Продолжение. См. № 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23/06

А.А.КНЯЗЕВ,
ЛПН, г. Саратов

knf@sgu.ru

Олимпиадный материал в повседневной работе преподавателя физики

Лекция 8. Волновые процессы

Введение

Для математического описания волны важно, чтобы процесс, происходящий в одной точке, через некоторое время в общих чертах повторял себя в соседних точках пространства. Иными словами, в зависимости какой-либо физической величины от времени и координаты обязательно появится комбинация, описывающая запаздывание:

Пусть, например, напряжённость вихревого электрического поля в точке нахождения генератора изменяется по синусоидальному закону Те же значения напряжённости можно наблюдать в точке r через некоторое время , определяемое скоростью распространения возмущения. То есть вдали от генератора напряжённость описывается также законом плоской синусоидальной волны¹: Скорость распространения в пространстве значений поля с постоянной фазой называется фазовой скоростью. Для пустого пространства значит, фазовая скорость в пустом пространстве равна Волновое движение очень распространено в природе и возникает не только в электромагнитных процессах. Один из распространённых примеров, приводимых в школе, – волны на поверхности воды. Парадоксально, но, строго говоря, этот пример следовало бы отнести к неудачным, ввиду его чрезвычайной сложности: во-первых, существенны отклонения от синусоидальности²; во-вторых, это типично нелинейные волны. Для оправдания выбора можно сказать лишь, что волны на воде легко наблюдать, создавать и в общих чертах наглядно показывать явление интерференции. С этим можно согласиться, ну а к вопросам дотошных нужно быть готовыми…

• Плоская электромагнитная волна, длина волны которой ₀ = 1 м, распространяется вдоль оси Z в однородной среде. Найдите разность фаз между точками P₁(1; 1; 2) и P₂(2; 1,5; 5). [Локшин Г., «Квант», 1994, № 2; там же и другие интереснейшие задачи на эту тему, с подробностями.]

Решение. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси Z, выражение для фазы имеет вид:

Здесь значения координат Y и Z не влияют на фазу синусоидальной зависимости. Значит, для фиксированного момента времени фазы будут отличаться друг от друга на величину рад.

Необходимо заметить, что если в процесс излучения вовлекается множество источников, то сумма синусоид одной частоты остаётся синусоидой. Однако в выражении для суммарного поля появится дополнительный сдвиг фаз, учитывающий распределение источников:

И тогда фазовая скорость волны проявляет зависимость от координат и частоты колебаний, – результирующая волна может изменить направление движения и форму волнового фронта. Приведём несколько сценариев такого поведения.

1. После падения световой волны на поверхность среды дальнейшее распространение в глубь среды представляет собой коллективный процесс излучения атомами этой среды, до которых дошло возмущение, созданное предыдущими атомами. В результате фазовая скорость света в воде примерно в 1,33 раза меньше скорости света в пустом пространстве. Этот факт описывается коэффициентом замедления n = c/, или показателем преломления. Добавим, что от одного атома до другого свет и в среде идёт со скоростью c.

2. При распространении волн разных частот обнаруживается дисперсия – зависимость фазовой скорости от возбуждающей частоты. Например, для света в стекле разных марок пользуются формулой Коши , a ~ 10^–3 м², – длина волны в пустом пространстве.

3. Если волна падает под углом к нормали поверхности раздела сред, то направления распространения падающей и прошедшей волн подчиняются закону преломления, по которому в каждой из сред . Придавая границе раздела различную форму, можно концентрировать или рассеивать энергию волны (собирающие и рассеивающие линзы).

Геометрическая оптика

Наблюдение только за направлением распространения волны составляет предмет геометрической оптики. Слово оптика здесь достаточно условно: законы преломления и отражения используются в описании электромагнитного излучения не только оптического диапазона, но и рентгеновского, теплового и радиодиапазонов, а также для акустических и сейсмических волн.

• Как различаются кажущаяся и истинная глубины дна водоёма?

Ответ..

Решением этой стандартной задачи (раньше её варианты встречались на вступительных экзаменах и олимпиадах для абитуриентов вузов) достигается сразу несколько целей. Во-первых, приобретается навык построения преломлённых лучей, во-вторых, происходит знакомство с построением изображения и процедурой описания его положения. После решения задач на построение изображений в линзах к этой задаче целесообразно вернуться для обсуждения возникновения понятия изображения. Дело в том, что отработка навыков построения изображений в линзах и зеркалах по общепринятым схемам порождает представление о взаимно однозначном соответствии точек предмета и изображения. В том, что это не так, легко убедиться из анализа этой задачи: нет никаких оснований считать, что продолжение третьего луча, вышедшего из точки предмета А, пройдёт через точку А'. При больших зрачках нарушение гомоцентричности становится заметным.

Эффект возникновения изображения – вообще особая тема оптики, требующая хорошего математического обеспечения [1]. В школе этот эффект обсуждается очень мало. При неверной методике преподавания у школьников формируется мнение, что для построения изображения непременно необходима линза или сферическое зеркало, а изображение в плоском зеркале – просто исключение. Кроме задачи, приведённой выше, рекомендую обсудить ещё несколько.

• На стене укреплён точечный источник. Мы держим в руках плоское зеркало параллельно стене. С какой скоростью будет двигаться зайчик и как будут изменяться его размеры, если мы будем приближать или удалять это зеркало со скоростью ?

Ответ. Любая точка зайчика будет оставаться на месте, а размеры зайчика всегда будут вдвое больше размеров зеркала. Это легко видеть из построения.

• При каком размере зеркала солнечный зайчик будет иметь форму зеркала, а при каком – форму диска Солнца?

К решению. Зеркало ни при чём, по сути, это задача на камеру-обскуру. Нужно непременно показать эффект и на отверстиях, и на зеркальцах. Обратите внимание: для формирования изображения нужна всего лишь диафрагма – ограничение поперечного размера светового потока. Обратимся к рисунку, он приведён для построения изображения в отверстии. Для построения изображения в зеркальце рисунок нужно перегнуть по линии сгиба, проходящей через линию диафрагмы зеркала или отверстия. Очевидно, что в простейшем случае перпендикулярного расположения отверстия (зеркальца) соотношения между параметрами картины имеют вид . Здесь учтено, что Отсюда

Обратимся к цифрам: угловой размер Солнца 0,5° 10^–2 рад. При характерном размере зеркала около  30 см зайчик будет сохранять форму зеркала вплоть до расстояния 30 м. Если же площадь зеркала уменьшить (закрыть книгой) до полоски шириной, например, 10 см, то на том же расстоянии вместо ожидаемого зайчика в форме световой полоски мы увидим тусклое круглое размытое пятно – изображение солнечного диска диаметром около d X • 30 см. Этот диаметр уже не будет зависеть от дальнейшего уменьшения размера зеркала! Чёткость будет улучшаться, а вот освещённость будет падать. Вот такими деталями сопровождались попытки греков сжечь римские галеры методом Архимеда. Подобные опыты можно провести с лампочкой накаливания.

Изображения спирали лампы на разных расстояниях от отверстий сеточки кофейника

Заканчивая эту тему, скажем, что тот же свет, попадающий в отверстие или на зеркальце, можно сконцентрировать на малом расстоянии, используя преломление или отражение на элементах вогнутого зеркала или собирающей линзы. Для улучшения качества изображения подбирают форму линз и зеркал так, чтобы все лучи приходили в плоскость изображения одновременно (таутохронизм), принося энергию в режиме конструктивной интерференции. Это – следующая тема.

Интерференция

Наблюдение явления удобно начинать с опыта Юнга в белом свете. Это очень просто: кончиком тонкой швейной иголки проколите в фольге от шоколадки два отверстия как можно ближе друг к другу (примерно 0,2 мм). Это нужно делать на твёрдой подложке. Поднесите фольгу ближе к глазам (без очков) и посмотрите на свет миниатюрной лампочки от фонарика с расстояния 1–5 м. В промежутке между пятнами отверстий увидите несколько поперечных полос – это и есть чередующиеся максимумы и минимумы интерференции. Наблюдение можно устроить одновременно целым классом, без всякого затемнения. Только заготовьте кусочки фольги заранее; я вырезаю и вставляю их в рамки диапозитивов вместо фотоплёнки, так и хранить, и в руки брать удобнее.

В любой схеме интерференции складываются возмущения от двух источников, расстояния от которых до точки наблюдения равны r₁ и r₂. Если осветить плоской световой волной пластину с двумя близко расположенными отверстиями (или лучше – с длинными щелями), то эти светящиеся отверстия будут представляют собой два точечных синфазных источника. Это схема Юнга – базовая для расчёта любой схемы интерференции³ .

Разность хода лучей в произвольной точке Р экрана равна = r₁ – r₂. Пусть, например, это будет точка конструктивной интерференции, где волны усиливают действие друг друга⁴, для неё в случае синфазных источников разность хода равна чётному числу полуволн. Получим выражение, связывающее положение произвольного максимума x с геометрическими параметрами схемы L, d и длиной волны излучения .

Для каждого из расстояний в этой схеме можно записать:

Образуем разность квадратов:

Теперь учтём, что разность хода волн в максимуме равна целому числу длин волн, а расстояние от щелей до экрана значительно больше расстояния между щелями и больше размеров всей интерференционной картины. Тогда каждое из расстояний примерно равно расстоянию до экрана, и тогда

Здесь максимумы пронумерованы числом m, называемым порядком интерференции. При m = 0 получаем координату нулевого максимума интерференции, – в данном случае (при синфазных источниках) он находится в центре симметрии картины. Его положение не изменяется с изменением длины волны света. Далее, справа и слева от него, находятся ± 1-й, ± 2-й и т.д. порядки интерференции (их положение зависит от длины волны и при её изменении тоже изменяется). Полученный результат важен для оценок в любой схеме интерференции. Особенно интересно оценить расстояние D между соседними максимумами.

При m = 1 получаем • L = D•d. Это соотношение, определяющее ширину полосы по заданному расстоянию между интерферирующими источниками и расстоянию до экрана, очень примечательно – его можно использовать для оценки в самых разнообразных схемах. Легко запомнить: произведение «продольных» характерных параметров схемы • L при интерференции примерно равно произведению характерных «поперечных» параметров D • d. Если ввести характерный угол схождения интерферирующих волн = d/L, то получается ещё одно соотношение: D = /, удобное для оценок, например, в схеме зеркал Ллойда, бипризмы или билинзы [3]. Эти же соотношения важны и для задач дифракции [2].

Сделаем численную оценку по полученным результатам. Пусть длина волны света равна 0,5 мкм (средняя длина волны в воздухе для оптического диапазона, жёлто-зелёный цвет). При расстоянии между щелями 0,5 мм и расстоянии до экрана 3 м получаем ширину полосы интерференции целых 3 мм! Этот результат впечатляет. Ведь один из путей длиннее другого всего на длину волны (примерно в 100 раз меньше толщины волоса) – микроскопическое изменение разности хода в схеме приводит к возникновению интерференционной картины макроскопических масштабов! Вспомните, однако, следующую задачу:

• Сваренный на стыках и прочно закреплённый на своих концах отрезок рельсового пути длиной 5 км удлинился при нагревании на 5 см и в результате прогнулся. Оцените величину стрелки прогиба.

К решению. Во-первых, рельс с закреплёнными концами может прогнуться различно, образуя порой слабо предсказуемый профиль. Изучением таких явлений занимается оформившаяся в конце XX в. теория катастроф. Однако нетрудно оценить прогиб рельса для самой простейшей формы деформации, близкой к треугольной. Тогда для треугольника, построенного на половине длины, получаем:

Эту задачу решают примерно в 8-м классе, – никто не может предположить, что рельс, удлинённый всего на 5 см, прогнётся на десяток метров⁵. Задача, по сути, иллюстрирует процедуру чисто геометрического преобразования продольных изменений в поперечные в явлении интерференции. Это явление используют для сверхточных измерений размеров путём сравнения с эталонным размером.

Жалко расставаться с темой, практически не затронув интереснейшие ситуации, не решив задач, но следующее волновое явление ещё более грандиозно.

Дифракция

В школе о дифракции говорят, приводя определение, отражающее буквальный перевод термина, – огибание препятствия. Это очень неудачный вариант. Ведь если говорить о проявлении волновых свойств, то волна не может распространяться иначе, чем во все стороны от места возникновения – она просто обязана «обходить» все препятствия. Гораздо более нуждается в обосновании геометрическая оптика. В явлении дифракции важна структура волновой картины – в ней проявляются области конструктивной и деструктивной интерференции [2]. Причём это проявление в одних случаях яркое, резкое (дифракция на множестве щелей решётки), в других – очень мягкое, размытое (зоны Фраунгофера).

К сожалению, во множестве школ это, может быть, самое красивое в школьном курсе явление изучается «заочно», без демонстрации. Если некоторое время назад оправдания этого выглядели до некоторой степени убедительно, то сейчас им просто нет места. Для основных демонстраций вполне достаточно обычной лазерной указки [4]. Чтобы не тратиться на комплекты батареек, можно приспособить блок питания от старых отечественных микрокалькуляторов (обычно в них есть даже стабилизатор тока).

Для наблюдения важнейших эффектов кроме дифракционной решётки или кусочка грампластинки необходимо приготовить окуляр микроскопа с кратностью увеличения 16–20 для наблюдения пятна Пуассона в дифракции на пылинках. Нужна и щель от спектроскопа (лучше, конечно, от настоящего спектрографа или самодельная треугольная – из двух половинок лезвия безопасной бритвы, наклеенных на рамку или стёклышко: максимальная ширина около 0,5 мм, на другом конце зазор сходит на нет). Приготовьте ещё кусочек волоса, лоскутик редкой ткани, настольную лампу или кодоскоп, затемните помещение и начинайте демонстрацию, временами включая свет для пояснений на доске. Здесь важно глубокое затемнение класса. Полотнища, непременно двухслойные, необходимо крепить в глубине окон, непосредственно на рамы, без щелей. Это эффективнее, чем использовать различные автоматические устройства. Можно навернуть полотнище на две палки, а вверху рамы заранее вбить по углам два больших гвоздя-крючка. Верхнюю палку укладывают на крючки, а с помощью нижней, служащей грузом, разворачивают полотнище.

Интересно, что число главных максимумов дифракционной картины ограничено по чисто геометрическим причинам.

При падении плоской волны на решётку под углом падения _i запишем условие главных максимумов так:

где _i – угол падения пучка, а _m – угол, под которым виден максимум m-го порядка.

Пусть < d. Тогда число наблюдаемых порядков интерференции равно m_max= d/. Таким образом, свет, проходя через решётку (или отражаясь от неё), разделяется на несколько пучков, расходящихся под углами _m.

Этот приём применяют иногда для разделения пучка света, используя решётку вместо сложной системы разделительных пластинок и зеркал. При падении белого света на решётку можно наблюдать следующие друг за другом максимумы m-го порядка для каждой длины волны – радуги m-го порядка.

Подобную картину можно наблюдать, если посмотреть на свет далёкого фонаря сквозь опущенные ресницы, или даже через стёкла, на которых остались мелкие царапинки от протираний. Такую же радужную окраску создаёт оперение птиц [5], лазерный диск, ведь дифракционная решётка или щель – всего лишь удобные математические модели.

Интересен случай, противоположный предыдущему, когда > d. В этом случае будет наблюдаться единственный максимум нулевого порядка (m = 0), и тогда условие максимума приобретает вид в котором мы легко узнаём закон отражения света! Отражение света является, по сути, дифракцией на плотно расположенных узлах решётки ионов.

Действительно, расстояние между узлами оценивается как 1–10 ,

тогда как длина волны света порядка 5000 . Если наблюдать структуру атомов в рентгеновском диапазоне электромагнитных волн, то в картине дифракции вновь появляются максимумы высших порядков, – так изучают структуру веществ рентгенографическими методами.

Дифракция рентгеновских лучей на кристалле металла

На следующем рисунке изображены качественные графики распределения интенсивности света, прошедшего через щель или отверстие, на экранах, удалённых на различные расстояния. Ту же картину можно наблюдать на фиксированном расстоянии, плавно уменьшая ширину щели. В ближней области наблюдается очень частое чередование максимумов и минимумов с довольно резко очерченной границей перехода от яркого поля к тёмному – это и есть граница геометрической тени. Следующую область со сложной структурой называют областью (зоной) Френеля⁶ .

На далёких расстояниях L от отверстия d чередование максимумов и минимумов исчезает – интенсивность начинает спадать обратно пропорционально квадрату расстояния (как от точечного источника). Действительно, разность хода между лучами, идущими от центра, и лучами с периферии отверстия становится меньше длины волны, – видно расплывчатое светящееся пятно диаметром (такая же формула, что и в интерференции Юнга!). Эта область расстояний получила название зоны Фраунгофера, по имени её исследователя. Таким мы чаще всего и наблюдаем пятно лазера, даже если свет монохроматический, когерентный.

Дифракционные радуги белого света

Волны-частицы

Это последняя тема курса, которую можно вместить в отведённое лекционное пространство. Опустим известные – простые и сложные – задачи о корпускулярных свойствах света, проявляющихся, например, в фотоэффекте. Лишь обратим внимание на аспект кажущейся множественности фотонов следующей оценкой.

Реально энергия солнечного излучения, падающего в яркий день на 1 м² поверхности каждую секунду, составляет до 500 Дж. (Вне атмосферы Земли на её орбите эта энергия составляет около 1400 Дж. – Ред.) Если взять среднюю длину волны 0,5 мкм, то это составит около 10²¹ фотонов. Эта величина кажется невероятно большой. Вместе с тем на том же квадратном метре расположены около 10²⁰ атомов вещества (это только в первом атомном слое), а среди всех фотонов способными к фотоэффекту или хотя бы к возбуждению атома оказываются около половины общего числа. Эта невероятно грубая оценка⁷   вполне показывает, что для процессов взаимодействия, например, для выцветания ткани на свету или для распознавания образа на сетчатке глаза число фотонов яркого света оказывается не таким уж и большим – меньше одного на атом. Видно, что процесс взаимодействия фотонов с атомами приобретает явно вероятностные свойства, вне зависимости от того, как могут «выглядеть» фотоны и атомы. Вот почему вопросы о форме и виде объектов микромира для современной физики являются бессмысленными. Важны лишь энергии и импульсы.

Здесь только отказ от излишнего любопытства дал возможность выхода из тупика, в который чуть было не зашла физика начала XX в. Ключевой в решении проблемы двойственной природы света стала идея о том, что дуализмом обладает не только свет, но все объекты микромира. Так устроен мир, что свет чаще проявляет нам волновую природу, – до тех пор, пока мы не задумываемся о задачах взаимодействия его с веществом. А вещество проявляется перед нами в корпускулярном виде, пока мы не обсуждаем природы межатомных связей, процессов переноса, электрического сопротивления и т.п. Но задумываемся мы или нет, в каждый момент микрочастица имеет и то, и другое свойство.

Выходит, образы макроскопических волн и частиц, порождённые нашим макроскопическим представлением, недостаточно отражают реальность мира. В структуре Природы существует куда более сложный объект! Он получил название микрочастица. В одних условиях её поведение больше похоже на поведение частицы: таков, например, электрон, летящий от катода к аноду. В других условиях микрочастица проявляет свойства волны с длиной волны _D = h/p. Например, электрон, попадая в поле иона, проявляет свойства острого резонанса, выбирая лишь такие значения энергии и конфигурацию орбитали, при которых длина волны точно укладывается в размер области взаимодействия . Валентный электрон, летящий внутри металла со скоростью в десятую долю скорости света, дифрагирует на ионной кристаллической решётке как волна с длиной волны ~ 10^–11 м, реагируя на малейшие нарушения её периодичности изменением угла дифракции. Тот же электрон, родившись внутри ядра, тут же покидает его, поскольку необходимая скорость должна превысить предельное значение Квантование значений энергии и импульса известно в классической теории волн⁸  при образовании стоячих волн. Здесь же интересны масштабы явления: при существенной перестройке электронной оболочки атом имеет уровни квантования энергии порядка 10^–19 Дж ~ 1 эВ, а перестройка ядра совершается на уровнях в миллионы и миллиарды раз больше ~ 1 ГэВ. В макромире любое из этих значений энергии очень мало – недостаточно для совершения шага мелкой букашке.

Соотношения неопределённостей дают возможность контролировать процедуру переключения с одних наглядных моделей на другие по порядкам величин. Можно, однако, и не производить такого моделирования, а довериться чисто математическим моделям, непосредственно описывающим свойства микрочастицы. Эти модели существуют, например, волновая механика с уравнением Шрёдингера. Они усложняются по мере роста сложности задач, требуют введения многомерных пространств и т.п., но вполне работоспособны.

Заключение

Приобретая навыки решения задач, анализа ситуаций, оценок, ученики вырабатывают свободу рассуждения, осмысления усвоенного. Главный недостаток современных школьников состоит в том, что, отвечая на вопрос, ученик не столько думает о его сути, сколько вспоминает соответствующую страницу учебника. Конечно, очень удобно с начальных классов организовать практику дисциплинированных ответов на вопросы. Если в начальной школе выработка рефлекса ещё имеет определённую важность, то уже к средним классам такое воспитание даёт пагубные результаты. Если распространить выработанные привычки и на старшие классы, то мы получаем печальные итоги. Например, отвечая на выпускном экзамене на вопрос об энергии, уже взрослый молодой человек начинает пересказывать содержание учебника 7-го класса, будто и не было термодинамики и кинетической теории, электродинамики и теории относительности, квантовых и ядерных представлений.

Этап подготовки к выпускным или переходным экзаменам вполне может быть организован не как написание ответов по билетам, а как переработка всего пройденного материала с позиций достигнутого уровня знаний с целью выработки естественнонаучной картины. Почвой для её формирования могут являться разобранные ранее примеры, решённые задачи.

Автор представленного цикла лекций не исключает наличия возможных неточностей в приведённых примерах физических оценок рассмотренных явлений, не настаивает на полной удачности подбора демонстрационных задач. Главное – попытка возбудить внимание к такой известной ранее методике преподавания, при которой каждое новое утверждение иллюстрируется нетривиальным примером, подчёркивающим как возможные ошибки понимания и актуальность приобретаемого знания, так и открытие новых его аспектов, и неожиданные ракурсы на фоне уже известного. Опыт автора даёт основание для уверенности в эффективности такой методики, но тот же опыт говорит, что сейчас эта методика используется очень редко, несмотря на огромный накопленный и пополняющийся фонд прекрасных задач, составленных истинными профессионалами. Причин этому несколько, но для России это прежде всего низкая мотивация труда учителя. Основание для оптимизма – высокая степень консервативности образования, долго сохраняющей и возрождающей удачные приёмы вне зависимости от социальных поветрий и движений.

Вопросы для самоконтроля

1. Почему в первой же фразе этой лекции, говоря коротко о свойствах волнового процесса, нельзя опустить слова «повторяются, в общих чертах»? Какой смысл несёт оговорка?

2. Мы наблюдаем интерференцию на воде по медленному колыханию поплавка и пр. Каким образом мы видим результат интерференции света, если колебания поля совершаются с частотами порядка 10¹⁴ Гц? Не изменяются ли при этом условия максимумов?

3. Как трансформируется структура волнового пучка по мере удаления от препятствия (например, щели) в результате дифракции? Какие оценочные соотношения вы приняли для своей дальнейшей практики? Например, с какого минимального расстояния Солнце или космический корабль будут неотличимы от звёзд для глаза?

4. Почему не имеет физического смысла симпатичная аналогия дуализма: «Наблюдая поле ржи издалека, мы видим идущие по нему волны, а подойдя ближе – отдельные частицы»?

Литература

1. Матвеев А.Н. Оптика. – М.: Высшая школа, 1985.

2. Крауфорд Ф. Волны: Берклеевский курс физики. – М.: Наука, 1974.

3. Баканина Л.П. и др. Сборник задач по физике: Под ред. Козела С.М. – М.: Наука, 1990.

4. Обухов С. Лазерная указка. – Квант, 2000, № 3.

5. Бородина М., Пригал П. Микромир без микроскопа. – Квант, 2004, № 6.

___________________

¹ Не будем поминутно останавливаться для пояснений более сложных вариантов. Если возникают вопросы или серьёзные возражения, то их вполне можно обсудить в порядке дискуссии через электронный адрес. Здесь же говорится о стандартных ситуациях, без многозначительных обобщений и усложнений.

 ² Синусоидальный закон изменения не является непременным для волны. Однако для множества природных и искусственных устройств синусоидальное движение является естественным, – так устроена природа. Если в этих устройствах возбудить более сложное движение, то его, оказывается, можно представить разложением по синусоидам. Впервые это свойство открыл Ж.Фурье. Затем было найдено множество объектов с другими базовыми законами движения (функции Бесселя, шаровые, Уолша и т.п.). В школе ограничиваются синусоидальным движением. Но вот волновое движение на поверхности воды в целом плохо описывается синусоидами.

 ³ Любопытно, что интерференцией, например, в медицине, называют явление наложения одной болезни на другую. Так, мыши, заражённые смертельной болезнью, не умирают, если болеют другой болезнью. В процессе конкуренции двух заболеваний в организме вырабатываются антитела, которые используют для создания «Интерферона» – лекарства от гриппа.

⁴ Эффект, при котором возмущения волн ослабляют друг друга, называют деструктивной интерференцией – в этих областях возникают минимумы интерференционного поля [2].

⁵ Теперь ясно, почему в мороз рвутся троллейбусные провода, – нужно следить за их натяжением. А свойства меди ни при чём – медь не становится хрупкой от того, что абсолютная температура изменилась на 1–3%.

 ⁶ Не смешивайте понятия зон Френеля на волновом фронте с областью (зоной) Френеля в пространстве вблизи отверстия. Лучших терминов пока не придумали. Наблюдение всех зон в эксперименте с лазерной указкой, пожалуй, не получится – её излучение, как правило, многомодовое, т.е. само имеет сложную поперечную структуру из-за наложения нескольких типов колебаний поля в резонаторе.

 ⁷ При необходимости эту оценку легко уточнить, приняв во внимание распределение Планка и пр.

 ⁸ Точнее, квантуется значение действия, но эта физическая величина даже не упоминается в школьном курсе.