5; 0,25, и убедитесь, что в пределах ошибок опыта они совпадают. Таким образом, эксперимент подтвердил справедливость следствия (3.7) из закона Кулона. Очевидно, отсюда следует, что сила Кулона пропорциональна произведению взаимодействующих зарядов.

Вы полностью разобрались в эксперименте, если поняли, почему необходимо измерять не непосредственно расстояние r между шариками, а расстояние r' между их тенями, и почему в вычислениях это обстоятельство не учитывается. Советуем вместо пенопластовых шариков, покрытых фольгой, попробовать скатанные из алюминиевой фольги шарики диаметром 2–4 мм. Получится ли эксперимент, если проводящие шарики заменить гильзами из алюминиевой фольги?

Исследование 3.4. Электростатический динамометр

Информация. Крутильными весами (исследование 3.2) неудобно измерять силу, с которой взаимодействуют электрически заряженные тела. Необходим простой и чувствительный прибор, позволяющий делать это в учебных экспериментах. Вспомним электрометр: в нём стрелка отклоняется на весьма большие углы даже при сравнительно небольших зарядах. Обеспечивается это тем, что центр масс стрелки находится возле оси её вращения, несколько ниже неё.

Проблема. Нельзя ли принцип действия стрелочного электрометра использовать для создания чувствительного электростатического динамометра?

Задание.

Представьте, что на нижнем конце стержня из диэлектрика закреплён проводящий шарик. Общая масса системы m, центр масс находится в точке О', а ось вращения расположена на расстоянии а от центра масс системы и на расстоянии b от шарика в точке О. На расстоянии с от оси вращения, перпендикулярно начальному положению стержня, расположена шкала, по которой отсчитывается смещение х верхней части стержня. Шарику сообщили некоторый заряд, и к нему подносят другой заряженный шарик так, что отрезок, соединяющий их центры, остаётся горизонтальным. Докажите, что прибор, построенный в соответствии с изложенной идеей, позволяет измерить силу кулоновского взаимодействия между заряженными шариками. Разработайте конструкцию, изготовьте и исследуйте электростатический динамометр.

Вариант выполнения. Вначале решим задачу, сформулированную в задании. На подвижную систему действуют только две силы: кулоновская   f = f₁₂ и сила тяжести mg. Стержень окажется в равновесии, если сумма моментов этих сил относительно оси вращения равна нулю: fcos • b – mgsin• a = 0.

Отсюда:

Но tg  = x/c, следовательно,

         (3.8)

Значит, кулоновская сила f, действующая на шарик, может быть измерена по величине отрезка х.

Простейший электростатический динамометр без особых затруднений вы сможете собрать из подручных материалов: полиэтиленовой трубки (чистый стержень от шариковой ручки), отрезка медной проволоки, канцелярской булавки, пенопласта, алюминиевой фольги, пластмассовой крышки и т.п.

Очевидно, чувствительность прибора тем больше, чем, при прочих рав­ных условиях, меньше расстояние от центра масс подвижной системы до её оси вращения. Один из наших приборов имел параметры: а = 5 мм, b = 55 мм, с = 100 мм, m = 0,94 г.

Исследование 3.5. Электростатическое взаимодействие заряженных шаров

Информация. Закон Кулона сформулирован для точечных зарядов, хотя сам Кулон экспериментировал, разумеется, не с заряженными точками, которых в природе не существует, а с шарами конечных размеров. Принято считать заряженные тела точечными, если их размеры существенно меньше расстояния между ними. Для неточечных зарядов закон Куло­на не выполняется. Наиболее ярко свидетельствует об этом явление, при котором уменьшение расстояния между одноимённо заряженными шарами разных размеров приводит к тому, что взаимное отталкивание шаров сменяется их притяжением.

Проблема. Каково в реальности соотношение между размерами заряженных шаров и расстоянием между ними, при котором шары можно считать точечными зарядами?

Задание. Используя электростатический динамометр, детально исследуйте зависимость силы кулоновского взаимодействия двух зарядов от расстояния между ними.

Вариант выполнения.

На изолирующей стойке закрепите шарик из пенопласта, обёрнутый алюминиевой фольгой. Зарядите его от пьезоэлектрического источника, одноимённым зарядом зарядите пробный шарик на стержне электростатического динамометра.

Пробный заряд находится бесконечно далеко от исследуемого, если электростатический динамометр не фиксирует силы электростатического взаимодействия между зарядами. В эксперименте удобно электростатический динамометр оставить неподвижным, а перемещать исследуемый заряд.

Постепенно приближайте заряженный шарик на изолирующей подставке к шарику электростатического динамометра так, чтобы соединяющий центры шариков отрезок оставался горизонтальным. В таблицу записывайте значения расстояния между зарядами и соответствующие им значения силы электростатического взаимодействия. Удобно расстояние измерять в сантиметрах, а силу – в условных единицах, в которых отградуирована шкала динамометра.

По получившимся данным постройте график зависимости силы от расстояния (левый рисунок). Ещё раз убедитесь, что сила электростатического взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами, для чего постройте график зависимости силы от величины, обратной квадрату расстояния (правый рисунок): получается прямая линия. Обратите внимание: при небольших расстояниях между заряженными шариками сила взаимодействия меньше, чем это требует закон Кулона. Объясните это явление.

Исследование 3.6. Определение зарядов шаров

Информация. В учебных экспериментах по электростатике, как правило, определяют знак заряда, но не его величину. Объясняется это тем, что соответствующих измерительных приборов в учебной лаборатории просто не существует. Однако принципиально важно непосредственное определение заряда без использования каких бы то ни было электроизмерительных приборов. В этом случае вся электростатика сразу приобретает надёжную экспериментальную основу.

Проблема. Возможно ли в доступном учебном эксперименте количественно оценить электрический заряд на теле, образующийся при электризации?

Задание. Используя электростатический динамометр, определите заряды, которые несут взаимодействующие тела.

Вариант выполнения. Для одинаковых зарядов q₁ = q₂ = q из закона Кулона (3.1) имеем

     (3.9)

Силу f вычислим, измерив параметры электростатического динамометра (см. исследование 3.4). Один из наших приборов имел параметры: а = 5 • 10^–3 м, b = 55 • 10^–3 м, с = 100 • 10^–3  м, m = 0,94 • 10^–3 кг. Тогда:

      (3.10)

где х — смещение по шкале указателя динамометра, в метрах.

Это, в частности, даёт основание на графиках зависимости модуля кулоновской силы f от расстояния r и от величины 1/r², обратной квадрату расстояния, рядом с условными единицами силы поставить абсолютные их значения в миллиньютонах. Теперь для произвольного значения расстояния r по левому графику можно определить соответствующее значение силы f и, подставив эти значения в формулу вычислить заряды q взаимодействующих шаров.

Можно воспользоваться и правым графиком, по которому квадрат заряда определяется через тангенс угла наклона прямолинейной части графика к горизонтальной оси:

Отсюда искомый заряд q = 6,6 • 10^–9 Кл.

Наконец, проще всего, именно пользуясь электростатическим динамометром, измерить отклонение его стрелки х и соответствующее расстояние r между центрами одинаковых и одинаково заряженных шариков, а затем по формуле (3.10) вычислить силу взаимодействия между шариками, и по формуле (3.9) – заряд каждого из шариков.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. В чём суть опытов Кулона? Какова их точность? Нужно ли в школе стремиться к точному подтверждению закона Кулона?

2. Сформулируйте закон Кулона. Что понимается под точечными зарядами?

Литература

Демонстрационный эксперимент по физике в старших классах средней школы. Т. 2. Электричество. Оптика. Физика атома: Под ред. А.А.Покровского — М.: Просвещение, 1972.

Жакин С.П. Крутильные весы в демонстрационном эксперименте. – Физика в школе, 2003, № 7, с. 44–46.

Роджерс Э. Физика для любознательных. Т. 3. Электричество и магнетизм. Атомы и ядра.— М.: Мир, 1971.

Суербаев А.Х., Клюев П.Н. Физический эксперимент по демонстрации закона Кулона: В сб. «Проблемы учебного физического эксперимента. Сборник научных трудов», вып. 11. – М.: ИОСО РАО, 2001, с. 58–59.

Шахмаев Н.М., Каменецкий С.Е. Демонстрационные опыты по электродинамике. — М.: Просвещение, 1973.

Продолжение в № 20/07