М.С.КРАСИН,
Калужский ГПУ им. К.Э.Циолковского, ФМШ «Омега», г. Калуга

krasin@kaluga.ru

Система эвристических приёмов решения задач

7–9-й классы

Поисковую деятельность по решению задачи можно условно разделить на два вида: алгоритмическую (действия по образцу) и эвристическую (направленную на поиск этого образца). Причём «образец», который удаётся подобрать, иногда настолько радикально отличается от того, что рассматривается в задаче, что даже сам нашедший это сходство удивляется ходу своих мыслей. Вспомним, как Архимед решил проблему обнаружения примесей в составе царской короны, наблюдая за водой, выливавшейся из переполненной ванны при погружении в неё собственного тела. Если же из подсознания подсказка не приходит, то для осознанного поиска идеи решения оказываются полезными некоторые опоры – эвристики, называемые ещё эвристическими действиями или приёмами. Основной эвристический совет: преобразовать нестандартную задачную ситуацию в стандартную. Как это сделать, подсказывают эвристические приёмы.

Умению использовать эвристические приёмы надо учить так же, как и умению опираться на алгоритмы. И начинать обучение полезно сразу же, как только учащиеся приступают к знакомству с методами и алгоритмами решения физических задач. Для учащихся средней школы можно предложить шесть семейств эвристических приёмов по физике, названия которых указывают на характерное для каждого семейства направление преобразований задачной ситуации.

• Семейство «Анализ условий и постановка задачи» объединяет приёмы, которые полезно использовать на начальном этапе преобразования нестандартной ситуации в стандартную. Именно с анализа сведений, содержащихся в формулировке задачи, а также с разработки такой модели задачной ситуации, которая позволит сделать задачу решаемой, т.е. с постановки задачи, начинается процесс её решения. К этому семейству относятся приёмы:

– перечитать текст задачи, пройти от требований к условиям и отсеять лишнее;

– доопределить термины и логически структурировать информацию;

– идеализировать свойства объектов;

– перекодировать текст в схему;

– подобрать дополнительные данные (из памяти, из справочников, руководствуясь здравым смыслом),

– начать с разработки самой простой модели задачной ситуации, но помнить о возможности применения других моделей.

В качестве примера, показывающего необходимость чёткой постановки задачи, а также зависимость результата решения от разработанной модели, учащимся можно предложить следующую:

Расстояние от мальчика до щенка 10 м. Щенок бежит со скоростью 2 м/с. Через сколько времени щенок добежит до мальчика?

Без предварительной подготовки учащиеся 7–8-го классов, как правило, сразу отвечают: «Через 5 с»! На что можно возразить: «Неправильно!» И уточнить: «Собака бежала в другую сторону!» После этого учащиеся сами начинают подбирать дополнительные условия: собака бежала в противоположную сторону, собака бежала вокруг мальчика, мальчик сам убегал от собаки или бежал ей навстречу и т.п. Становится понятно, что ответов без введения дополнительных данных может быть бесконечно много. При этом полезно заметить, что решение «торопливых» учащихся вполне уместно. Более того, если нет указаний и (или) нет возможности уточнить условие, то следует решать задачу, рассматривая простейший вариант развития событий и по возможности указав на другие возможные случаи. Сформулированное здесь правило можно рассматривать как применение принципа простоты на этапе уточнения условий и постановки задачи.

• Многие специалисты в области теории и методики обучения физике (С.В.Бубликов, Г.М.Голин, С.А.Иванов, С.Е.Каменецкий, Ю.И.Дик, А.С.Кондратьев, Г.П.Корнев, В.В.Лаптев, Г.Я.Мякишев, В.В.Мултановский, В.А.Орлов, А.А.Пинский, Н.С.Пурышева, О.М.Севостьянова, Л.В.Тарасов, С.Ю.Трофимова, Н.В.Шаронова и др.) отмечают большой эвристический потенциал и эффективность использования методологических принципов простоты, толерантности, относительности, сохранения, симметрии, суперпозиции, соответствия, причинности, дополнительности, а также соотношения неопределённостей. Руководствуясь этими принципами и используя метод аналогии, иногда удаётся сразу найти основную идею решения.

Ярким примером для меня остаётся воспоминание о фразе, произнесённой одной из моих 10-классниц сразу после знакомства с условием задачи по оптике. У девочки имелись только общие представления о законах оптики, сформированные в 8-м классе. Задача предлагалась 11-классникам на областной олимпиаде по физике, и в тот момент преподаватель готовился объяснять её решение:

– На гладкий торец стеклянного цилиндра падает рассеянный свет. Каким должен быть показатель преломления стекла, чтобы свет, проникший в стекло, не мог выйти через боковую поверхность?

Взглянув на приложенный к условию рисунок, девочка произнесла: «Я не знаю почему, но угол должен быть 45°».

Правильно! Важная особенность рассматриваемого явления, позволяющая быстро отыскать ответ, была угадана ученицей интуитивно, на основе внутренней убеждённости в симметрии как важнейшем свойстве большинства природных явлений.

Поэтому второе семейство называется «Методологический подход». К нему относятся приёмы:

– посмотреть на проблему в целом;

– использовать аналогию с решёнными ранее задачами;

– искать элементы симметрии (центральная, осевая симметрии, поворот, параллельный перенос и т.п.);

– выяснить сохраняющиеся характеристики объектов (сохранение заряда, массы, объёма, плотности, массового числа, энергии, импульса, числа частиц, ёмкости, индуктивности, жёсткости пружины, сопротивления резистора и т.д.);

– посмотреть на ситуацию с разных сторон, из различных систем отсчёта;

– представить предмет или явление как результат наложения (суперпозиции) нескольких более простых.

Для примера рассмотрим решение задачи с помощью принципа суперпозиции:

В сосуд, наполненный двумя несмешивающимися жидкостями, плотностями ₁ и ₂, опустили тело неправильной формы, плотностью (₂ > > ₁). При этом тело оказалось полностью погружённым и плавающим на границе раздела жидкостей. Определите, какая часть объёма тела погружена в более плотную жидкость.

Возможное решение. Условие плавания тела можно записать в виде mg = F_A. Формула для расчёта архимедовой силы, действующей на тело, плавающее в однородной жидкости, известна: F_A = _жgV_погр. Но рассматриваемое в задаче тело погружено в две жидкости! Попробуем представить ситуацию так, чтобы тело оказалось погружённым только в одну жидкость. Для этого воспользуемся принципом суперпозиции. Плавающее тело представим как результат суперпозиции двух тел: тела объёмом V и плотностью ₁ и тела объёмом V и плотностью – ₁ (при наложении одного тела на другое и получается рассматриваемое в задаче тело объёмом V и плотностью ).

Две жидкости, в которых плавает тело, можно представить как результат наложения жидкости плотностью ₁, заполняющей весь объём стакана, и жидкости плотностью ₂ – ₁, заполняющей тот объём, который, по условию задачи, заполнен нижней жидкостью плотностью ₂. Тогда явление плавания тела в двух жидкостях можно представить в виде наложения двух явлений: плавания тела плотностью ₁ в жидкости плотностью ₁ и плавания тела плотностью – ₁, частично погружённого в жидкость плотностью ₂ – ₁.

При этом объём погружённой части тела плотностью – ₁ равен объёму V₂ той части рассматриваемого в задаче тела, которая находится в нижней жидкости. Теперь нам достаточно рассмотреть условие плавания тела плотностью – ₁ в жидкости плотностью ₂ – ₁. Сила тяжести равна по модулю выталкивающей силе: ( – ₁)Vg = (₂ – ₁)V₂g, откуда получаем:

Конечно, сами учащиеся 7–8-го классов вряд ли додумаются до такого решения, но если показать такой подход, то можно ожидать (и, как показала практика, небезуспешно) его применения.

• Если решить задачу на основе методологических принципов не удаётся, то свести нестандартную задачную ситуацию к стандартной можно с помощью семейства приёмов «Выявление особенностей рассматриваемых объектов». Для этого можно попробовать ещё раз внимательно проанализировать задачную ситуацию, уточнить структуру разработанной модели, постараться учесть те особенности рассматриваемых в задаче объектов, которым ранее не придавалось значения, попытаться заметить возможную согласованность изменения между отдельными характеристиками этих объектов, попробовать использовать иной математический аппарат. Поэтому сюда входят приёмы:

– учесть согласованность изменений физических объектов;

– использовать геометрические образы;

– построить график выявленной зависимости;

– учитывая особенности объектов, уточнить или изменить модель.

Необходимость более тщательного учёта особенностей рассматриваемых объектов можно продемонстрировать с помощью следующей задачи:

Имеется бассейн с водой объёмом V_в = 10 м³ при температуре t_в = 25 °C. В него высыпают раскалённые платиновые опилки общей массой m_п = 1 кг и температурой t_п = 500 °C. Оцените массу испарившейся воды. Удельная теплоёмкость платины с_п = 140 Дж/(кг • °C), воды с_в = 4200 Дж/(кг • °C), удельная теплота парообразования воды r_в = 2,3 • 10⁶ Дж/кг.

Большинство учащихся рассуждают так: до тех пор, пока температура опилок больше t₀ = 100 °С, платина будет отдавать тепло воде, поэтому Q_отд = с_пm_п(t_п – t₀) = 56 000 Дж. При этом вода в бассейне будет нагреваться до 100 °С и, возможно, часть её выкипит. Однако расчёты показывают, что для нагрева воды в бассейне необходимо Q_пол = с_вm_в(t₀ – t_в) = 3 150 000 000 Дж! То есть вся вода до кипения не нагреется?!

К сожалению, на этом этапе многие учащиеся останавливаются в недоумении и перестают решать эту задачу! Но не все! Здравый смысл подсказывает, что даже если небольшое количество раскалённых опилок высыпать в бассейн, то часть воды обязательно испарится. Значит, первоначальная модель, согласно которой нагревалась вся вода, оказалась неправильной. Требуется уточнить (изменить) модель задачной ситуации. Если учесть, что вода обладает плохой теплопроводностью, а платина очень хорошей (анализ данных), то можно считать, что нагревается и испаряется только та часть воды, массой m_в, которая непосредственно контактирует с опилками (идеализация явлений, выдвижение новой гипотезы). В этом случае

Q_пол = с_вm_в(t₀ – t_в) + rm_в.

Составив уравнение теплового баланса Q_отд = Q_пол, получаем

То есть испарилось примерно 21 г воды!

• Следующее семейство – «Переструктурирование задачи». Если ни один приём из первых трёх семейств не даёт разультата, то можно попробовать:

– разделить на части (задачу – на подзадачи, предмет – на несколько предметов, явление – на несколько явлений);

– выявить периодичность происходящих процессов или логических действий, совершаемых в ходе преобразования задачи (арифметическая и геометрическая прогрессии, чётность и нечётность функции, гармонический характер изменений величин на определённом интервале времени и т.п.);

– ввести вспомогательные элементы (дополнительные физические величины, разграничительные перегородки, взаимно скомпенсированные процессы и т.п.);

– перекомбинировать предметы и явления (изменить взаимное расположение объектов, сменить последовательности процессов, заменить реальные процессы на «зазеркальные», немного сместить объекты и т.п);

– решить обратную задачу (в которой искомое считается известным, а известная величина становится искомой, или рассмотреть обратный процесс).

В качестве иллюстрации решим уже приводившуюся выше задачу на плавание тела в двух жидкостях, используя приём «разделение на части». Итак, извест-на формула архимедовой силы со стороны однородной жидкости, но мы не знаем, как её применить в случае частичного погружения тела в две жидкости. Проведём следующие логические операции:

– мысленно разделим тело на две части вдоль границы раздела двух жидкостей (разделение на части);

– разведём обе части тела на очень малое расстояние, верхнюю – вверх, нижнюю – вниз, чтобы пространство между половинками оказалось заполнено двумя тончайшими слоями обеих жидкостей (введение вспомогательных элементов, комбинаторика);

– чтобы половинки тела не соприкасались, соединим их несколькими очень прочными и очень тонкими стержнями (введение вспомогательных элементов).

Покажем, что внесённые в систему изменения не изменили ни силу тяжести, ни архимедову силу. Неизменность силы тяжести очевидна. Вспомним, что архимедова сила возникает из-за разности сил давлений, действующих на тело снизу и сверху, и равна этой разности. Поскольку части тела развели на очень малое расстояние, то силы давления сверху, на верхнюю часть тела, и снизу, на нижнюю часть тела, остались практически неизменными. Кроме этих сил давления добавились действующие в месте разреза силы давления F₁ на верхнюю часть снизу и F₂ на нижнюю часть сверху. Учитывая, что толщина слоёв жидкости в зазоре очень мала, можно утверждать, что их давления на верхнюю и нижнюю части тела одинаковы. Срезы имеют одинаковую площадь, следовательно, появившиеся силы давления равны по модулю и друг друга компенсируют. Следовательно, выталкивающая сила, действующая на тело после его разделения, не изменилась. В то же время верхняя часть тела оказалась полностью погружённой в жидкость плотностью ₁, а нижняя – в жидкость плотностью ₂, следовательно, результирующая архимедова сила равна сумме архимедовых сил: F_A = F_A1 + F_A2, т.е. F_A = ₁gV₁ + ₂gV₂. Учитывая, что mg = gV, условие плавания тел можно записать так:

gV = ₁g(V – V₂) + ₂gV₂,

откуда

• Семейство «Изменение уровня обобщённости задачи»: можно не просто переструктурировать задачу, а предварительно решить несколько иную, изменённую задачу, в том числе:

– предварительно решить более общую задачу (предварительное решение в общем виде, сравнение по порядку величины);

– предварительно решить более конкретную задачу (с введением конкретного значения какой-либо величины, заданной в общем виде, оценкой окончания процесса, проверкой результата подстановкой чисел);

– предварительно решить более идеальную задачу (с приданием рассматриваемым объектам наиболее простых свойств, проверкой результата подстановкой идеальных значений некоторых величин).

В качестве примера можно рассмотреть решение всё той же задачи на плавание тела в двух жидкостях. Мы можем мысленно придать телу форму вертикального прямоугольного параллелепипеда и вывести формулу, подобно тому как выводится в школьных учебниках физики формула архимедовой силы в однородной жидкости.

• Последнее семейство «Опора на психологию» указывает на огромное влияние нашего психологического состояния на успешность решения задачи. Во время решения надо постараться создать для себя максимально комфортные условия и постараться максимально использовать собственный субъективный опыт восприятия рассматриваемых процессов:

– периодически регулировать уровень уверенности в себе (то понижая его для более критичного анализа совершённых действий, то повышая перед началом очередных преобразований задачной ситуации);

– попытаться использовать метод «маленьких человечков» (представить процесс или объект в виде объединения маленьких одинаково разумных человечков);

– принять роль объекта на себя, вжиться в образ;

– устроить «мозговой штурм» (разделить во времени этап выдвижения гипотез и этап анализа их достоинств и недостатков, их принятия или опровержения);

– сменить условия работы (изменить положение тела, сменить рабочие инструменты, сменить формы мыслительной деятельности, чередуя умственный анализ, записи и проговаривание вслух отдельных этапов решения);

– временно переключиться на другую деятельность (на решение других задач, другую работу, отдохнуть).

Например, с помощью метода «маленьких человечков» и приёма вживания в образ рассматриваемого объекта можно логическими рассуждениями доказать, что параллельно соединённые проводники находятся под одинаковым напряжением.

Решение. Доопределим термины: электрический ток представляет собой направленное движение заряженных частиц; напряжение – это величина, численно равная работе электрического тока по перемещению единичного положительного заряда на данном участке электрической цепи. Представим поток заряженных частиц как толпу маленьких одинаковых человечков, движущихся в определённом направлении. Предположим, все они стремятся как можно быстрее перебраться на противоположный берег реки. Сделать это они могут, только воспользовавшись любым из двух соседних мостов. Один мост более узкий, упасть с моста невозможно, а ширина каждого позволяет идти параллельно нескольким человечкам. Но толпа столь велика, что для прохода по мосту каждому человечку требуется приложить определённое усилие. Легко провести аналогию, считая, что напряжение на участке равно работе по перемещению одного маленького человечка на противоположный берег.

Теперь воспользуемся приёмом принятия роли объекта на себя и предположим, что вы один из этих человечков. По какому мосту вы пойдёте? Предположим, по широкому. Вы направились к нему, но в какой-то момент заметили, что по узкому мосту пройти легче. Вы ведь измените решение? Однако другие человечки не глупее вас! Наверное, вы уже готовы согласиться, что в итоге по более узкому мосту будет идти меньше человечков, но при этом работа, которую должен затратить каждый, чтобы перебраться на другой берег, будет одинаковой, независимо от того, по какому мосту он будет переходить. Аналогично и напряжение на проводниках, включённых параллельно, будет одинаковым.

Если в учебной группе (классе) обучается больше девочек, то задачную ситуацию можно смоделировать так: в магазине дёшево продают хороший товар. Войти можно либо в узкую дверь, либо в широкую. Возле каждой двери стоит толпа... и т.д. Если в классе много спортивных болельщиков, то можно рассмотреть пример с выходом болельщиков со стадиона по двум туннелям.

В заключение отметим, что на занятиях с учащимися 7–8-го классов не следует стремиться систематизировать все изученные эвристические приёмы, на данном этапе важно познакомить с большинством из них и постараться сформировать умение использовать эти приёмы. Системное изучение эвристических приёмов целесообразно организовать с учащимися 9–10-го классов на факультативных занятиях, элективных курсах или на индивидуально-групповых дополнительных занятиях, а также на специальных уроках в физматклассах. При изучении эвристических приёмов необходимо показывать их универсальный характер и полезность использования при решении задач из любых разделов физики.

Литература

Альтов Г.С. И тут появился изобретатель: Научно-популярная книга. – М.: Детская литература. – 1984.

Бубликов С.В., Кондратьев А.С. Методологические основы решения задач по физике в средней школе. – Учебная физика, 1998, № 5.

Злотин Б.Л., Зусман А.В. Изобретатель пришёл на урок. – Кишинёв: Лумина, 1989.

Ильясов И.И. Система эвристических приёмов решения задач. – М.: Издательство Российского открытого университета, 1992.

Каменецкий С.Е., Солодухин Н.А. Модели и аналогии в курсе средней школы: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982.

Кондратьев А.С., Лаптев В.В. Задачи по физике. Оптика. Релятивистская и квантовая физика: Учебное пособие. – СПб: Образование, 1996.

Кондратьев А.С., Лаптев В.В., Трофимова С.Ю. Физические задачи и индивидуальные пути образования: Научно-методическая разработка. – СПб: Образование, 1996.

Красин М.С. Система эвристических приёмов решения задач по физике. Теория, методика, примеры: Учебно-методическое пособие. – Калуга: Калужский ГПУ им. К.Э.Циолковского, 2005.

Методические рекомендации к использованию принципа относительности в курсе физики средней школы. Сост. Бубликов С.В., Голубовская М.П., Кондратьев А.С., Уздин В.М. – Л.: Издательство ЛГПИ, 1989.

Мякишев Г.Я. Динамические и статистические закономерности в физике. – М.: Наука, 1973.

Пурышева Н.С., Дьякова Е.А. Технология обобщения знаний учащихся на уровне методологических принципов. –Педагогическое образование и наука, 2001, № 3.

Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.

Тулькибаева Н.Н., Фридман Л.М., Драпкин М.А. и др. Решение задач по физике: Психолого-методический аспект. Под ред. Тулькибаевой Н.Н., Драпкина М.А. – Челябинск, 1995.