Проф. В.А.МАКАРОВ, М.С.ПОЛЯКОВ,
С.С.ЧЕСНОКОВ

ФИЗФАК МГУ-2005

ПОКОРИ ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ!

Продолжение. См. № 22, 24/05

1 Предположим, что на некоторой высоте над поверхностью планеты, лишённой атмосферы, установлен «маятник», представляющий собой стержень пренебрежимо малой массы с двумя одинаковыми грузиками на концах. Стержень может вращаться без трения на оси, проходящей через его середину и параллельной поверхности планеты. Первоначально стержень располагался вертикально. Затем его отклонили на небольшой угол и отпустили. Найдите период T возникших при этом малых колебаний маятника. Выразите ответ через период обращения T₀ искусственного спутника, движущегося по круговой орбите вокруг планеты на высоте, равной высоте центра стержня. Вращение планеты вокруг своей оси и влияние других небесных тел не учитывайте.

Решение

Пусть в некоторый момент времени маятник занимает положение, изображённое на рисунке, где через F₁ и F₂ обозначены силы тяготения, действующие на первый и второй грузики. По второму закону Ньютона, уравнения движения грузиков имеют вид:

(для грузика 1);

(для грузика 2).

Здесь – тангенциальное ускорение каждого из грузиков, m – масса грузика, M – масса планеты, G – гравитационная постоянная. Складывая эти уравнения, получаем:

По теореме синусов имеем:

Отсюда:

Следовательно,

Учитывая, что размер маятника значительно меньше расстояния от маятника до центра планеты и что угол отклонения маятника от положения равновесия также мал, запишем приближённые равенства:

В итоге уравнение движения маятника принимает вид:

где s = l – смещение каждого из шариков от положения равновесия. Следовательно, период колебаний маятника равен

Период обращения спутника, движущегося по круговой орбите радиусом r,

Ответ.

2 На гладком столе покоится клин массой M с углом при основании. На гладкую наклонную поверхность клина налетает шарик массой m, причём непосредственно перед ударом скорость шарика направлена горизонтально. Чему равно отношение m/M масс шарика и клина, если известно, что после абсолютно упругого соударения с клином падающий шарик попадает в ту же самую точку на клине, что и при первом ударе? Считайте, что после соударения с шариком клин движется поступательно. Трением между всеми поверхностями можно пренебречь.

Решение

Поскольку клин гладкий и время соударения мало, изменение импульса шарика при ударе направлено перпендикулярно поверхности клина. Следовательно, проекция скорости шарика на направление, параллельное поверхности клина, при ударе не меняется. Обозначим через u проекцию на нормаль к поверхности клина скорости шарика после удара, а через U – скорость клина после удара. Из закона сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление следует:

По закону сохранения энергии:

Решая эту систему, находим:

Шарик после падения попадёт в ту же точку, что и при первом ударе, если горизонтальная проекция его скорости относительно клина равна нулю:

Подставляя в это равенство найденные ранее U и u, получаем:

3 Цилиндрическую пробирку располагают вертикально открытым концом вниз и погружают в воду на всю длину. Спустя некоторое время водяной пар в пробирке становится насыщенным; при этом уровень воды в пробирке устанавливается на глубине h. Температура воды и атмосферного воздуха одинакова, давление насыщенного водяного пара при этой температуре p_н, атмосферное давление p₀, длина пробирки l. Какова относительная влажность f атмосферного воздуха?

Решение

До погружения в воду в пробирке находилась смесь сухого воздуха и водяного пара, причём давление этой смеси р₀ = р_в + р_п, где p_в – парциальное давление воздуха, р_п = fp_н – парциальное давление пара. Отсюда р_в = р₀ – fp_н. После погружения пробирки в воду давление газовой смеси в ней стало равным р = р'_в + р_н, где р = р₀ + gh – давление воды на глубине h, р'_в – парциальное давление сухого воздуха. Из закона Бойля–Мариотта, записанного для сухого воздуха, следует где S – сечение пробирки. Объединяя записанные выражения, получаем ответ: