М.А.БРАЖНИКОВ, г. Москва

Стеклянная гармоника Франклина

…Экипаж напоминал открытую раковину из сверкающего хрусталя, и оба высоких колеса сделаны были из того же материала. Когда они вертелись, слышались дивные звуки органа…

Э.-Т.-А. Гофман.

Крошка Цахес, по прозванию Циннобер [1]

Гармоника Франклина, или гласкорд, – старинный музыкальный инструмент, представлял собой вал, помещённый в продолговатый футляр, до определённого уровня наполненный водой. На этом валу было укреплено до сорока полушарий, постепенно увеличивающихся в размере и вдвинутых друг в друга (рис. 1–3). Вал с прикреплёнными к нему полушариями приводился во вращательное движение с помощью ножной педали. Перед началом игры стеклянные полушария смачивали и, прикасаясь пальцами к тому или иному полушарию, извлекали желаемые звуки. Звуковой объём этого инструмента имел до трёх-четырёх октав, в зависимости от числа стеклянных чаш (от 37 до 46) [2].

Рис. 1. Б.Франклин за инструментом

Рис. 2. Стеклянная гармоника. Старинная гравюра из коллекции Эрмитажа

В XVIII в. этот инструмент стал особенно популярен в Англии, где его появлению предшествовало увлечение игрой на стеклянных бокалах (в 1746 г. К.-В.Глюк дал концерт на 26 бокалах). Считается, что Б.Франклин усовершенствовал (создал) этот инструмент в 1761–1763 гг. и подарил г-же Дэвис, которая показывала его в 1765 г. сначала в Англии, а потом во Франции и Германии [3]. Позже следы гармоники, сделанной Франклином, затерялись, но в конце XVIII – начале XIX вв. инструмент был достаточно популярен: и В.-А.Моцарт, и Л.Бетховен, и М.И. Глинка вводили его в партитуру своих произведений. В середине XIX в. гармоника вышла из моды, однако она не пропала бесследно, как сказано в [4]. Более того, экземпляры этого инструмента можно увидеть в Петербурге, в Музее музыки в Шереметевском дворце («Фонтанный дом»), и услышать – в июле 2006 г. в Пярну и Риге прошли концерты Томаса Блоха (Франция) на стеклянной гармонике [5, 6].

Набор простейших музыкальных инструментов, доступных каждому – звучащие бокалы, – могут быть с успехом использованы и на уроках физики для демонстрации звуковых явлений. С их помощью можно показать (т.е. дать возможность ученикам увидеть и услышать):

• связь между высотой тона и частотой колебаний;

• зависимость частоты колебаний от параметров колебательной системы;

• различие между простым звуком и сложным;

• возникновение стоячих волн в акустических музыкальных инструментах при излучении звука.

Рассказ о необычном инструменте необычного человека – Бенджамина Франклина, политика, дипломата и физика – может быть особенно поучителен в наши дни.

Звук поющего бокала

Объяснение физики поющего бокала достаточно сложно и не может быть во всей полноте представлено в рамках школьного курса (да, наверное, и институтского общего курса физики). Поэтому при изложении вопроса лучше идти от закономерностей, которые были открыты в результате обобщения экспериментов.

Извлекают звук из бокала, водя пальцем по ободку (рис. 4), но руки должны быть чистыми, без малейших следов жира. Обычно пишут, что «запеть» можно заставить не всякий бокал [4]. Лучше поют бокалы из простого тонкого стекла, но не всякие, в чём автор убедился сам, и не обязательно тонкие – ниже будет показан звук небольшой вазы для фруктов со стенками толще 2 мм. Зазвучать может и вазочка для варенья, а Рэлей извлекал звук, водя мокрым пальцем по краю колокола воздушного насоса [7].

Рис. 4. Извлечение звука

Звучащее тело совершает колебания, и это показать просто (рис. 5). Колебания бокала образуют стоячую волну: в одних положениях шарики, соприкасающиеся с чашей, не отклоняются вовсе (на узловых линиях, расположенных во взаимно перпендикулярных плоскостях – для основного тона), в других – отскакивают на значительные расстояния.

Рис. 5. Узлы и пучности основного тона

Если звук извлекается при помощи влажного пальца, то узлы и пучности движутся, и достаточно одной бусинки на ниточке, чтобы показать радиальные колебания звучащего бокала. Узловые линии при основном тоне колебаний представляют собой меридианы. Увидеть их непросто, в старой книге физических опытов [8] предлагалось нанести «молоко» из тонкого раствора обожжённой извести на стенки специальной чаши, а затем покрыть стенки грубозернистым кварцевым песком. При движении смычка по краям чаши на её внутренней поверхности образуется рисунок, который проявляется после высыхания побелки (рис. 6).

Рис. 6. Визуализация узловых меридианов

Однако проще произвести опыты с водой. Возникновение узловых линий можно наблюдать, если мокрым пальцем водить по краю бокала. Вода в нём до некоторой степени передаёт рисунок красивых волн: в месте, где остановился палец, образуются узловые линии (рис. 7). Для лучшей видимости воду следует подкрасить чернилами, и такое фото можно демонстрировать на уроке одновременно с извлечением звука из бокала. (Ученики получат огромное удовольствие, поставив опыт дома!)

Рис. 7. Волны на поверхности чистой воды

Проводя опыты с помощью смычка, Мельде наблюдал в чаше, наполненной спиртом или эфиром, образование маленьких пузырьков, которые вырывались из жидкости и, не смешиваясь с ней, разбегались по поверхности, направляясь к узловым линиям [9]. Мельде извлекал не только основной тон, но и обертоны (рис. 8), различающиеся частотой как квадраты чисел: 2², 3², 4², 5². Число узлов определялось числами: 4, 6, 8, 10 [9]. Чаша (колокол) не является музыкальным инструментом, т.к. обертоны не пропорциональны основной частоте.

Рис. 8. Опыты Мельде. Точкой показано приложение смычка: а) основной тон; б) первый обертон; в) линии тока на поверхности жидкости

Если чаша достаточна большая, то отрывающиеся водяные пузырьки образуют брызги, вылетающие из неё. Волны на поверхности, по-видимому, являются капиллярными, и поверхностное натяжение играет роль не только в их образовании, но и в отрыве капель. Поверхностное натяжение эфира или спирта меньше, чем воды, поэтому пузырьки образуются легче. Дж.Тиндаль предполагал, что нагревание жидкости должно способствовать образованию пузырьков.

С большей или меньшей степенью подробности на уроке, посвящённом звуковым волнам, с помощью звучащего бокала можно продемонстрировать, что при извлечении звука акустический инструмент приходит в колебательное движение, причём в нём устанавливаются стоячие волны.

Высота звука зависит от [3]: величины бокала, толщины стенок и количества воды в нём (чем выше уровень воды, тем ниже тон). Рэлей указывал [7], что для тонких металлических цилиндров, открытых с одного конца, экспериментально и теоретически было установлено, что высота тона практически не зависит от высоты цилиндра, но прямо пропорциональна толщине стенок и обратно пропорциональна квадрату диаметра. Последние два положения можно найти и у Тиндаля [9]. Качественно эти закономерности могут быть проверены в рамках эксперимента на школьном оборудовании.

Физика колебаний

В силу сложности вопроса коротко остановимся на нескольких основных, как мне кажется, моментах. По типу рассматриваемые колебания относятся к автоколебаниям, схожий механизм возбуждения звука и у скрипки. Основную роль в их возникновении играет сила трения: между смычком и струной, пальцем и краем бокала. Однако в отличие от [4] я назвал бы это трение не «сухим трением», а трением скольжения со смазкой, роль которой играет канифоль, вода и т.п. В отличие от силы абсолютно сухого трения, сила трения со смазкой заметно зависит от относительной скорости (рис. 9). В [4, 10, 11] показано, что при определённых условиях в таких системах возможно существование автоколебаний.

Рис. 9. Зависимость силы трения скольжения от относительной скорости

Простейший пример – груз, лежащий на ленте транспортёра, движущейся со скоростью ₀ (рис. 10), которая меньше скорости _min, cоответствующей минимуму силы трения. В [10, 11] показано, что при таком модуле скорости ₀ положение груза будет неустойчивым. Это связано с тем, что при движении по направлению движения транспортёра сила трения возрастает, а при движении против – убывает. Таким образом, результирующая сила носит периодический характер и направлена к положению равновесия.

Рис. 10. Автоколебательная система: груз на транспортёре

Другим примером является маятник В.Фруда (рис. 11): маятник закреплён во фрикционной муфте; вращающийся вал подклеен в месте соприкосновения с нею кожей, натёртой канифолью подобно смычку (!). При пуске маятника ось, приводимая в движение, например, электродвигателем, начинает вращаться, маятник увлекается ею вперёд за счёт сцепления силами трения в муфте. При определённом отклонении от положения равновесия маятник «срывается», щёки зажима тормозятся трением, маятник идёт назад, при обратном ходе в некоторый момент относительная скорость становится равной нулю, зажим снова схватывается осью, и маятник вновь увлекается вперёд до срыва [7, 12]. И в том, и в другом случае существенно, что зависимость силы трения от скорости имеет минимум, это позволяет периодически «подпитывать» систему энергией за счёт работы сил трения.

Рис. 11. Маятник В.Фруда

Пример с маятником Фруда наводит мостик к пояснению, почему колебания скрипичной струны под действием смычка является автоколебаниями. Если позволяет время и у учеников есть интерес, можно построить объяснение на цепочке примеров: простейшие автоколебательные системы, маятник В.Фруда, колебания скрипичной струны, колебания звучащих бокалов.

Первым, кто «увидел», как колеблется скрипичная струна, был Г.Гельмгольц [13]: «…фигура <...> изображает движение молота, поднятого водяным колесом, или же точки скрипичной струны, захваченной смычком; в течение первых девяти промежутков времени она поднимается медленно и равномерно, а во время десятого она внезапно опускается» (рис. 12). Он тщательно экспериментально изучает движение различных точек струны, его исследования, сделанные с помощью «микроскопа вибраций», уникальны. Гельмгольц дал и математический анализ колебаний. Аналогия движения с маятником Фруда очевидна, но есть одно существенное отличие. «Вначале смычок захватывает струну и отводит точку соприкосновения из положения равновесия, создавая бегущую волну (выделено мной. – М.Б.), распространяющуюся по направлению к опорам. Отражённая волна смещает струну навстречу движению смычка и увеличивает скорость их относительного движения. При отражении волны от противоположной опоры смещения струны совпадают по направлению с движением смычка, скорость движения струны относительно смычка уменьшается, трение резко возрастает, и смычок вновь захватывает струну, сообщает ей новый импульс, поддерживающий незатухающие колебания струны» (рис. 13) [14]. Итак, отличительной чертой автоколебаний звучащих инструментов является волновой характер процесса. И здесь необходимо провести аналогию между колебаниями скрипки и бокала: трение со смазкой, имеющее нелинейную и немонотонную характеристику, обеспечивает принципиальную возможность возникновения обратной связи между внешним источником энергии и колебательной системой, однако регулирующим механизмом является устанавливающийся во времени волновой процесс.

Рис. 12. Движение скрипичной струны

Рис. 13. Осциллограмма изменения сил, действующих при автоколебаниях скрипичной струны. Частота 585 Гц, длина струны 17 см

Между колебаниями струны скрипки, вызванными движением смычка, колебаниями колокола, возбуждёнными ударом, и колебаниями поющего бокала существует и различие, на которое обращает внимание Рэлей: «…влияние трения в первую очередь состоит в возбуждении тангенциального движения, и точка приложения трения является местом, где тангенциальное движение максимально, а следовательно, нормальное движение равно нулю» [7]. Итак, узлы основного тона поющего бокала (а их четыре) не являются точками абсолютного покоя – в них тангенциальное движение максимально. Как видно на рис. 8, узел оказывается в месте приложения пальца – это узел нормальных колебаний, остальные узлы отстоят от него на углы 90°, 180°, 270°. В промежуточных точках, смещённых на углы 45°, 135°, 225°, 315°, находятся пучности нормальных колебаний, в которых тангенциальное движение равно нулю.

В бокалах, возбуждаемых смычком или лёгким ударом пальца, тангенциальное движение узлов также имеет место и составляет половину нормального смещения для основного тона [7]. Вот такая непростая и красивая физика поющего бокала. Может быть, иногда и нужно показать сложное в простом, глубину физики в самых, казалось бы, очевидных, в прямом смысле этого слова, опытах, чтобы сложность не измерялась количеством схем и приборов.

Демонстрационный эксперимент

Каждый учитель строит урок, сообразуясь с собственным видением предмета и программы. Но урок о «поющих» бокалах не может быть без демонстраций. С одной стороны, должен быть набор бокалов, издающих звуки разной высоты (см. таблицу), с другой – необходимы приборы, позволяющие увидеть развёртку колебаний.

Опыты, описанные ниже, были поставлены с помощью довольно старых приборов: однолучевого осциллографа С1-1 (иногда в паре с коммутатором), звукового генератора ГЗШ-63 (ЗГ), усилителя низкой частоты УНЧ-3, микрофона, камертона 440 Гц. Осциллограммы были сфотографированы цифровым фотоаппаратом и обработаны на компьютере.

При демонстрации развёртка звука подаётся на осциллограф. Бокал начинает звучать не сразу, он должен «обтереться». Тонкие бокалы дают довольно чистый звук, и на экране видна чёткая синусоида, однако стоит руке сделать неверное движение, и звук становится неприятным. Особенно это характерно для большой чаши – «всякое скрипение смычка узнаётся внезапными перемещениями и изменениями формы колебания», как писал Г.Гельмгольц о звучании скрипичной струны [13]. Каждое, пусть даже незаметное, неверное движение будет «ответствовать» неприятным скрипом, а на осциллографе проявится в виде резких линий колебаний – звук становится сложным (и немузыкальным!). На больших бокалах можно услышать и увидеть, что звук достигает своего максимума не сразу – стоит обратить внимание на время установления автоколебаний (маятник часов слегка качнули, и только через несколько колебаний он выйдет на установившийся режим).

Частота звука зависит от параметров бокала: ~ l/d², где l – толщина стенки, а d – диаметр бокала. Кроме того, частота понижается с уменьшением глубины h. Качественно зависимость можно проверить, ставя демонстрационные эксперименты.

Частоту колебаний проще измерить, сделав фотографии. При этом обнаруживаются следующие сложности. Осциллограммы непостоянны и вследствие неровностей движения руки часто изменяются. Более того, за «время выдержки» фотоаппарат успевает снять несколько кривых, что видно на приводимых ниже фотографиях.

Чтобы определить неизвестную частоту, необходимо иметь фото опорного сигнала известной частоты, например, сигнала с ЗГ. Возможно, использование двухлучевого осциллографа упростило бы задачу. В противном случае приходится совмещать фотографии, ориентируясь на сетку экрана, для чего все фото следует делать с одного расстояния. На рис. 14 показаны колебания камертона частотой 440 Гц. Базовый сигнал имеет частоту 1000 Гц, выставленную на лимбе ЗГ. Обрабатывая осциллограмму, можно получить частоту камертона 445–470 Гц из-за погрешностей фотографирования, совмещения фотографий, развёртки сигнала на экране, неточности положения лимба ЗГ и т.п. Более близкое значение получается, если брать средний по всей осциллограмме период базового сигнала и средний период колебаний камертона. Точность определения частоты по фотографиям составляет около 5%, что вполне разумно для школьного эксперимента.

Рис. 14. Осциллограммы звука: а) камертона, 440 Гц; б) звукового генератора, 1000 Гц

В популярных книгах пишут, что, подливая в стакан воду, можно изменять тон: чем больше воды, тем ниже тон [3]. С другой стороны, известно, что частота звука тонкого цилиндра слабо зависит от его высоты. На рис. 15 показаны фужер и осциллограммы звука, которые он издаёт, будучи пустым или наполненным водой. Частота звучания пустого фужера 1120 Гц, с водой 750 Гц, т.е. частота понижается в полтора раза, при этом звук теряет свою чистоту и возбуждается хуже.

Рис. 15. Поющий фужер ёмкостью 400 мл (а); осциллограммы звука пустого фужера (б) и на 3/4 наполненного водой (в), а также сигнала ЗГ частотой 1000 Гц (г)

Мне удалось подобрать два бокала одинаковой формы и объёма, но слегка разной толщины (см. таблицу). Записи звука представлены на рис. 16. Во-первых, толстый бокал и фужер, имея разную форму, но близкие по толщине стенки и диаметров, издают звук близких частот (1185 Гц и 1120 Гц), в то время как их объём и высота разнятся существенно. Таким образом, экспериментально подтверждается слабая зависимость частоты звучания от высоты бокала: подливая воду, мы изменили высоту бокала в 4 раза, а частота звука понизилась лишь в 1,5.

Рис. 16. Бокал ёмкостью 175 мл (а), осциллограммы звука тонкого (б) и толстого (в) бокалов, а также сигнала ЗГ, 1000 Гц (г)

Тонкий бокал издаёт более низкий звук – 960 Гц, что в 1,2 раза ниже звука толстого бокала (конечно, нужно иметь в виду ошибку измерения!). Бокалы имеют одинаковый средний диаметр. Толщина стекла заметно меняется по периметру бокалов, в таблице даны результаты пары измерений, проведённых по линиям двух взаимно перпендикулярных диаметров. Согласно формуле, частота звука толстого бокала должна была бы быть выше звука тонкого примерно в 1,5 раза. Теоретически формула была получена для тонких цилиндров одной толщины, толщина же стенок бокалов, по-видимому, меняется не только вдоль окружности, но и по высоте.

Чтобы оценить это, мы провели простое измерение. Бокалы отличались по массе на 6,55 г. Представим, что они имеют коническую форму, и вся разница в массе обусловлена толщиной стенки. Плотность стекла 2,6 г/см³ [16], площадь боковой поверхности конуса RL, что даёт для толстого бокала 94,3 см². Массу 6,55 г имеет слой стекла толщиной около 0,27 мм. Можно принять во внимание, что мы занизили площадь боковой поверхности (форма бокала не точно коническая). Итак, согласно нашей оценке, средние толщины бокалов отличаются на ~0,3 мм. Иными словами, высота тона должна отличаться в пределах 30%, что соответствует нашим измерениям. Некоторые методисты увлекаются расчётом ошибки измерения, приводя огромные формулы для оценки погрешности косвенного измерения. Гораздо важнее увидеть источники таковых в реальной работе и попытаться показать их роль. Частоты звука с помощью фотографий определяются с ошибкой, были указаны источники и метод их оценки. Отношение частот бокалов разной толщины выходило за рамки этой ошибки, и мы попытались найти физическую причину. Конечно, измерения штангенциркулем тоже проводятся с ошибкой, кроме того, плоские губки штангенциркуля не позволяют оценить толщину, а диаметр нецилиндрических стеклянных тел трудно измерить – по формулам такие ошибки не рассчитаешь! Мы показали примерный способ оценки суммарного вклада различных факторов. Итак, в предлагаемых опытах есть элементы реальной проектной работы.

Зависимость частоты звука от диаметра исследовалась на стеклянной вазе для фруктов. Хуже обработанный край стекла даёт менее чистый звук, и это тоже пример сложного звука (рис. 17, а). Частота звучания пустой вазы, возбуждаемого влажным пальцем, определялась в двух экспериментах. В первом мы отметили, что больший колокол издаёт не только более низкий (365 Гц, рис. 17, б), но и более сильный звук. В другом мы разделили сигнал, идущий от ЗГ и от вазы, с помощью коммутатора. Получилось 378 Гц (рис. 17, г), различие около 4%. Как мне кажется, на записи прорабатывается первый обертон. Когда ваза менее чем наполовину была наполнена водой, подкрашенной чернилами, мы чётко видели четыре узловые точки, соответствующие основному тону. В месте касания пальца находился узел нормальных колебаний! Добавление воды больше, чем наполовину, понизило звук до 310 Гц.

Рис. 17. Звучащая ваза: а) осциллограмма звука вазы с водой; б) пустой вазы; в) сигнала ЗГ, 1000 Гц; г) осциллограмма звука вазы, полученная с использованием коммутатора; д) волны на поверхности

Согласно теории, частота основного тона пустой вазы должна была быть около 200 Гц. Однако полученное в эксперименте значение выше. Для толстого и тонкого бокалов мы выяснили, что возможная причина состоит в изменении толщины не столько по окружности, сколько по высоте. Разумно предположить, что ближе к основанию ваза заметно утолщается, эффективная толщина стекла становится больше, а звук выше.

Автоколебания, возбуждаемые в системе, происходят с частотой собственных колебаний. Чтобы превратить вазу в стеклянный колокол, мы не жёстко закрепляли её в штативе, а подвешивали (рис. 18). Ударом пальца или резинового молоточка возбуждали затухающие собственные колебания. Частота звучания оказалась равной 364 Гц, что совпало с частотой автоколебаний.

Рис. 18. Ваза-колокол (а) и осциллограммы звука вазы (б) и сигнала ЗГ, 1000 Гц (в)

Подводя итог, можно видеть, что на школьном оборудовании (даже довольно старом) удаётся качественно показать согласие между экспериментальными значениями и теорией. Количественные расхождения можно объяснить исходя из конкретных условий эксперимента и параметров используемого оборудования. В каком объёме проводить исследование – дело учителя, но, даже с небольшой группой ребят, можно прямо на уроке найти, с какой частотой поёт тот или иной бокал. Франклин создал гармонику объёмом звука в четыре октавы, исследованные бокалы позволили услышать почти две: от 300 до 1200 Гц.

От звучащих бокалов – к поющей скрипке… Физика и музыка на уроке в гимназии № 625 г. Москвы, осень 2005 г., играет Ирина Корнева – выпускница 2006 г. Звук скрипки – особенный, это видно и из осциллограммы, но больше всего меня поразили глаза ребят… Мои ученики – и физики, и лирики

Игра на стеклянной гармонике была в большой моде в начале XVIII в.

Литература

1. Гофман Э.-Т.-А. Новеллы и повести: Пер. с нем. А.В.Фёдорова. – М.: Худ. литература, 1936.

2. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: Т. VIII, полутом 15. – СПб, 1892 г. (репринт изд. «Терра», 1991).

3. Донат Б. Физика в играх: Пер. с нем. Ф.Ю.Купера. – СПб: Изд. А.Ф.Девриена, 1914.

4. Асламазов А.Г., Варламов А.А. Удивительная физика: – М.: Добросвет, МЦНМО, 2005.

5. Леэтмаа Е. Музыка без границ. – Пярнусский экспресс, 14.07.2006.

6. http://www.moles.ee/06/Jul/03/24-1.php Зверева А., Музыкальный бисер. – Молодёжь Эстонии, 03.07.2006.

7. Стретт Дж.В. (лорд Рэлей). Теория звука: Т. 1. – М.: ГИТТЛ, 1955.

8. N. von Schweiger-Lerchenfeld: Das Buch der Experimente. Physikalische Аpparate und Versuche. Mechanische Operation. Naturwissenschaftliche Liebhabereien. – Wien, Pest, Leipzig: A.Hartleben’s Verlag.

9. Тиндаль Дж. Звук (в общедоступном изложении путём опытов): Пер. с англ. Е.А.Предтеченского. – СПб: Изд. книжного магазина П.В.Луковникова, 1902.

10. Хайкин С.Э. Механика. – М.–Л.: ОГИЗ, ГОСТЕХИЗДАТ, 1947.

11. Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика для поступающих в вузы. – СПб: Лань, 1997.

12. Поль Р.В. Механика, акустика и учение о теплоте. – М.: ГИТТЛ, 1957.

13. Гельмгольц Г. Учение о слуховых ощущениях как физиологическая основа для теории музыки. – СПб: Тип. т-ва «Общественная польза», 1875.

14. Физический энциклопедический словарь: Т. 3. – М.: Советская энциклопедия, 1963.

15. Михельсон В.А. Физика. Т. 1. – М.–Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1939.

16. Енохович А.С. Справочник по физике. – М.: Просвещение, 1978.