В.Ф.МАЙОРОВ,
Воротынская СШ, п. Воротынец, Нижегородская обл.

Идеи, подсказанные учениками, или Применение математических функций для изучения некоторых вопросов астрономии

Перефразируем крылатое выражение Пуассона (того самого, который придумал скобки, интеграл, метод суммирования, преобразование, распределение, понятие теоремы, уравнение, формулу суммирования, поток, процесс и т.д.): «Жизнь украшается двумя вещами – занятием математикой, физикой, астрономией и их преподаванием».

Какие неожиданные идеи могут предложить ученики, память которых пока не загружена сложными формулами и законами?

• Возьмём простую функцию синуса, которую изучают уже в 8-м классе. Один ученик поделился со мной ответом на вопрос: почему в марте долгота дня меняется быстро, а в июне и в декабре – медленно? Эти дни так и называются: дни солнцестояния. Нарисуем график простой функции, похожий на график синуса, и безо всяких вычислений и использования теории движения Земли вокруг Солнца ответ получим мгновенно: точки, где график пересекает ось времени, соответствуют 23 сентября и 21 марта. Вертикальная ось – t – отклонение долготы дня от 12 ч. Очевидно, что за один день долгота дня в середине марта изменяется значительно больше, чем, например, в июне или в декабре. Чтобы проверить этот факт, достаточно взять отрывной календарь, в котором есть данные о долготе дня. Разумеется, эта функция не является синусоидой, но полученный результат соответствует природе. Позже я узнал, что эта задача помещена в журнале «Квант» ещё в 1971 г. (Коткин Г.Л., 1971, № 1, задача № 72). Идея использования графика, похожего на синусоиду, оказалась плодотворной.

Аналогичные ситуации часто бывают в науке. Так, Лаплас и Митчелл в XVIII в. предсказали существование так называемых чёрных дыр, исходя из совершенно неправильных представлений, а понятие «радиус сферы Митчелла» вошло в современную терминологию.

• Недалеко от меридиана 45° находится рабочий посёлок Воротынец, поэтому я на уроках говорю ученикам, что по радио сообщают не московское время, а Воротынское. Точнее говоря, Лысковское, т.к. г. Лысково (недалеко от Воротынца) находится на восточной долготе 45° 03' , т.е. точно в центре третьего часового пояса. Три угловые минуты соответствуют на нашей широте 6370 • cos56° • 3/(57,3 • 60) 4,88 км, т.е. «меридиан 45» – в пределах г. Лысково. Возникает идея воздвигнуть в городе монумент – по примеру других городов.

Например, в немецком городе Гёрлиц стоит монумент, на котором написано: «15-й меридиан определяет среднеевропейское время, которое справедливо для стран Скандинавии, Средней Европы, Венгрии, Югославии, Италии, Туниса, Камеруна. Воздвигнут в 1961 г. Год первого полёта человека в космос».

Аналогичные знаки имеются на северо-восточном побережье Чукотки – «180-й меридиан» и в Гринвиче (Великобритания) – «Линия нулевого меридиана».

Линия нулевого меридиана, Гринвич (Великобритания)

• Найдём высоту Солнца в кульминации, т.е. в полдень (а именно, в 14^ч летом и в 13^ч зимой), в середине нашего третьего часового пояса в любой день года. Для определения высоты Солнца в нашей местности (в Воротынце, в Нижнем Новгороде, в Москве, где широта местности приблизительно равна 56°) применим известную формулу для определения высоты светила в кульминации: h = 90° – + ,где – широта местности, где производится наблюдение, – склонение светила, которое обычно находится по таблицам в справочниках. Так как склонение Солнца является периодической функцией времени (оно то возрастает, то убывает), аппроксимируем склонение функцией синусом _С = 23,5° • sin(2N/T), где N – номер дня от дня весеннего равноденствия (22 марта), Т – период вращения Земли вокруг Солнца в сутках (например, в високосный год Т = 366), _С – склонение Солнца в день N.

Четыре точки функции дают точные значения. Эти точки соответствуют дням:

– N = 0, когда _С = 0;

– N = 183, _С = 0 (22 сентября: 9 дней марта + 30 дней апреля + 31 день мая + 30 дней июня + 31 день июля + 31 день августа + 21 день сентября);

– N = 366, _С= 0 (соответствует N = 0 и N = 92, точнее 91,5, т.е. дата 22 июня); _С = +23,5° (9 дней марта + 30 дней апреля + 31 день мая + 22 дня июня);

– N = 274, _С= –23,5° (9 дней марта + 30 дней апреля + 31 день мая + 30 дней июня + 31 день июля + 31 день августа + 30 дней сентября + 31 день октября + 30 дней ноября + 21 день декабря).

Возьмём точку, вернее день, отстоящий довольно далеко от указанных, а именно в середине любого отрезка, и найдём абсолютную погрешность определения склонения Солнца, следовательно, и высоты Солнца в кульминации. Вычислим склонение Солнца для N = 46 (7 мая): _С = 23,5° • sin(2 •46/366) = 16,7° = 16° 42' . Находим по справочнику _С =16° 40' (по подвижной карте звёздного неба это сделать невозможно). Получается поразительная точность!

Таким образом, опять функция sina помогает с довольно хорошей точностью. (В другие дни точность расчёта ещё выше!) При отсутствии справочников по предложенной формуле для _С можно вычислить склонение Солнца в любой день года. А высоту Солнца в кульминации можно определить даже устно, особенно если дата близка к указанным выше. Для этого применяем приближённую формулу вычисления значения синуса для малых углов, который равен самому углу, выраженному в радианах.

• На Всероссийской олимпиаде школьников по астрономии в 2005 г. для школьников 9–10-го классов была предложена задача: «В какие дни года и при каком положении Луны на её орбите наблюдается максимальное уменьшение высоты Луны над горизонтом от одной её верхней кульминации до последующей при фазах: новолуние, первая четверть, полнолуние, последняя четверть? Ответ аргументируйте и сделайте чертёж».

И опять можно использовать функцию sin, но только на качественном уровне. Так как высота Луны в кульминации меняется день ото дня, но в определённых пределах, причём то увеличивается, то уменьшается, предполагаем это изменение в виде суммы уже двух синусов углов:

где Т_З – период обращения Земли вокруг Солнца равный 365,25 сут.; Т_Л – период обращения Луны вокруг Земли равный 27,3 сут.; N – номер дня от 22 марта; n – номер дня от момента, когда Луна находилась на линии узлов лунной орбиты. Пусть внимательный читатель простит мне многие предположения и неточности, ведь расчёт движения Луны до настоящего времени представляет большие сложности. Все элементы лунной орбиты подвержены возмущениям, причём не одному, а нескольким сотням, с разными периодами и амплитудами. Одним словом, это одна из труднейших задач небесной механики.

Я не учитываю, что угол наклона лунной орбиты к эклиптике может изменяться в пределах ±9,5' от среднего значения 5° 8', причём наибольшего значения наклон орбиты достигает, когда линия Земля–Солнце совпадает с линией узлов лунной орбиты, а наименьшего – когда они перпендикулярны. Не учитываю влияние Солнца на движение Луны (эвекцию), не учитываю вариации, годичное уравнение, смещение перигея и другие приближения, в данном случае несущественные. Из последней формулы видно, что если восходящий узел лунной орбиты совпадает с точкой весеннего равноденствия, то амплитуда колебаний склонения Луны равна 28° 36' (23° 27' + 5° 09'), а если в точке весеннего равноденствия находится нисходящий узел, то амплитуда колебаний склонения Луны будет равна 18° 18' (23° 27' – 5° 09'), т.е. меньше, чем в первом случае, а это сильно влияет на условия наблюдения Луны.

• Интересные выводы можно сделать, наблюдая одну из спиральных галактик под прямым лучом зрения. Такую возможность нам представляет галактика М51, фотографию которой вы видите. Координатные оси и точки спирали отмечены красным и жёлтым цветом. Отмеченные латинскими цифрами точки одной из ветвей спирали галактики вполне согласуются с уравнением спирали Архимеда, который впервые изучил её ещё 2250 лет назад: r = k в полярных координатах, где r – расстояние от точки О, а – угол между направлением на точку спирали из точки О и осью абсцисс, k – постоянное число (параметр спирали).

• Вернёмся опять к функции sina. В Воротынском районе при строительстве Чебоксарской ГЭС на Волге была сооружена защитная дамба длиной около 20 км. Можно ли увидеть эту дамбу с Луны невооружённым глазом?

Делаем расчёт, учитывая, что расстояние до Луны 384 000 км, а разрешающая способность глаза приблизительно равна 1':

 

(Мы применили приближённую формулу sin , в радианах, при малых .) Нет, увидеть дамбу с Луны невооружённым глазом нельзя.

Так, простые соображения относительно свойств некоторых математических зависимостей позволяют сделать правильные выводы.

Виктор Фёдорович Майоров – учитель физики, астрономии и информатики первой квалификационной категории, выпускник кафедры теоретической физики физического факультета Горьковского государственного университета. Педагогический стаж 37 лет. Хобби: шахматы, иностранные языки.