Окончание. См. № 2/07

В.Б.ДРОЗДОВ, г. Рязань

Идеальный газ в конкурсных задачах

Задача 10 (физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1973). Найдите работу, совершаемую одним молем идеального газа в цикле 1–2–3–4–1, если известны температуры T₁ и T₃ в точках 1 и 3 соответственно, причём эти точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат.

Решение. Так как работа газа, совершённая им за цикл, равна площади фигуры, ограниченной циклом (только в координатах p, V!), то

A = (V₄ – V₁)(p₂ – p₁) = V₄p₂ – V₄p₁ – V₁p₂ + V₁p₁ = (V₁p₁ + V₃p₃) – (V₂p₂ + (V₄p₄) = 

В системе уравнений

уменьшаем индексы:

Так как точки 1 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат, то или, после следующего уменьшения индекса,

Из этого равенства, а также из второго и четвёртого уравнений последней системы сразу вытекает: T₄ = T₂.

Перемножив почленно первое и третье, а затем второе и четвёртое уравнения системы:

немедленно получим:

T₂•T₄ = T₁•T₃, или

Отсюда

Здесь = 1 моль. Если просто опустить сомножитель как равный единице, то получится равенство неверной размерности.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 11 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). За сколько циклов работы поршневого насоса с объёмом цилиндра V₁ можно откачать газ из стеклянного баллона объёмом V до давления p, если вначале давление в баллоне было равно атмосферному p₀?

Ответ.

Задача 12 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Параметры идеального одноатомного газа, взятого в количестве  = 3 моль, изменились по циклу, изображённому на рисунке. Температуры газа в состояниях, отмеченных соответствующими цифрами, равны T₁ = 400 К, T₂ = 800 К, T₄ = 1200 К. Определите работу, которую совершил газ за цикл.

Ответ. A = 20 кДж.

Задача 13 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Моль идеального газа медленно нагревают так, что он переходит из состояния (p₀, V₀) в состояние (2p₀, 2V₀). Как при этом изменяется температура газа T в зависимости от его объёма V, если зависимость давления газа от объёма на графике изображается прямой линией? Определите работу A, совершаемую газом в этом процессе.

Ответ.   A = 1,5p₀V₀.

Задача 14 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). 1 моль идеального газа изменяет своё состояние по циклу, изображённому на рисунке: 4  1 и 2  3 – изохоры, 3 4 – изобара, 1 2 – процесс с линейной зависимостью давления от объёма. Температуры в состояниях 1, 2, 3, 4 равны соответственно T₁, T₂, T₃, T₄. Какую работу совершает газ за один цикл?

Ответ.

Задача 15 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). В вертикальном цилиндре площадью поперечного сечения S под поршнем, масса которого равна M, находится 1 моль идеального одноатомного газа. В некоторый момент времени под поршнем включается нагреватель, передающий газу за единицу времени количество теплоты q. Определите установившуюся скорость движения поршня при условии, что давление газа над поршнем постоянно и равно p₀, газ под поршнем теплоизолирован.

Ответ.

Задача 16 (физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1971). Два одинаковых баллона соединены короткой трубкой, в которой имеется клапан давления, пропускающий газ из одного баллона в другой при разности давлений p  80 см рт.ст. Один баллон наполнен газом, имеющим при температуре T₁ = 290 К давление p = 760 мм рт.ст., в другом баллоне – вакуум. Какое давление установится в баллонах, если их нагреть до температуры T₂ = 382 К?

Ответ.

Задача 17 (МФТИ, 1976). В герметичном сосуде объёмом V = 5,6 л содержится воздух при давлении p = 760 мм рт. ст. Какое давление установится в сосуде, если воздуху сообщить Q = 1430 Дж тепла? Молярную теплоёмкость воздуха при постоянном объёме принять равной C_V = 21 Дж/(моль•К).

Ответ.

Задача 18 (МФТИ, 1979). В цилиндре под поршнем содержится  = 0,5 моль воздуха при температуре T₀ = 300 К. Во сколько раз увеличится объём газа при сообщении ему количества теплоты Q = 13,2 кДж? Молярная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении С_p = 29,1 Дж/(моль•К).

Ответ.

Задача 19 (МФТИ, 1981). С какой максимальной силой прижимается к телу человека медицинская банка, если диаметр её отверстия D = 4 см? В момент прикладывания банки к телу воздух в ней прогрет до температуры t = 80 °С, а температура окружающего воздуха t₀ = 20 °С. Атмосферное давление p₀ = 10⁵ Па. Изменением объёма воздуха в банке (из-за втягивания кожи) пренебречь.

Ответ.

Задача 20 (МФТИ, 1991). Моль идеального одноатомного газа расширяется сначала в изобарном процессе, а затем в процессе с линейной зависимостью давления от объёма. Известно, что а прямая 2–3 проходит через начало координат. Найдите отношение объёмов , если количество теплоты Q₁₂, подведённое к газу на участке 1–2, в четыре раза меньше работы A₂₃, совершённой газом на участке 2–3.

Ответ.