Проф. С.И.ЛЕЖНИН, проф. О.Я.САВЧЕНКО, проф. О.Ю.ЦВЕЛОДУБ,
СУНЦ НГУ, г. Новосибирск

Задачи приёмных экзаменов на физическое отделение заочной школы СУНЦ НГУ

9-й КЛАСС

1. Опоздавший на автобус пассажир, спустя = 20 мин после его отъезда из пункта А, сел в такси, чтобы пересесть на этот автобус на следующей остановке в пункте В. Такси обогнало автобус в момент, когда он уже прошёл 2/3 пути от пункта А до пункта В. Сколько времени t_х будет ждать пассажир автобуса в пункте В?

Решение

Обозначим расстояние между пунктами А и В через L, время движения автобуса между пунктами через t, а скорость такси через u_т. По условию задачи, проезд на такси между пунктами занял на + t_х меньше времени: u_т(t – – t_х) = L.

Автобус за время 2t/3 прошёл путь 2L/3, а такси этот же путь – на быстрее: u_т = .

Решая совместно уравнения, получим:

3/2 = + t_x, или t_х = /2 = 10 мин.

Ответ можно получить сразу: если 2/3 пути такси прошло быстрее на , то оставшуюся треть – на /2 (столько и надо ждать).

2. На автомобиле определяют с помощью звукового сигнала расстояние до поста ГАИ. Какое расстояние L было до поста в момент испускания звукового сигнала, если после отражения от будки его приняли через t₀ = 12 с? Скорость звука с = 325 м/с, скорость автомобиля u = 90 км/ч.

Решение

За время t₀ автомобиль проехал расстояние ut₀. Поэтому полный путь, пройденный звуковым сигналом, равен L + L – ut₀. Следовательно, сt₀ = 2L – ut₀.

С учётом того, что 90 км/ч = 25 м/с:

3. Пустой толстостенный стеклянный стакан массой m = 100 г плавает в сосуде сечением S = 0,05 м² с водой. После того как стакан утопили, уровень воды в сосуде опустился на h = 1 мм. Найдите плотность стекла _с. Плотность воды _в = 1000 кг/м³.

Решение

Обозначим объём стекла V_с = m/_с, а объём вытесненной плавающим стаканом воды V. Сначала сила Архимеда равна весу стакана: F_А = _вVg = mg = _сV_с g. Отсюда V = V_{с с}/_в.

Так как объём воды в сосуде не изменяется, то Sh = V – V_с. Решая совместно все приведённые соотношения, получим:

4. Две одинаковые лампочки и один резистор сопротивлением R подсоединили к источнику напряжения U двумя способами, как показано на рисунках. В обоих случаях накал лампочек был одинаков. Ток какой силы I протекает через одну лампочку?

Решение

Если накал лампочек одинаков, то одинакова и сила тока I, текущего через каждую лампочку. Пусть сопротивление включённой лампочки R_л. При последовательном соединении резистора и лампочек:

При параллельном соединении лампочек полный ток равен 2I (через каждую лампочку по I). При этом их суммарное сопротивление равно R_л/2, а полное сопротивление цепи R + R_л/2:

Решая совместно оба уравнения, получим:

R_л= R; I = U/(3R).

10-й КЛАСС

1. См. задачу 2 для 9-го класса.

2. На тело массой m, расположенное на горизонтальном шероховатом столе, действует горизонтальная сила F так, что оно движется с ускорением. После того как силу увеличили в 2 раза, ускорение стало в 3 раза больше. Определите коэффициент трения, если F = 49 H, m = 10 кг, g = 9,8 м/с².

Решение

Запишем 2-й закон Ньютона для обоих случаев:

ma = F – F_тр; 3ma = 2F – F_тр 3(F – F_тр) = 2F – F_тр F_тр = F/2.

С другой стороны, сила трения F_тр = N = mg. С учётом этого получим = 0,25.

3. Шарик массой m₁ налетает на другой, покоящийся. После упругого лобового удара импульсы шариков стали одинаковыми. Найдите массу m₂ первоначально покоившегося шарика.

Решение

Импульс тела р выражается через его массу и скорость: p = m. Кинетическая энергия выражается через импульс:

После упругого лобового удара сохраняется полный импульс и полная кинетическая энергия системы шариков, и они движутся вдоль одной прямой (движение одномерное). Пусть начальный импульс движущегося шарика равен р₀. Тогда, согласно закону сохранения импульса и условию задачи, импульс каждого шарика после удара равен р₀/2.

С учётом этого запишем закон сохранения кинетической энергии, выражая её через импульс:

4. На проволочное кольцо радиусом R, расположенное в вертикальной плоскости, надета бусинка массой m. Бусинка соединена пружинкой с центром кольца. Пружинка деформирована так, что в состоянии покоя кольцо действует на бусинку с силой, равной mg, направленной вниз. Кольцо раскрутили вокруг вертикальной оси так, что бусинка перестала давить на кольцо. Определите угловую скорость вращения кольца и угол , на который пружинка отклонилась от вертикали. Трением пренебречь.

Решение

В состоянии покоя на бусинку действуют сила упругости F, направленная вверх, сила тяжести mg и сила реакции со стороны кольца N, равная силе тяжести, направленные вниз. Сумма этих сил равна нулю:

F – mg – mg = 0 F = 2mg.

При вращении кольца бусинка движется по окружности радиусом r = Rsin, где – угол между пружинкой и вертикалью. Так как длина пружинки неизменна, величина силы упругости F остаётся той же самой. Выписывая второй закон Ньютона в проекциях на вертикаль и горизонталь, в этом случае имеем:

Совмещая все уравнения, находим = /3 = 60°,

5. На шероховатой наклонной плоскости с коэффициентом трения , образующей угол с горизонтом, покоится тело. Тележка, которая вначале находилась на расстоянии L от тела, начинает скатываться. На какое максимальное расстояние сдвинется вниз тело, если удары между ним и тележкой абсолютно упругие? Массы тележки и тела одинаковы. Трением тележки при её движении можно пренебречь.

Решение

Обозначим искомое расстояние через х. В конце концов тело и тележка будут покоиться, контактируя между собой. Так как при ударах потерь кинетической энергии (перехода её в теплоту) нет, полный баланс энергии запишется в виде: изменение кинетической энергии плюс изменение потенциальной энергии равно работе внешних сил (здесь – силы трения):

E_кин+ U_пот = A_тр.

Начальная и конечная кинетические энергии тела и тележки равны нулю, т.е. E_кин = 0.

Потенциальная энергия тела уменьшилась на mgхsin, а тележки – на mg(L + х)sin:

U_пот = –mg(L + 2х)sin.

Сила трения, действующая на тело (на тележку она не действует), равна F_тр = N = mgcos. Работа силы трения

A_тр = –F_трх = –mgcos • х.

Объединяя уравнения, получим:

mg(L + 2х)sin = mgcos • х (L + 2х)sin = cos • х

При 2tg ответ не имеет смысла, т.к. в этом случае тело с тележкой будут всё время соскальзывать.

11-й КЛАСС

1. См. задачу 3 для 9-го класса.

2. См. задачу 4 для 10-го класса.

3. См. задачу 5 для 10-го класса.

4. Два моля разреженного газа сначала нагревают при постоянном объёме так, что абсолютная температура газа возрастает в 2 раза, а затем сжимают при постоянном давлении, доводя температуру до первоначального значения T₀ = 200 К. Какая работа была совершена при сжатии? Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль • К).

Решение

Пусть точка 0 соответствует начальному состоянию. Согласно уравнению состояния Менделеева–Клапейрона, pV = RT (в начальном состоянии p₀V₀ = RT₀). Процесс 0–1 – изохорный. По условию задачи, в этом процессе давление возрастает в 2 раза, поэтому температура возрастает тоже в 2 раза, т.е. p₁ = 2p₀; T₁ = 2T₀.

Так как в процессе 1–2 температура возвращается к исходному значению при постоянном давлении 2p₀, то объём в точке 2 станет V₀/2 (уравнение состояния имеет вид 2p₀V₀/2 = RT₀).

По определению, работа A в процессе 1–2 равна площади прямоугольника 12341, т.е.

A = 2p₀ •  = p₀V₀ = RT₀;

А = 2 • 8,31 • 200 = 3324 (Дж).

5. Два небольших одинаковых, сделанных из материала плотностью _ш шарика заряжены одинаковыми по величине, но противоположными по знаку зарядами q и –q. Шарики подвешены на тонких длинных нитях, проходящих через одну вертикаль, так что расстояние между шариками равно R. После того, как пространство заполнили керосином, оказалось, что натяжение нити, к которой привязан шарик 2, не изменилось. Найдите силу натяжения этой нити и массу одного шарика. Плотность керосина _к, его диэлектрическая проницаемость = 2.

Решение

Проекция на вертикаль векторной суммы сил, действующих на шарик 2 (сила натяжения нити, сила тяжести и кулоновская сила), равна нулю:

После заполнения пространства керосином кулоновская сила уменьшается в раз, но появляется дополнительная сила Архимеда:

Решая совместно оба уравнения и учитывая, что, по условию, = 2, получим:

Пусть объём одного шарика V. Учитывая, что F_A = _кVg, находим объём шарика:

а затем массу шарика и силу натяжения нити:

______________________

Запросы следует направлять директору заочной школы СУНЦ НГУ Кутузовой Ольге Ивановне (kutuzova@sscadm.nsu.ru) или 630090, Новосибирск-90, ул. Ляпунова, 3, заочная школа СУНЦ НГУ; тел. (3833) 39-7889.