Окончание. См. № 15/07

Д.А.ИВАШКИНА,
лицей г. Троицка, Московская обл.

aivashkin@mail.ru

И снова о погрешностях

4. Учёт случайных погрешностей при прямых измерениях

Если, проведя одно и то же измерение несколько раз, вы видите, что результат остаётся одним и тем же, то случайные погрешности эксперимента малы, их не следует учитывать. Но если при повторении измерения получаются разные значения, то следует взять среднее значение из серии измерений:

где n – число измерений. Как узнать, какова погрешность результата? Логично, и ученики сами обычно предлагают это, определить среднее отклонение результата от среднего значения. Полученная величина носит название средней арифметической ошибки: Она показывает, на сколько в среднем каждое измеренное значение отклоняется от среднего значения. Но эта величина слабо зависит от количества проведённых измерений. В чём же тогда смысл многократных измерений?

Для среднеквадратичной погрешности, которая определяется немного сложнее:

есть простое правило: средняя квадратичная погрешность среднего арифметического равна средней квадратичной погрешности отдельного результата, делённой на корень квадратный из числа измерений: Из формулы ясно, что с увеличением числа измерений случайная погрешность среднего значения уменьшается. Поэтому необходимо проводить столько измерений, чтобы случайная погрешность стала меньше значения систематической погрешности данного измерения.

К сожалению, в лабораторных работах и при любых других экспериментах в школе провести достаточное количество измерений невозможно в силу нехватки времени. Как поступать, может решить сам учитель. На мой взгляд, для нахождения средней арифметической погрешности среднего значения можно использовать формулу, аналогичную формуле для средней квадратичной ошибки:

Хотя эта формула и неверна, она помогает понять смысл проведения большого числа измерений. Использоваться же она будет всего в нескольких работах, и, следовательно, нет нужды специально обучать нахождению погрешности среднего значения. Зато, получив в этих работах случайную погрешность меньше погрешности систематической, ученик запомнит, что каждое измерение следует производить несколько раз при малейшем подозрении, что в данном эксперименте имеется случайная погрешность. Как правило, уже при пяти измерениях достигается необходимая малость случайной погрешности по сравнению с систематической.

5. Определение погрешности результата косвенных измерений

К определению погрешности результата косвенных измерений учащиеся готовы, на мой взгляд, уже к 8-му классу. В зависимости от уровня класса впервые метод границ [1, 12] можно применить или в работе по сравнению количеств теплоты при смешивании воды, или при нахождении сопротивления проводника. Поясню на примерах.

• Допустим, при нагревании холодной воды в процессе смешивания мы имеем следующие результаты измерений:

– температура холодной воды t₁ = (16,0 ± 1,5) °С;

– температура смеси t = (43,0 ± 1,5) °С;

– объём холодной воды V₁ = (80 ± 2) мл = (80 ± 2) • 10^–6 м³.

Получаем количество теплоты, полученное холодной водой:

Q = 4190 Дж/(кг • °С) • 1000 кг/м³ • 80 • 10^–6  м³  (43 – 16) °С = 9050,4 Дж.      (1)

Возникает вопрос: а какова погрешность полученного значения? Другими словами, на сколько мы можем ошибиться, если точные значения не равны измеренным, а лежат где-то в интервале, даваемом погрешностью? Например, начальная температура воды может быть равна 16,5 °С, 17,0 °С и т.д. Тогда вычисленное количество теплоты будет меньше. Логично посмотреть, на сколько мы можем ошибиться по максимуму. Максимальное количество теплоты получится, если взять для всех сомножителей максимальные значения, т.е. верхние границы интервалов значений с погрешностью, для уменьшаемого взять верхнюю границу значения, а для вычитаемого – нижнюю:

Q_в = 4190 Дж/(кг • °С) • 1000 кг/м³ • 82 • 10^–6 м³ (44,5 – 14,5)°С = 10 307,4 Дж.

Аналогично вычисляем нижнюю границу значения количества теплоты:

Q_н = 4190 Дж/(кг • °С) • 1000 кг/м³ • 78 • 10^–6 м³ (41,5 – 17,5) °С = 7843,68 Дж.

В данных пределах и лежит искомое значение. Чтобы сравнивать методом интервалов это значение с количеством теплоты, отданным горячей водой, надо округлить значения верхней и нижней границ. Лучше это сделать, оценив абсолютную погрешность найденного значения количества теплоты.

Рис. 2

Из рис. 2 видно, что

Найденное выше значение (1) близко к (3), поэтому его не стоит находить ещё раз. А вот для погрешности найдём с помощью (2):

(две значащие цифры, т.к. первая «1»). Поэтому количество теплоты, полученное холодной водой, можно округлить: Q_получ = 9000 Дж ± 1200 Дж (т.е. между 7800 Дж и 10 200 Дж). Если количество теплоты, отданное горячей водой, лежит между 8500 Дж и 11 500 Дж (Q_отдан = 10 000 Дж ± 1500 Дж), то можно видеть, что эти количества теплоты совпадают в пределах погрешности эксперимента (рис. 3).

Рис.3

• Определение сопротивления резистора. Пусть измеренные значения напряжения и силы тока следующие:

– U = 2,60 В ± 0,15 В (инструментальная погрешность 0,15 В; погрешность отсчёта может быть взята равной 0,05 В, т.е. в 3 раза меньше инструментальной, поэтому ею можно пренебречь);

– I = 1,2 А ± 0,1 А (инструментальная погрешность 0,05 А, погрешность отсчёта 0,05 А).

Тогда для сопротивления получаем:

Но на самом резисторе написано: «2 ± 0,1 ». Получается, что мы неверно определили сопротивление? Рассчитаем погрешность нашего определения значения сопротивления:

U_в = 2,75 В; U_н = 2,45 В; I_в = 1,3 А, I_н = 1,1 А;

Полученное экспериментально значение сопротивления R = (2,2 ± 0,3) Ом совпадает в пределах погрешности со значением R = (2,0 ± 0,1) Ом, указанным на резисторе.

С помощью метода границ можно вывести и формулы для погрешности при обобщении темы «Определение погрешности косвенных измерений», но уже в 9-м классе.

Определение погрешности разности. Пусть А = В – С. Рассчитаем погрешность А в общем виде:

А_в = В_в – С_н = (В + В) – (С – С) = (В – С) + (В + С);

А_н = В_н – С_в = (В – В) – (С + С) = (В – С) – (В + С);

Полученное очень важно: в некоторых работах в формулах для вычисления результата встречается разность двух близких по значению величин, что приводит к большой относительной погрешности результата.

• В cтарой работе «Определение модуля Юнга резины» [11] удлинение резинового жгута находилось как разность его результирующей и начальной длин. Если условия опыта таковы, что эта разность мала, например, составляет 1,5 см, то относительная погрешность определения разности (погрешность отсчёта взята гораздо меньше инструментальной погрешности). Ясно, что такое измерение использовать для определения модуля Юнга нежелательно, – может получиться погрешность больше 100%. Лучше увеличить нагрузку на жгут. Аналогичная проблема возникает в работе «Измерение ЭДС и внутреннего сопротивления источника» [2] (одно сопротивление должно быть в несколько раз больше другого) и др.

Определение погрешности частного двух величин. Пусть Рассчитаем погрешность в общем виде:

Такую формулу трудно запоминать. Поэтому найдём относительную погрешность величины А:

Итак, относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей величин, входящих в него. Такая же формула получается и для относительной погрешности произведения.

Важным я считаю не сам процесс расчёта погрешности. Эти формулы дают мощный инструмент для оценки обоснованности проведения эксперимента. При их использовании легко объяснить, при измерении какой из величин следует увеличить точность, чтобы получить лучший результат.

Рассмотрим формулу для нахождения модуля Юнга: Если воспользоваться для расчёта погрешности результата методом границ, то неясным останется, какая из величин в формуле вносит наибольшую погрешность.

Для нахождения относительной погрешности результата лучше воспользоваться формулой:

При подстановке значений оказывается, что слагаемое даёт максимальный вклад в сумму, а остальные слагаемые в несколько раз меньше, так что ими можно пренебречь. Если l – l₀ будет невелико, то значение относительной погрешности окажется очень большим, порой выше 100%. Какой вывод сделают в таком случае ученики?

Такая ситуация – пример того, как применение упрощённого способа вычисления погрешностей может привести к большим ошибкам. Конечно же, этот эксперимент совершенно обоснован, с помощью него можно найти модуль Юнга. Только следует выбрать те измерения, где l – l₀ достаточно велико, и не забыть пренебречь малыми слагаемыми при расчёте погрешности.

6. Определение коэффициента прямой пропорциональности

В лабораторных работах нередко встречается ситуация, когда необходимо по графику определить коэффициент пропорциональности в зависимости одной величины от другой. И здесь в учебниках встречаются две ситуации.

В работе «Определение модуля Юнга» [13] после нахождения модуля Юнга для измерений с тремя различными нагрузками учащимся предлагается найти среднее арифметическое трёх полученных значений. Такой подход ошибочен, т.к. каждое значение получено с различными систематическими погрешностями, т.е. с разной степенью точности. Нельзя суммировать эти значения «с одинаковым весом». При подобных вычислениях в теории ошибок находится сумма этих значений с разными коэффициентами.

Далее, в работе «Измерение жёсткости пружины» [7] в аналогичной ситуации совершенно справедливо отмечено, что, поскольку жёсткость пружины в каждом из опытов получена при разных условиях, среднее арифметическое этих значений находить нельзя. И предлагается найти среднее значение коэффициента жёсткости по графику как коэффициент пропорциональности. Однако, поскольку учащиеся не могут найти погрешность найденного таким образом коэффициента пропорциональности, предлагается взять в качестве этой погрешности погрешность наихудшего результата. Я считаю, что такой подход не оправдан. Зачем брать погрешность самого ненадёжного результата, если сам способ нахождения коэффициента жёсткости из графика применяется для того, чтобы определить этот коэффициент наиболее точно? Думаю, авторы просто не хотели заострять внимание на этом вопросе.

На мой взгляд, для определения коэффициента пропорциональности по графику можно предложить несколько вариантов.

Вариант 1. Самый простой, а потому пригодный для младших классов. Отмечаем на графике экспериментальные значения с указанием погрешности. Обращаем внимание учащихся на то, что если бы мы не нанесли погрешности на графики, то провести прямую было бы затруднительно. В 7-м классе достаточно просто отметить тот факт, что зависимость между двумя величинами прямо пропорциональна. Но если всё-таки необходимо найти значение коэффициента пропорциональности, можно обойтись без расчёта погрешности, отметив только, что этот способ (многократные измерения при различных условиях и построение графика) используется именно для того, чтобы уменьшить погрешность результата.

Вариант 2. Чертим прямую, находим экспериментальную точку, которая лежит ближе всего к прямой, и именно эту точку и считаем самой точной. Остаётся вычислить результат для неё по обычным формулам, рассчитав также и погрешность.

Вариант 3. Самый логичный. Пробуем провести через точки вместе с их погрешностями две прямые: с наибольшим и с наименьшим наклоном. Значения коэффициентов для них и будут верхней и нижней границами для результата. Зная границы, рассчитываем среднее значение коэффициента и погрешность. Данная погрешность неявно будет содержать в себе как систематическую погрешность экспериментально измеренных величин, так и случайную погрешность определения среднего, но уже с учётом точности каждого результата. Этот вариант годится для использования в экспериментах, когда коэффициент должен быть оценён достаточно точно. Но он достаточно сложен, поэтому не стоит его использовать во всех случаях.

Вариант 4. Использование встроенных программ в калькуляторах или готовых компьютерных программ для вычисления коэффициентов по методу наименьших квадратов. Этот способ пригоден для практикума в старших классах и/или в классах физматпрофиля. К сожалению, в такие программы, как правило, встроен метод наименьших квадратов, не учитывающий погрешностей экспериментальных точек. Применение имеет смысл в случаях, когда погрешности всех точек практически одинаковы или когда доминирующей является случайная погрешность. Она и будет учтена.

Какой из этих вариантов выбрать, может решать сам учитель. К счастью, таких работ довольно мало. Продемонстрируем все эти варианты на примере.

• Возьмём данные эксперимента по зависимости пути от времени равномерного движения (машинка из конструктора с электрическим приводом):

Действуя так, как описано в варианте 1, строим график (рис. 4).

Рис. 4

Так как точек на графике много, можно с уверенностью утверждать, что 8-я и 10-я точки являются «выбросами», т.е. измерены небрежно. Учитывая погрешность эксперимента, можно провести прямую практически единственным способом: соответствующая скорость 0,16 м/с. Если воспользоваться методом наименьших квадратов (например, встроенной функцией ЛИНЕЙН в программе MicrosoftExcel), то для коэффициента мы получим значение 0,158 ± 0,002 м/с (вариант 4).

Для варианта 2 подходит 3-я точка. Скорость, вычисленная по данным для этой точки, 0,158 м/с. Рассчитаем погрешность: Так как относительная погрешность пути мала по сравнению с относительной погрешностью времени, пренебрегаем ею. Абсолютная погрешность результата: 0,063 • 0,158 = 0,010 м/с. То есть скорость, вычисленная в варианте 2: (0,158 ± 0,010) м/с.

Из приведённого примера видно, что значения коэффициента пропорциональности получаются очень близкими. В этом примере погрешности отдельных измерений были достаточно малы, а точек, наоборот, было много. Рассмотрим пример, когда погрешности, напротив, велики, а количество опытов в силу объективных причин мало.

• Найдём плотности пластмассы путём измерения массы и объёмов тел.

В случае варианта 1 прямую проводим так, чтобы количество точек над и под прямой было одинаково (рис. 5), т.е. в данном случае – одна сверху, одна снизу (прямая 1). Плотность в этом случае равна 1,23 г/см³.

Рис. 5

В случае варианта 2 пригодна 2-я точка. Для неё значение плотности (1,2 ± 0,2) г/см³.

Вариант 3: проведём прямые 2 и 3. Для прямой 2 коэффициент пропорциональности 1,09 г/см³ является нижней границей искомого значения плотности, а для прямой 3 (1,27 г/см³) – верхней. Полусумма этих значений есть значение плотности (1,18 г/см³), а полуразность – значение погрешности (0,09 г/см³).

Вариант 4 в данном случае менее пригоден, т.к. не учитывает больших значений погрешностей при измерении объёма с помощью мерного цилиндра, но и в этом варианте плотность (1,18 ± 0,05) г/см³.

Следует заметить, что в двух последних примерах на графиках были обозначены только погрешности вдоль горизонтальной оси, т.к. погрешности значений второй переменной были очень малы.

Послесловие

Научиться обрабатывать результаты экспериментов учащиеся могут, лишь обрабатывая результаты экспериментов. Это означает, что помимо стандартного набора лабораторных работ необходимо проводить много фронтальных и демонстрационных экспериментов с обработкой результатов. Это большая работа, и я хочу пожелать успехов всем учителям, кто вступит на этот путь или уже стоит на нём.

Литература

1. Анофрикова С.В., Стефанова Г.П. Практическая методика преподавания физики. Часть первая. – Астрахань: Издательство Астраханского ГПИ, 1995.

2. Физика: Под ред. А.А.Пинского: Учебник для 10 кл. школ и классов с угл. изучением физики. – М.: Просвещение, 2002.

3. Попова О.Н. Обучение учащихся выявлению устойчивых связей и отношений между физическими величинами: Методическое пособие для учителей физики. – Элиста: Элистинский лицей, 1998.

4. Анофрикова С.В. Азбука учительской деятельности, иллюстрированная примерами деятельности учителя физики. Ч. 1. Разработка уроков. – М.: МПГУ, 2001.

5. Пёрышкин А.В. Физика-8. – М.: Дрофа, 2004.

6. Громов С.В., Родина Н.А. Физика-8. – М.: Просвещение, 2000.

7. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика-10. Механика. – М.: Просвещение, 2001.

8. Фронтальные лабораторные занятия по физике в 7–11 классах общеобразовательных учреждений. Книга для учителя: Под ред. В.А.Бурова, Г.Г.Никифорова. – М.: Просвещение, Учебная литература, 1996.

9. Зайдель А.Н. Элементарные оценки ошибок измерений. – Л.: Наука, 1967.

10. Хорозов С.А. Работа над ошибками: В кн. «Энциклопедия для детей», т. 16 «Физика», ч. 1 «Биография физики. Путешествие в глубь материи. Механистическая картина мира». – М.: Аванта+, 2000.

11. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика-10. – М.: Просвещение, 2004.

12. Кирик Л.А. Физика-9: Методические материалы. – М.: Илекса, 2003.

13. Шахмаев Н.М., Шахмаев С.Н., Шодиев Д.Ш. Физика-10. – М.: Просвещение, 1994.