Окончание. См. № 18/07

Д.А.ИВАШКИНА,
лицей г. Троицка, Московская обл.

aivashkin@mail.ru

Поэтапное обучение обработке экспериментальных данных

3.3. Введение понятия «относительная погрешность измерения». Для этого можно использовать любую работу, в которой относительная погрешность каждого ряда измерений различна. Например, эксперименты по определению вида зависимости силы трения, действующей на брусок, от силы, прижимающей его к поверхности, или зависимости удлинения пружины от веса подвешенного к ней тела. Возьмём для примера первую работу. Обычно учащимся предлагается измерить силу трения, действующую на брусок, на котором лежат 1, 2 и 3 груза. Однако, если идея провести такой эксперимент (при решении ПЗ «От каких ФВ, характеризующих тело, может зависеть сила трения, действующая на него со стороны поверхности») исходит от учащихся, они наверняка предложат и вариант опыта без дополнительных брусков. В результате получатся, например, такие результаты:

Как правило, провести прямую через эти точки достаточно просто, хотя у некоторых первая точка может выпасть. Следует обратить внимание учащихся на то, что выпадение точки (промах) указывает либо на неверно проведённый эксперимент, либо на плохие условия опыта. При повторе результаты могут быть несколько иными.

Возникает вопрос: чем плохи условия проведения опыта именно при этом значении веса тела? Как правило, учащиеся интуитивно понимают, что вес слишком маленький. Тогда следует обратить их внимание на значение силы трения и погрешность измерения. Причина кроется в том, что абсолютная погрешность велика по сравнению с самим значением величины. Значит, необходимо оценивать погрешность в сравнении с самим значением. Совместными усилиями вводится новое понятие – «относительная погрешность измерения».

После этого учитель может предложить оценивать качество проведённого эксперимента по относительной погрешности его результата. В ученическом эксперименте относительная погрешность не должна превышать 30%. Ситуация, когда точка на графике выпадает изза большой относительной погрешности, встречается нечасто, но вычислять относительную погрешность результата во всех последующих экспериментах стоит. Имеет смысл провести эксперимент, где относительная погрешность результата превысила бы 50%, и вместе прийти к выводу, что идея эксперимента была неудачной.

3.4. Обучение оценке абсолютной погрешности результатов косвенных измерений. Расчёт абсолютных погрешностей результата методом границ может проводиться с 8-го класса. Ещё в работах по тепловым явлениям учащиеся сталкиваются с необходимостью определить погрешность разницы температур, хотя измерения проводятся для начальной и конечной температур. Довольно быстро они запоминают, что в этом случае погрешность результата равна сумме погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. В работах 17–19, 21 [9] определяются погрешности суммы, произведения и частного в конкретных случаях.

В 9-м классе, однако, формулы для расчёта значений величин в экспериментах и лабораторных работах усложняются. Использование метода границ связано при этом с громоздкими расчётами. Поэтому после расчёта погрешностей в нескольких задачах методом границ стоит провести теоретический семинар. К этому моменту учащиеся и сами приходят к выводу, что следует обобщить метод границ, т.к. вычислять погрешности результатов косвенных измерений становится всё сложнее. В это время в их арсенале могут быть расчёты погрешностей суммы и разности, квадрата величины. Работая по группам, ребята получают простые формулы для этих случаев:

Далее учитель предлагает получить формулы для абсолютной погрешности результата умножения и деления. После не очень удачных попыток делаются вычисления на доске. Учитель предлагает получить формулы и для относительных погрешностей. Становится очевидным, что эти формулы гораздо проще, чем для абсолютных погрешностей. Это удобно также и с точки зрения оценки удачности эксперимента: видно, какие измерения вносят наибольшие погрешности в результат. Но об этом не стоит говорить на теоретическом семинаре.

Помимо формул для расчёта погрешностей следует обсудить план действий по расчёту погрешности результата косвенных измерений (табл. 2) и оформить его в тетрадях. Этим планом учащиеся будут пользоваться в дальнейшем. Поскольку дальнейшие работы сильно разнесены по времени, следует предложить задачиупражнения типа приведённых ниже.

Таблица 2. Расчёт погрешности результата косвенных измерений

1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной (7,00 ± 0,15) см, если его масса (847 ± 2) г. Что это за вещество?

Ответ. (2,47 ± 0,16 ) г/см³, стекло.

2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, (2,10 ± 0,15) г которого хватило, чтобы нагреть (400 ± 10) мл воды на (35 ± 2) °С. Что это за топ­ливо?

Ответ. (2,8 ± 0,4) • 10⁷ Дж/кг, уголь.

После такого семинара в процессе выполнения 3–4 работ, т.е. практически до конца 9-го класса, вычисление погрешностей обсуждается фронтально. При этом учащиеся учатся упрощать вычисления, пользуясь «правилом пренебрежения погрешностями»: если при сложении относительных погрешностей видно, что погрешность некоторых измерений в 5–7 раз меньше, чем погрешности других измерений, то ею можно пренебречь.

4. Заключительный этап обучения элементарной оценке погрешностей эксперимента (10–11й классы)

Программа по физике в старших классах преду­сматривает меньшее количество экспериментов. Во­первых, материал изучается уже на уровне теорий, основной материал подаётся в форме иерархической системы знаний [10], а в качестве эмпирического базиса теории выступают, как правило, эксперименты, которые трудно осуществить в школьных условиях. Во­вторых, часть тем 11-го класса (атомная и ядерная физика, СТО) вообще не могут быть изучены экспериментальными методами, тогда как другие (переменный ток, электромагнитные волны, волновая оптика, фотоэффект) не представляют интереса с точки зрения обучения оценке погрешностей эксперимента.

Поэтому основной целью проведения экспериментов может являться проверка следствий теорий, а с точки зрения обучения экспериментальному методу – самостоятельное применение полученных в 7–9-м классах знаний. Единственная деятельность, которой можно обучать на уровне осознания метода, является нахождение коэффициента пропорциональности и параметров линейной зависимости. Обобщать этот метод не стоит, поскольку общие формулы очень сложны. Но, поскольку метод наименьших квадратов как метод нахождения коэффициентов линейной зависимости представлен сегодня в качестве встроенной программы не только во многих офисных программах на персональном компьютере, но и в некоторых калькуляторах, познакомить учащихся с основной идеей этого метода можно.

4.1. Система познавательных задач, при решении которых можно использовать экспериментальный метод в 10–11-м классах. Примеры познавательных задач: действительно ли объём газа прямо пропорционален его температуре при постоянных давлении и массе газа? подчиняется ли воздух законам идеального газа? действительно ли сила упругости, возникающая в деформированном теле, обратно пропорциональна его первоначальной длине при неизменной площади сечения и одном и том же удлинении? какова зависимость угла преломления от угла падения?

Несмотря на то, что газовые законы были получены сначала экспериментально, в школьных учебниках сложилась традиция получать их как следствия основного уравнения МКТ газов. Получив это уравнение, можно сделать большое число предсказаний, которые можно проверить в эксперименте, например, о значении средней квадратичной скорости молекул (сравнивается со значениями, полученными в опыте Штерна). Легко получается из этого уравнения и закон Бойля–Мариотта. Проверить его можно как с помощью демонстрационного прибора для проверки газовых законов (но нежелательно, т.к. у этого прибора очень грубая шкала), так и в лабораторном эксперименте, описанном, например, в [9]. В этом эксперименте получаются лишь две точки, зато они с достаточно хорошей точностью ложатся на прямую, проходящую через начало координат.

Если предположить, что температура по шкале Цельсия прямо пропорциональна среднему квадрату скорости молекул, то мы приходим к выводу, что давление газа должно быть прямо пропорционально температуре. При проверке закона Гей-Люссака так, как это описано в учебнике [5], получаются также две точки, однако они не ложатся на прямую, проходящую через начало координат. Если провести другой эксперимент, например, с помощью демонстрационного прибора или нового прибора «Изохора», и получить три и больше точек, то можно попробовать определить, в какую точку следует перенести нуль температуры, чтобы зависимость давления от температуры осталась прямо пропорциональной, как это предсказывает теория.

Аналогичные действия можно провести при проверке зависимости объёма газа от температуры при постоянном давлении.

Другой цикл экспериментальных задач связан с моделированием строения кристалла и теоретиче­скими рассуждениями о зависимости силы упругости от длины кристалла, его площади сечения и удлинения [1]. Очень удобно для этих задач, особенно для отыскания зависимости силы упругости от площади сечения и длины резины, использовать стандартные банковские резинки. У них достаточно хорошее совпадение по площади сечения, а также их можно складывать параллельно – для изменения площади сечения – и связывать – для изменения первоначальной длины. Затем можно предложить учащимся найти модуль Юнга экспериментальным путём, что потребует вычисления коэффициента пропорциональности. О том, как это сделать, будет сказано несколько позже.

Дальнейшие работы во многом совпадают с обычно проводимыми в 10–11-м классах.

4.2. О нахождении коэффициента пропорциональности с учётом погрешностей. В некоторых работах, описанных в учебниках физики, предлагается найти коэффициент пропорциональности. При этом погрешность либо не вычисляется, либо в качестве погрешности берётся максимальная полученная в опытах погрешность [8]. Однако нахождение значения величины как коэффициента пропорциональности из графика служит, как и многократное повторение эксперимента, цели уменьшения абсолютной погрешности результата. Думаю, что этот факт надо каким­то образом донести до учащихся.

Лабораторных работ, где необходимо вычислить коэффициент пропорциональности из графика, довольно мало. Поэтому нет возможности обучить этой деятельности на уровне овладения методом. Каждый учитель вправе для себя решать, обучать или не обучать этому методу. При подходе к лабораторным работам как к деятельности учащихся, направленной на открытие или подтверждение уже открытых законов, можно вполне обойтись без количественного определения коэффициента пропорциональности, просто констатируя сам факт пропорциональной зависимости. Однако в сильных классах и в классах с углублённым изучением физики и математики этот вопрос следует обсуждать, ведь вычисление таких коэффициентов встречается не только в физике, но и в экономике, социологии и других науках.

Начать эту работу можно уже в 9-м классе – в работах «Найти коэффициент жёсткости пружины» и «Найти коэффициент трения скольжения». Идея состоит в том, чтобы использовать и здесь метод границ. Под верхней и нижней границами коэффициента пропорциональности следует понимать коэффициенты, найденные для прямых с максимальным и минимальным углами наклона к оси абсцисс, проведённых через экспериментальные точки с учётом их абсолютных погрешностей. Средний коэффициент при этом находится как полусумма верхней и нижней границ коэффициента пропорциональности, а абсолютная погрешность – как полуразность этих значений.

В 10-м и 11-м классах знакомство с этим методом может быть продолжено (работы «Нахождение модуля Юнга», «Измерение удельного сопротивления»). А в работах с исследованием, подчиняется ли воздух законам идеального газа, и с получением зависимостей p ~ 1/V и p ~ T нахождение коэффициентов линейной зависимости у = ах + b помогает найти значение абсолютного нуля температур. Коэффициент а при этом можно найти подобно тому, как находится коэффициент в случаях прямо пропорциональной зависимости, только на графике в этом случае должно быть не менее трёх точек, т.к. в данном случае начало координат не принадлежит графику. Коэффициент b находится методом границ как пересечение прямых, соответствующих верхней и нижней границам коэффициента а, с оcью Y. В классах физматпрофиля учащиеся вполне могут самостоятельно оценить значение абсолютного нуля температур после совместного обсуждения метода его нахождения. В остальных классах это можно сделать у доски или просто объяснить, что из вычисленных коэффициентов можно найти это значение.

Сейчас даже в калькуляторах бывают встроены статистические функции, в том числе и вычисление коэффициентов линейной зависимости. Такие же встроенные функции есть и во многих программах на персональном компьютере. Единственным недостатком является тот факт, что они не используют значений абсолютной погрешности каждого отдельного результата. Но в школьном эксперименте отклонения экспериментальных точек от прямой обычно примерно такие же по величине, как и абсолютные погрешности каждого отдельного результата. А в реальном физическом эксперименте статистическая (случайная) погрешность обычно гораздо больше систематической. Поэтому применение метода наименьших квадратов (а именно он и используется в стандартных программах) вполне оправдано. Учащимся будет полезно поработать с такими программами, но только при условии, что они уже «прочувствовали» метод границ в применении к нахождению коэффициента пропорциональности.

Литература

1. Анофрикова С.В., Стефанова Г.П. Практическая методика преподавания физики. Часть первая. – Астрахань: Астраханский ГПИ, 1995.

2. Одинцова Н.И. Теоретические исследования на уроках физики. – М.: Прометей, 1999.

3. Ивашкина Д.А. Системы познавательных задач для открытия законов термодинамики и постоянного тока в 8-м классе. – http://festival.1september.ru/2003_2004/index.php?member=102668). Фестиваль педагогических идей «Открытый урок», 2003/ 04.

4. Анофрикова С.В. Азбука учительской деятельности, иллюстрированная примерами деятельности учителя физики. Часть 1. Разработка уроков. – М.: МПГУ, 2001.

5. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Физика­10. – М.: Просвещение, 1997.

6. Физика­10: Учебник для угл. изуч. физики: Под ред. А.А.Пинского. – М.: Просвещение, 2002.

7. Попова О.Н. Обучение учащихся выявлению устойчивых связей и отношений между физическими величинами. Дисс. канд. пед. наук. – М.: МПГУ, 1999.

8. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика­9. – М.: Просвещение, 1998.

9. Буров В.А., Дик Ю.И., Зворыкин Б.С. и др. Фронтальные лабораторные занятия по физике в 7–11 классах общеобразовательных учреждений. – М: Просвещение, 1996.

10. Одинцова Н.И. Обучение теоретическим методам познания на уроках физики. – М.: Прометей, 2002.

Диана Анатольевна Ивашкина окончила физфак МГУ им. М.В.Ломоносова с отличием, затем аспирантуру в Гумбольдтском университете (г. Берлин, Германия) и в 1993 г. защитила диссертацию на соискание степени doctor rerum naturalium (доктор естественных наук) по специальности «Экспериментальная физика». С 1995 г. работает в лицее. Работу свою очень любит. Сын учится в 10-м классе, дочь – в 3-м, муж работает в Институте ядерных исследований РАН и во всём поддерживает Диану Анатольевну. Дважды становилась лауреатом конкурса «Я иду на урок» и работала в жюри. В 2000 г. познакомилась с С.В.Анофриковой и с тех пор использует деятельностный подход. Педагогическое кредо: открывать вместе с учениками мир физики через самостоятельный эксперимент, решение задач, совместный поиск. Хобби: гитара, бардовская песня, путешествия, немецкий язык и культура Германии.