Продолжение. См. № 20/06

А.А.СКЛЯНКИН, А.В.ЗОТЕЕВ,
МГУ, г. Москва

zoteyev@vega.phys.msu.ru

Химфак МГУ-2005

Вступительные испытания по физике

Вариант 4 (окончание)

7. Два электрических нагревателя рассчитаны на одно и то же напряжение сети и имеют номинальные мощности P₁ = 400 Вт и P₂ = 1000 Вт. Нагреватели соединяют последовательно и подключают к сети. Найдите отношение количеств теплоты, выделяемых в единицу времени каждым нагревателем P*₁/P*₂. Изменением сопротивлений нагревателей при увеличении их температуры пренебречь.

Решение

Количество теплоты, выделяемое нагревателем в единицу времени (тепловая мощность), вычисляется по закону Джоуля–Ленца: P = I²R, где I – сила тока, протекающего через резистор сопротивлением R. При последовательном соединении нагревателей через них течёт один и тот же ток, поэтому

Номинальные мощности задаются при одинаковом напряжении сети. Поэтому в этом случае тепловую мощность удобнее выразить через напряжение. Для этого следует воспользоваться законом Джоуля–Ленца и законом Ома и получить:

Отношение сопротивлений нагревателей при одинаковом напряжении

Таким образом, получаем:

8. К катушке индуктивностью L = 4 мГн подключают предварительно заряженный конденсатор ёмкостью С = 0,1 мкФ. Через какое время после подключения энергия электрического поля конденсатора станет равной энергии магнитного поля катушки? Считать, что активное сопротивление контура пренебрежимо мало.

Решение

После того как к катушке индуктивности подключили заряженный конденсатор, в контуре начинаются гармонические колебания. Напряжение на обкладках конденсатора изменяется по закону

U(t) = U₀ cos t.     (1)

Здесь U₀ – максимальное напряжение на обкладках конденсатора (оно равно тому напряжению, до которого исходно был заряжен конденсатор), – круговая частота собственных колебаний, вычисляемая с помощью формулы Томсона:

     (2)

В процессе колебаний суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки остаётся постоянной. Эта сумма равна начальной энергии, запасённой конденсатором. В первую четверть периода напряжение конденсатора уменьшается. Вместе с этим уменьшается энергия электрического поля конденсатора и увеличивается энергия магнитного поля катушки. В некоторый момент времени (его надо найти) энергия электрического поля сравняется с энергией магнитного поля. Это означает, что начальная энергия электрического поля уменьшится в 2 раза.

Как известно, энергия электрического поля конденсатора прямо пропорциональна квадрату напряжения на его обкладках

Значит, надо найти такой момент времени , когда С учётом формулы (1) это даёт

Из этого условия находим :

С учётом формулы (2) получаем окончательный результат:

9. В цилиндре под поршнем в пространстве объёмом V₁ = 1,5 л находится воздух относительной влажностью ₁ = 80% при температуре t₁ = 27 °C. Какова будет относительная влажность воздуха в цилиндре, если объём уменьшить до V₂ = 0,37 л, а температуру повысить до t₂ = 100 °C? Давление насыщенного водяного пара при температуре t₁ равно p_н = 20 мм рт.ст. Пар считать идеальным газом. Атмосферное давление p₀ = 760 мм рт.ст.

Решение

Рассмотрим два состояния водяного пара.

1. Исходное состояние характеризуется объёмом V₁, температурой Т₁ и парциальным давлением водяного пара p₁. Это давление можно найти, воспользовавшись определением относительной влажности воздуха:

откуда p₁ = ₁ p_н(t₁) .

2. Конечное состояние характеризуется объёмом V₂, температурой T₂ и парциальным давлением пара p₂.

По условию, пар можно считать идеальным газом. Так как при переходе из одного состояния в другое масса пара не изменяется, можно воспользоваться объединённым газовым законом

Отсюда найдём

Влажность ₂ во втором состоянии где p_н(t₂) – давление насыщенного водяного пара при температуре t₂, т.е. во втором состоянии. Обратим внимание на то, что t₂ = 100 °C – температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении p₀ = 760 мм рт.ст. Как известно, кипение жидкости происходит при такой температуре, при которой давление насыщенных паров равно атмосферному. Следовательно,

p_н(t₂) = p₀ = 760 мм рт.ст.

Таким образом,

При подстановке численных данных надо учесть, что температура Т должна быть выражена в градусах абсолютной шкалы T₁ = 300 K и T₂ = 373 K. Объём и давление выражать в единицах СИ не обязательно, они входят в формулу в виде отношения, и их единицы сократятся.

После подстановки чисел получим:

₂ = 0,1 (10%).

10. Какой заряд протечёт через резистор R после замыкания ключа K в схеме, представленной на рисунке? ЭДС источника  = 12 В, ёмкости конденсаторов С₁ = 20 мкФ и С₂ = 10 мкФ.

Решение

Если конденсатор ёмкостью С подключить к батарее электродвижущей силой , то после полной зарядки конденсатора заряд на его обкладках будет равен q = С. Любое изменение электроёмкости, по какой бы причине оно ни произошло, вызовет изменение заряда на обкладках, т.е. кратковременное протекание тока в цепи. В условии предлагаемой задачи изменение электроёмкости связано с изменением способа соединения конденсаторов.

Сначала найдём общую электроёмкость батареи конденсаторов до замыкания ключа. Используя формулы для электроёмкости последовательно и параллельно соединённых конденсаторов, получаем:

Так как тока в цепи нет, напряжение на конденсаторе равно , заряд равен q₀ = C₀.

Новый заряд после замыкания ключа определяем аналогично. Электроёмкость батареи равна

Тогда q* = C*.

Изменение заряда q = q* – q₀ равно искомому заряду, который протечёт через резистор R: