Окончание. См. № 11/07

В.Б.ДРОЗДОВ, г. Рязань

Выбор пути решения динамических задач

В задачах третьего типа составляем импульсно-энергетическую систему уравнений. Одно уравнение – на закон сохранения импульса, другое – на закон сохранения энергии. Как правило, сюжетом таких задач является удар тел.

Задача 5. Тело массой m, движущееся со скоростью , налетает на покоящееся второе тело и после упругого столкновения отскакивает от него под углом 90° к первоначальному направлению движения со скоростью Определите массу M второго тела.

Решение.

Пусть u – скорость второго тела после удара. Тогда имеем систему уравнений:

Вектор а ₁ = . Первому векторному уравнению соответствует рисунок. По теореме Пифагора:

Скалярная система уравнений

легко упрощается:

откуда сразу вытекает: M = 2,6m.

В следующей задаче удар будет бесконтактным.

Задача 6. Два электрона находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга, причём первый электрон покоится, а второй летит на него со скоростью ₀. Определите наименьшее расстояние, на которое они сблизятся.

Решение.

Физически ясно, что второй электрон будет тормозиться кулоновской силой, а первый – ею же разгоняться. При сближении электронов на наименьшее расстояние r их скорости сравняются, т.е. относительная скорость электронов обратится в нуль. В дальнейшем первый электрон начнёт удаляться от второго. По законам сохранения энергии и импульса, имеем систему уравнений:

где m и e – масса и заряд электрона соответственно. Из второго уравнения сразу получается: тогда первое уравнение даёт:

Рассмотрим, наконец, отдельные физически интересные задачи, не укладывающиеся в таблицу. Так, для решения следующей задачи необходимо и достаточно применить только один закон сохранения импульса.

Задача 7. (МФТИ, 1991.) После разрыва неподвижного снаряда образовалось четыре осколка. Осколок массой m₁ = 4 кг полетел вертикально вниз со скоростью ₁ = 150 м/с, осколок массой m₂ = 3 кг – горизонтально на юг со скоростью ₂ = 100 м/с, осколок массой m₃ = 1 кг – горизонтально на восток, осколок массой m₄ = 4 кг – со скоростью ₄ = 200 м/с. Найдите скорость третьего осколка.

Решение.

Так как снаряд был первоначально неподвижным, то, по закону сохранения импульса, верно равенство
m₁₁ +  m₂₂ + m₃₃ + m₄₄ = 0. Заметим, что векторы m₁₁, m₂₂, m₃₃ взаимно перпендикулярны. Поэтому преобразуем наше равенство и возведём его в квадрат, учитывая, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

откуда находим:

Когда движется не материальная точка, а протяжённое тело, то в зависимости от того, какая величина является неизвестной, часто бывает достаточно одного энергетического уравнения.

Задача 8.

Канат длиной L переброшен через штырь. В начальный момент концы каната находились на одном уровне. После слабого толчка канат пришёл в движение. Определите скорость каната к моменту, когда он соскользнёт со штыря. Трением пренебречь.

Решение. Пусть масса каната m. Потенциальную энергию отсчитываем от нулевого уровня, обозначенного пунктиром. Учитываем, что в формуле потенциальной энергии mgh под высотой h надо понимать высоту центра тяжести тела. Поскольку все точки каната движутся с одной и той же скоростью, его кинетическую энергию определяем как Из закона сохранения энергии приходим к уравнению

откуда искомая скорость

В заключение приведём ряд конкурсных задач для самостоятельного решения с ответами.

Задача 1. (Физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1974.) Космический корабль находится на расстоянии h = 20 000 км от поверхности Земли и в системе координат, связанной с Землёй, имеет скорость ₁ = 6 км/с, направленную по радиусу от центра Земли. Двигатели не работают. Упадёт ли корабль на Землю или улетит в космическое пространство? Что произойдёт при тех же условиях, если скорость корабля 5 км/с? 4 км/с?

Ответ. Улетит; упадёт; упадёт.

Задача 2. (Физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1979.) С каким ускорением будут двигаться по наклонной плоскости два жёстко скреплённых между собой тела, имеющие массы m₁ и m₂? Коэффициенты трения между телами и наклонной плоскостью равны соответственно k₁ и k₂. Угол наклонной плоскости равен .

Ответ.

Задача 3. (Физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1981.) Невесомая платформа укреплена, как на ножках, на четырёх одинаковых невесомых пружинах. С высоты H падает тело массой m и, попав точно в середину платформы, прилипает к ней. Чему равна амплитуда возникших при этом колебаний, если жёсткость каждой пружины k?

Ответ.

Задача 4. (Физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1989.) Двигатель запускаемого с Земли реактивного снаряда массой m работает время , создавая постоянную по величине и направлению силу тяги F и обеспечивая прямолинейное движение снаряда под углом к горизонту. Определите высоту, на которой прекращается работа двигателя. Изменением массы снаряда и сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ.

Задача 5. (Физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1994.) На наклонную плоскость положили шайбу и сообщили ей скорость, направленную вдоль плоскости вверх. Коэффициент трения шайбы о плоскость равен . Найдите угол наклона плоскости к горизонту, при котором шайба пройдёт минимальное расстояние до остановки.

Ответ.

Задача 6. За какое время t тело соскользнёт с наклонной плоскости высотой h, наклонённой под углом к горизонту, если по наклонной плоскости с углом наклона оно движется равномерно?

Ответ.

Задача 7. Нить с подвешенным на ней грузом отклонили на угол и отпустили. На какой угол отклонится нить с грузом, если при своём движении она будет задержана штифтом, поставленным под точкой подвеса на середине длины нити?

Ответ.

Задача 8. С горы высотой h = 2 м и основанием b = 5 м съезжают санки, которые затем останавливаются, пройдя по горизонтали путь l = 35 м от основания горы. Найдите коэффициент трения, считая, что он одинаков на наклонной плоскости и на горизонтали. Переход с горы на горизонталь санки проходят без трения.

Ответ. k = 0,05.

Задача 9. Груз массой m = 0,2 кг, подвешенный на пружине жёсткостью k = 20 Н/м, лежит на подставке так, что пружина не деформирована. Подставку резко убирают, и груз начинает двигаться. Найдите его максимальную скорость.

Ответ.

Задача 10. Частица кинетической энергией E₀ упруго сталкивается с такой же неподвижной частицей и отклоняется от первоначального направления на угол 60°. Определите кинетические энергии частиц после соударения.

Ответ.

Задача 11. Лёгкая пружина жёсткостью k и длиной l стоит вертикально на столе. С высоты H над столом на неё падает небольшой шарик массой m. Какую максимальную скорость будет иметь шарик при своём движении вниз, сжимая пружину? Трением пренебречь.

Ответ.

Задача 12. (МФТИ, 1971.) Самолёт садится на палубу авианосца, имея скорость  = 108 км/ч. Зацепившись за канат торможения, он пробегает путь s = 30 м до полной остановки. Определите максимальный вес пилота при посадке, считая, что коэффициент упругости каната не изменяется по мере его растяжения. Масcа пилота m = 70 кг.

Ответ. P_max = 2200 Н.

Задача 13. (МФТИ, 1974.) Два тела массами m и 3m движутся по взаимно перпендикулярным направлениям. После соударения тело массой m остановилось. Какую часть его энергии составляет выделившееся при ударе тепло?

Ответ. 2/3.