В.В.ШМАЛЬ,
школа № 282 ЦАО, г. Москва

Колебательные процессы

Алгоритм решения задач. Факультативные занятия. 10–11-й классы

Решение физических задач способствует приобщению учащихся к самостоятельной творческой работе, приучает анализировать и глубже проникать в сущность изучаемых явлений. Поэтому необходимо знать общую методику решения задач, а не довольствоваться решением частных, для чего, в свою очередь, необходимо сформулировать алгоритм решения для любой задачи темы.

При колебаниях может изменяться любая физическая величина: координата, угол, сила тока, напряжение, температура и т.д. Любые гармонические колебания описываются функцией вида x = x₀cos(t + ₀), где x₀ – амплитуда колебаний, – циклическая частота, ₀ – начальная фаза колебания, x – координата тела в момент времени t, удовлетворяющая уравнению: – частота колебаний, T – период колебаний.

1. Два груза массами m и 2m подвешены на лёгком жёстком стержне длиной 2L на расстоянии L друг от друга. Определите период колебаний такого физического маятника.

В этой задаче за гармонически изменяющуюся величину лучше брать не координату, а угол , т.е. решить уравнение Угол является функцией времени:

Для верхнего груза в любой момент времени потенциальная энергия

Аналогично для нижнего груза:

Общая потенциальная энергия системы:

Аналогично, кинетическая энергия:

Скорость направлена по касательной к траектории: где R – радиус вращения. Тогда:

Полная энергия системы сохраняется: W = W_p + W_k = const, т.е.

Продифференцируем это уравнение по времени, учитывая, что

Сокращая на m, L, вынося за скобки общий множитель '  и учитывая, что для малых углов (в радианной мере), получим:

Задача имеет два решения:

1) – система покоится;

2) 

Находим искомое уравнение:

откуда

Период колебаний

2. Определите период колебаний воды в изогнутой под углом 2 трубке. Поперечное сечение трубки постоянно, вода занимает отрезок трубки длиной l. Трением пренебречь.

За переменную можно взять координату x = f(t) уровня воды в левом колене трубки. Потенциальная энергия столба воды в произвольный момент времени:

где S – сечение трубки, – плотность воды.

Поскольку кинетическую энергию столба воды можно записать:

Полная энергия в произвольный момент времени:

W = W_p + W_k = const;

После дифференцирования по t получим:

Отсюда:

Частный случай U-образной трубки ( = 0):

cos  = 1,

3. Дан колебательный контур без затухания (активное сопротивление равно нулю) с постоянной ёмкостью C и индуктивностью L. Покажите, что свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими, и определите их период.

Если зарядить конденсатор C и затем замкнуть ключ K, то в схеме возникнут колебания заряда q на конденсаторе, тока в цепи и ЭДС самоиндукции. За переменную величину q удобно взять заряд на одной из обкладок конденсатора.

По закону сохранения энергии,

Продифференцируем это уравнение по времени:

Поскольку

Решение этого уравнения представляет собой гармонические колебания: где

Тогда:

– период колебаний:

– ток:

– ЭДС самоиндукции:

– напряжение на конденсаторе:

Заряд, ЭДС самоиндукции и напряжение на конденсаторе колеблются в фазе, а фаза колебаний тока опережает фазу их колебаний на

4. [Задача решена редактором. – Ред.] Найдите циклическую частоту малых колебаний маятника в виде груза m на лёгком стержне длиной l, если к середине стержня прикреплена пружина жёсткостью k. В положении равновесия пружина не деформирована, её ось горизонтальна.

Потенциальная энергия маятника будет складываться из потенциальной энергии груза в поле силы тяготения и потенциальной энергии пружины. При отклонении стержня от вертикали на малый угол

где h – высота подъёма.

Удлинение пружины (из-за малости угла ), её потенциальная энергия

Общая потенциальная энергия

По закону сохранения энергии,

С учётом того, что , продифференцировав это равенство по времени, получим, сократив на

Искомая циклическая частота