В.Л.БУЛЫНИН,
ЦО № 17 ЦАО, г. Москва

Задачи по гидростатике

Согласно школьной программе, законы гидростатики изучаются лишь в 7-м классе, возвращение к их изучению и закреплению в дальнейшем не предусмотрено. Тем не менее задачи на гидростатику относятся к весьма трудным и, если в старших классах не было решено достаточно подобных задач, то на вступительных экзаменах в технические вузы ученик может столкнуться с очень серьёзными, а то и непреодолимыми трудностями. Предлагаемая подборка задач имеет своей целью дать школьнику и преподавателю физики представление об уровне сложности материала по этой теме.

Задача 1 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Плотность раствора соли с глубиной меняется по закону = ₀ + Ah, где ₀ = 1 г/см³, А = 0,01 г/см⁴. В раствор опущены два шарика, связанные нитью такой длины, что расстояние между центрами шариков не может превышать L = 5 см. Объём каждого шарика V = 1 см³, массы m₁ = 1,2 г и m₂ = 1,4 г. На какой глубине находится каждый шарик?

Решение.

В силу симметрии шариков относительно горизонтальной плоскости, пороходящей через их центры, сила Архимеда для каждого шарика равна gV, где – плотность жидкости на уровне центра шарика. Запишем условие равновесия для каждого из шариков и сложим уравнения:

где

Объединяя все уравнения, находим:

h₂ = h₁ + L.

Подставляя числовые данные, получаем:

h₁ = 27,5 см; h₂ = 32,5 см.

Задача 2 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). В водоёме укреплена вертикальная труба с поршнем так, что нижний конец её погружён в воду. Поршень, лежавший вначале на поверхности воды, медленно поднимают на высоту H = 15 м. Какую работу пришлось на это затратить, если площадь поршня 1 дм², атмосферное давление p₀ = 10⁵ Па? Массой поршня пренебречь.

Решение. Сила, которую надо прикладывать к поршню, линейно возрастает от 0 до F_max = p₀S. Зависимость этой силы от высоты столба поднятой воды равна F(h) = ghS, где – плотность воды, h – высота столба поднятой воды, S – площадь поршня.

Максимально возможная высота столба воды, поднятой таким способом, h₁ = 10 м, при этом gh₁ = p₀. График зависимости F = F(h) изображён на рисунке. Очевидно, что работа по подъёму поршня равна площади трапеции под графиком F(h):

Подставив числовые данные, получаем A = 10⁴ Дж.

Задача 3. Льдина площадью 1 м² и толщиной 0,4 м плавает в воде. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? Плотность льда 900 кг/м³, g = 10 м/с².

Решение. Пусть в исходном состоянии h – глубина погружения плавающей льдины. Запишем условие равновесия и следствия из него:

где _в, _л – плотности воды и льда соответственно, V_погр – объём погружённой части льдины, V – её полный объём, Н – толщина льдины, h – толщина погружённой части.

При погружении льдины сила нажима линейно возрастает от нуля до F_max, совершая работу

Задача 4. Бетонная однородная свая массой m лежит на дне водоёма глубиной h, большей, чем длины сваи l. Привязав трос к одному концу сваи, её медленно вытаскивают из воды так, что центр тяжести сваи поднимается на высоту H от поверхности воды (H > l). Какая работа совершается при подъёме сваи? Плотность бетона в n раз больше плотности воды. Силами сопротивления пренебречь.

Решение

1-й способ. Разобьём работу на три этапа:

• Подъём верхнего конца сваи до поверхности воды:

– центр тяжести поднимается на высоту

– сила натяжения троса постоянна и равна mg – F_A;

– работа (плотность бетона, по условию, в n раз больше плотности воды).

• Подъём сваи на высоту l – такую, чтобы нижний конец сваи касался поверхности воды:

– сила натяжения троса линейно возрастает от mg – F_A до mg, и работа этой силы равна

• Наконец, подъём центра тяжести на высоту H над поверхностью воды:

– сила натяжения троса постоянна и равна mg;

– работа (на высоту центр тяжести уже был поднят на предыдущем этапе).

• Общая работа A = A₁ + A₂ + A₃:

2-й способ. Применим закон сохранения энергии. Работа равна изменению энергии системы свая–вода. Потенциальная энергия сваи возросла на mg(H + h). Потенциальная энергия воды уменьшилась на – вода из верхнего слоя водоёма опустилась на дно и заняла объём, прежде занятый сваей. Отсюда:

Задача 5 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). В сосуде находятся три несмешивающиеся жидкости плотностями (сверху вниз) , 2 и 3. Толщина этих слоёв Н/3, H и H соответственно. На дне сосуда лежит стержень из материала плотностью 6, массой m, длиной H. Какую работу надо совершить, поднимая стержень за один конец вертикально, чтобы его верхний торец коснулся поверхности жидкости плотностью ? Толщиной стержня пренебречь. Трение отсутствует.

Решение

Пусть V – объём стержня, A₁ – работа по подъёму стержня в жидкости плотностью 3 в вертикальное положение (подъём центра масс на высоту H/2):

При перемещении стержня из жидкости плотностью 3 до верхнего уровня жидкости плотностью 2 сила линейно изменяется от При этом центр тяжести стержня перемещается на высоту H. Следовательно, работа равна:

A₃ – работа по подъёму части стержня длиной внутри жидкости плотностью 2 (при этом нижний конец стержня и соответственно центр тяжести этой части стержня поднимается на ):

A₄ – работа по перемещению части стержня длиной из жидкости плотностью 2 в жидкость плотностью :

Полная работа равна:

A = A₁ + A₂ + A₃ + A₄ =

где – масса стержня.

Задача 6. Акселерометр представляет собой изогнутую под прямым углом трубку, заполненную маслом. Трубка располагается в вертикальной плоскости, угол При движении трубки в горизонтальном направлении с ускорением a уровни масла в коленах трубки соответственно равны h₁ = 8 см и h₂ = 12 см. Найдите величину ускорения a.

Решение

Рассмотрим сосуд с жидкостью (аквариум), который движется в горизонтальном направлении с ускорением a. При таком движении поверхность жидкости составляет угол с горизонтальной плоскостью, такой что

Такой же перепад высот имеет и жидкость в трубке акселерометра, движущегося с тем же ускорением. Получаем l = h₂ + h₁,

т.к., по условию,  = 45°.

Задача 7 (НГУ). Вертикальный цилиндрический сосуд радиусом R, частично заполненный жидкостью, вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси. 

К боковой стенке сосуда на нити длиной l привязан воздушный шарик радиусом r; во время вращения нить образует со стенкой угол . Найдите угловую скорость вращения сосуда.

Решение

Задача 8 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Цилиндрический сосуд с жидкостью плотностью вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ОО₁. Внутри сосуда к оси OO₁ в точке A прикреплён тонкий горизонтальный стержень AB, по которому без трения может скользить муфта в виде шара радиусом r. Шар связан с концом A стержня пружиной жёсткостью k, длина которой в нерастянутом состоянии равна L₀. Определите расстояние до центра шара от оси вращения, если плотность материала шара в четыре раза меньше плотности жидкости.

Решение

Направим ось X по направлению стержня AB, а ось Y по вертикальной оси OO₁. По условию задачи, перемещение шара возможно лишь вдоль стержня. Так как плотность шара меньше плотности жидкости, составляющая силы Архимеда вдоль оси X больше составляющей силы mg_эфф, и шар будет вытесняться жидкостью к оси вращения, сжимая пружину. Исходное положение центра шара L₀ + r. Пусть во время вращения центр шара находится на расстоянии x от оси, при этом пружина сжата на величину L₀ + r – x. Уравнение движения шара массой m по окружности радиусом x с угловой скоростью имеет вид m²x = F_ц, где сила F_ц – результат сложения горизонтальной составляющей силы Архимеда и силы упругости сжатой пружины: F_упр = k(L₀ + r – x).

Если – плотность материала шара, то

Отсюда получаем:

По условию, В итоге получаем ответ:

Задача 9 (НГУ). Цилиндрический космический корабль радиусом R вращается вокруг своей оси с угловой скоростью . Бассейн в корабле имеет глубину H, а дном бассейна служит боковая стенка корабля. Определите плотность плавающей в бассейне палочки длиной l < H, если из воды выступает её верхняя часть длиной .

Решение

Во вращающейся неинерциальной системе отсчёта роль силы тяжести играет центробежная сила инерции F_ц = m²r, где r – расстояние элемента массы m от оси вращения. Центр масс погружённой части палочки находится от оси вращения на расстоянии

Сила Архимеда, действующая на погружённую часть палочки длиной l – , равна F_A = _ж²r_ц(l – )S, где _ж – плотность жидкости (воды), S – площадь поперечного сечения палочки.

Центр масс всей палочки находится от оси вращения на расстоянии

Условие плавания палочки: P = F_A, где P – вес палочки.

где – плотность палочки;

Приравняв P и F_А, находим плотность палочки:

Вячеслав Леонидович Булынин окончил физический факультет Ленинградского государственного университета в 1964 г. и по 1992 г. работал в научно-исследовательских институтах в области прикладной сверхпроводимости. С 1993 г. преподаёт в школе физику, астрономию, математику; педагогический стаж 15 лет. Учитель высшей квалификационной категории, методист ЦО № 17. Автор двух пособий по физике, изданных «Континентом-Пресс» в 2004 г.: «Физика. Тесты и задачи» и «Физика. Пособие для подготовки к государственному экзамену». Женат, имеет двух дочерей.