Продолжение. См. № 3/07

С.С.ЧЕСНОКОВ, С.Ю.НИКИТИН,
И.П.НИКОЛАЕВ, Н.Б.ПОДЫМОВА,
М.С.ПОЛЯКОВА, проф. В.И.ШМАЛЬГАУЗЕН,
физфак МГУ, г. Москва

sergeychesnokov@mail.ru

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах
на факультет вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М.В.Ломоносова в 2006 г.

II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

1 На металлическую пластинку напыляют серебряное покрытие, используя пучок атомов серебра, направленный перпендикулярно пластинке. С какой скоростью ₀ растёт толщина покрытия, если атомы серебра оказывают на пластинку давление p = 0,1 Па? Кинетическая энергия одного атома E = 10^–17 Дж, молярная масса серебра M = 108 г/моль, его плотность = 10,5 г/см. Постоянная Авогадро N_A = 6,02·10²³ моль^–1.

Решение

На площадке пластинки площадью S за время осаждается масса серебра

где m – масса атома серебра, N₀ – число атомов, попадающих на единичную площадку в единицу времени, ₀ – скорость роста толщины покрытия. Отсюда

С другой стороны, давление, оказываемое атомами, осаждающимися на пластинке, равно

p = muN₀,

где u – скорость атомов. Следовательно,

Поскольку и m = M/N_A, ответ имеет вид:

2 В баллоне находится смесь азота, кислорода и углекислого газа, причём массы всех трёх газов одинаковы. Какова плотность смеси , если давление смеси p = 10⁵ Па, а температура t = 27 °C? Молярные массы газов: азота M₁ = 28 г/моль, кислорода M₂ = 32 г/моль, углекислого газа M₃ = 44 г/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/(моль · К).

Решение

Записывая уравнения состояния компонент смеси, находим их парциальные давления:

где m – масса каждого из газов, V – объём баллона. По закону Дальтона,

p = p₁ + p₂ + p₃.

Плотность смеси Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

3 В тепловом двигателе, рабочим телом которого является идеальный одноатомный газ, совершается циклический процесс, изображённый на рисунке.

На участке 1–2 давление газа изменяется пропорционально его объёму. Участок 2–3 – адиабатическое расширение, участок 3–1 – изобарное сжатие. Чему равен коэффициент полезного действия двигателя , если в процессе 1–2 давление газа увеличивается в n = 2 раза, а в процессе 3–1 объём газа уменьшается в m = 3 раза?

Решение

В циклическом процессе работа газа равна алгебраической сумме количеств теплоты, которыми газ обменивается с окружающей средой:

A = Q_1–2 + Q_3–1.

Газ получает теплоту на участке 1–2. Следовательно, КПД цикла:

Согласно первому закону термодинамики:

где – количество газа, R – универсальная газовая постоянная. Учитывая, что

и используя уравнение состояния газа, выражаем полученное газом количество теплоты в виде:

Кроме того, по условию, Следовательно,

Ответ:

4 В теплоизолированном вертикальном цилиндре под тяжёлым теплоизолирующим поршнем находится идеальный одноатомный газ. Расстояние между поршнем и дном сосуда H. Сверху на поршень медленно насыпали порцию песка, масса которой m значительно меньше массы поршня. На какую величину U изменится в результате этого внутренняя энергия газа? Ускорение свободного падения g.

Решение

Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа равно

где – количество газа, R – универсальная газовая постоянная. Уравнения Клапейрона–Менделеева для начального и конечного состояний газа имеют вид:

Здесь p, V и T – начальные давление, объём и температура газа; p, V и T – их приращения. Пренебрегая произведением малых величин pV, из этих уравнений находим:

Поскольку газ теплоизолирован, из первого закона термодинамики следует, что pV = U. Условия равновесия поршня массой M в начальном и конечном состояниях имеют вид:

где S – площадь поршня, p₀ – атмосферное давление. Отсюда

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

5 Цилиндрический сосуд площадью сечения S = 10 см² соединён трубкой с вертикально расположенным капилляром радиусом r = 0,5 мм. В сосуд налили воду и поместили на её поверхность поршень массой M = 100 г.

Какова разность уровней воды h в сосуде и капилляре, если вода смачивает стенки капилляра? Плотность воды = 1 г/см³, поверхностное натяжение воды = 73 мН/м, ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Решение

Поскольку стенки капилляра смачиваются водой, поверхность воды в капилляре образует вогнутый мениск, имеющий форму полусферы радиусом r, равным радиусу капилляра. Давление воды в капилляре непосредственно под мениском:

а на уровне поршня

Здесь p₀ – атмосферное давление. Давление воды в сосуде под поршнем:

Из условия равновесия воды следует, что p₁ = p₂.

Объединяя записанные равенства, получаем ответ: