О.Г.ЦАРЬКОВА olga@kapella.gpi.ru,
ФМШ № 2007, г. Москва

Изготовление модели нониуса и измерение линейных размеров и объёмов тел

Физический практикум. 11-й класс

Цель работы. Изучение работы нониуса и его изготовление. Измерения размеров бруска с помощью нониуса и определение абсолютной и относительных погрешностей измерений.

Оборудование: брусок в форме параллелепипеда; тело цилиндрической формы; лист плотной бумаги; ножницы; масштабная линейка.

Принцип действия нониуса. Представим себе две линейки, сложенные вместе, рис. 1.

Пусть цена деления верхней линейки равна l₁, а нижней – l₂. Линейки образуют нониус, если существует такое целое число k, при котором

kl₂ =(k+1)l₁           (1)

На рис.1 k = 4. Величина 

          (2)

называется точностью нониуса. В частности, при l₁ = 1 мм, k = 10 точность нониуса  = 0,1 мм. Как видно из рис. 1, при совпадении нулевых делений нижней и верхней шкал совпадают ещё k-е деление нижней и  (k+1)-е деление верхней шкал, а также 2k-е деление нижней и 2(k + 1)-е деление верхней шкал и т.д.

Начнём постепенно сдвигать верхнюю линейку вправо. Сначала совпадут первые деления линеек – при сдвиге l₂ – l₁, равном точности нониуса . При двойном сдвиге совпадут вторые деления линеек и т.д. Если совпали m-е деления, то можно, очевидно, утверждать, что их нулевые деления сдвинуты на m.

Высказанные утверждения справедливы, если сдвиг верхней линейки относительно нижней не превышает одного деления нижней линейки. При сдвиге ровно на одно деление (или на несколько делений) нулевое деление верхней шкалы совпадает уже с первым (или n-м) делением нижней линейки. При дальнейшем сдвиге с делением нижней линейки совпадает 1-е деление верхней и т.д. В технических нониусах (например, в штангенциркуле) нижнюю линейку делают короткой, так что совпадать с верхними может лишь одно из делений этой линейки.

Применим нониус для измерения длины тела А. Как видно из рис. 2,

L=nl₂+m           (3)

Здесь n – целое число делений нижней шкалы вдоль измеряемого тела, а m – номер деления верхней линейки (начиная с нулевого), совпадающего с одним из делений нижней шкалы. В качестве m берут номер деления, ближайшего к одному из делений нижней шкалы. Аналогичным образом можно строить не только линейные, но и угловые нониусы. Нониусами снабжаются штангенциркули, теодолиты и многие другие приборы.

Устройство штангенциркуля. Измерять размеры малых деталей с точностью до десятых долей миллиметра можно штангенциркулем (рис. 3).

Основная часть штангенциркуля – линейка с сантиметровыми и миллиметровыми делениями. На ней закреплён зажим, позволяющий измерять внешние и внутренние размеры тел. По линейке скользит рамка, по внутреннему краю которой нанесена шкала – нониус. Десять делений этой шкалы равны 9 мм, таким образом, одно деление составляет 0,9 мм. У некоторых штангенциркулей на рамке имеются   20 делений, соответствующих 19 мм шкалы линейки.

Для определения размера детали её зажимают и находят число целых миллиметров по делению на шкале линейки, ближайшему к 0-му штриху нониуса. Затем смотрят, какой из штрихов шкалы нониуса совпадает со штрихом шкалы на линейке, и получают число десятых долей миллиметра. Размер детали получают сложением числа целых миллиметров, отсчитанных по линейке, и десятых долей миллиметра, определённых по шкале нониуса.

Погрешности измерений, выполненных с помощью нониуса

Граница абсолютной погрешности прямого измерения x складывается из приборной погрешности_пр и погрешности отсчёта _от:

x= _пр+_от           (4)

Обе составляющие погрешности прямого измерения следует учитывать лишь в том случае, если они близки друг к другу. Любым из этих слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит 1/3–1/4 от другого. В этом состоит так называемое правило «ничтожных погрешностей».

В данной работе нониус изготавливается с использованием масштабной линейки, поэтому приборная погрешность такого нониуса (аккуратно сделанного!) будет такая же, как и у линейки:_пр = ±1 мм на 30 см длины линейки. То есть на каждый сантиметр изготовленного нониуса «приходится» примерно _пр = ±0,03 мм.

Погрешность отсчёта _от зависит от цены деления измерительного прибора. Для нониуса она считается по формуле (2).

Знание границ абсолютной погрешности не всегда даёт полное представление о точности выполненных измерений. Показателем качества измерений служит величина, называемая максимальной относительной погрешностью (границей относительной погрешности). Это отношение максимальной абсолютной погрешности к значению измеряемой величин x_изм:

            (5)

Часто эту величину выражают в процентах:

            (6)

Погрешности косвенных измерений. Измерения называются косвенными, если результат определяется на основе расчётов. Так определяется объём тела, если уже измерены и известны его линейные размеры. Понятно, что, поскольку измерения длины x, ширины y и высоты z выполнены с определённой погрешностью, то и объём можно определить только с какой-то погрешностью. Максимальная относительная погрешность определения объёма тела V₁ в форме параллелепипеда равна

             (7)

Абсолютная погрешность:

             (8)

После того как вычислена абсолютная погрешность, её значение обычно округляется до одной значащей цифры. После этого и результат измерений записывается с числом десятичных знаков, не большим, чем их имеется в абсолютной погрешности. Например, запись = (0,56032 ± 0,028) м/с не совсем удачна. Желательно записать: = 0,03 м/с и = (0,56 ± 0,03) м/с.

Поскольку формула для расчёта объёма тела цилиндрической формы имеет вид:

             (9)

где h – высота цилиндра, R – радиус основания, D – диаметр, – константа. Максимальная относительная погрешность равна

             (10)

а абсолютная погрешность

             (11)

Порядок работы

1. Вырежьте из плотной бумаги полосу длиной 20 см и шириной 3 см. Нанесите по краю полосы деления через 1 см.

2. Отрежьте вторую полосу такой же ширины длиной немного больше 9 см. По краю этой полосы, строго от края, нанесите 10 делений через 0,9 см.

3. Рассчитайте точность нониуса по формуле (2).

4. Приложите первую полосу к грани бруска так, чтобы «0» совпал с одним краем. Ко второму краю грани приставьте вторую полосу (рис. 4).

5. Определите длину бруска по формуле (3).

6. Поворачивая брусок на столе, таким же способом измерьте его ширину и высоту.

7. Рассчитайте границы абсолютной (4) и относительной погрешностей прямых измерений (5) линейных размеров бруска, выполненных с помощью изготовленного нониуса.

8. Рассчитайте объём бруска в форме параллелепипеда, а также границы абсолютной, по формуле (8), и относительной, по формуле (7), погрешностей косвенных измерений его объёма.

9. Аналогичным образом измерьте высоту и диаметр цилиндра. Повторите п. 7 для цилиндра.

10. Повторите п. 8 для цилиндра, использовав формулы (9)–(11).

11. Все измеренные и рассчитанные значения занесите в таблицу:

12. Сформулируйте вывод.

Контрольные вопросы

1. Какой должна быть шкала нониуса на модели для измерения длины с точностью до 0,5 мм?

2. Можно ли изготовить нониус для измерений, абсолютная погрешность которых меньше 0,01? Почему?

Литература

Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Пономарёва А.В. Факультативный курс физики. 8 класс: Учеб. пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1985.

Руководство к лабораторным занятиям по физике: Под ред. Л.Л.Гольдина. – М.: Наука, 1973.

Физика: Учеб. пособие для 10 кл. шк. и классов с угл. изуч. физики: Под ред. А.А.Пинского. – М.: Просвещение, 1993.