Продолжение. См. № 21/06

Ш.Г.ЗИЯТДИНОВ,
лицей при БирГПИ, г. Бирск, Республика Башкортостан

Капризная сила – сила трения

Задача № 7. С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиусом R, если коэффициент трения колёс о почву ? На какой угол от горизонтали должен отклониться мотоциклист при скорости ?

Решение

ma = mg + N + F_тр.

Проекция на ось Х: ma_ц =

Очевидно, _max при F_тр.max = N =

При меньших скоростях F_тр = mgctg и:

Задача № 8. На горизонтальной доске лежит груз. Какое ускорение в горизонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы груз соскользнул с неё? Коэффициент трения между доской и грузом = 0,2.

Решение. Заметим, что здесь именно сила трения покоя со стороны доски является причиной ускоренного движения груза. На груз действуют силы: сила тяжести mg, сила реакции опоры N и сила трения покоя F_тр.пок (относительно доски). После достижения максимальной величины силы трения покоя (F_{тр.пок.max} = N = mg) груз начинает скользить по поверхности доски:

ma = F_{тр.пок.max} a = g = 1,96 м/с².

Задача № 9. На наклонной плоскости лежит тело массой m. Коэффициент трения тела о плоскость . При этом сила трения, действующая на тело, равна:

А) mg; Б) mgsin; В) mgsin; Г) mgcos; Д) mgcos.

Указание. Ответ верен, только если тело не движется (тело лежит на поверхности), поэтому:

mgsin mgcos, или tg.

Тогда F_тр = mgsin. Если же это условие не выполняется, то F_тр = mgcos – тело движется вниз по наклонной плоскости. Следует в связи с этим сказать, что условия многих задач сформулированы так, что невозможно установить, движется тело или нет, и куда оно движется – вверх или вниз. Естественно, в этих случаях правильно решить задачу проблематично.

Задача № 10. На наклонной плоскости лежит тело массой m. Коэффициент трения между телом и плоскостью . Найдите модуль силы трения, действующей на тело, в зависимости от угла наклонной плоскости .

Решение. Тело не движется, следовательно F_тр = mgsin при и F_тр = mgcos при , когда тело приходит в движение.

Задача № 11. Автомобиль массой 1 т пытается въехать без предварительного разгона на гору с углом наклона = 30°, коэффициент трения между шинами автомобиля и поверхностью горки = 0,1. С каким ускорением будет двигаться автомобиль? Считать все колеса ведущими.

Решение. Максимальная сила трения покоя (колёс относительно поверхности горки) F_{тр.пок.max} = N =
= mgcos 860 Н. С другой стороны, препятствующая движению автомобиля составляющая силы тяжести F_тяж.х = mgsin 5000 Н. Видим, что F_тяж.х > F_{тр.пок.max}, т.е. при любой силе тяги мотора машина не сможет въехать в гору, колёса будут пробуксовывать. Таким образом, ускорение автомобиля а = 0.

Задача № 12. Груз массой 500 кг находится на плоскости с углом наклона к горизонту = 15°. Чтобы сообщить грузу движение вниз с ускорением 1 м/с², необходимо приложить силу F под углом = 30° к горизонту. Определите величину этой силы, если коэффициент трения = 0,2.

Ответ. 209 Н; 194 Н.

Указание. Следует иметь в виду, что сила F может как уменьшить силу реакции опоры на Fsin( + ), так и увеличить её на Fsin( – ).

Задача № 13. При постепенном увеличении угла наклона плоскости, на которой стоит цилиндр радиусом R и высотой h, возможно его скольжение или опрокидывание. Определите критическое значение коэффициента трения , при котором оба явления происходят одновременно.

Указание. Тело начинает скользить при условии = tg₀, и это же тело может опрокинуться при выходе вертикальной проекции центра тяжести за область площади основания: tg₀ = 2R/h, см. рисунок).

Задача № 14. На тело массой m = 2 кг, находящееся на наклонной плоскости с углом наклона = 30°, действует сила F = 12,5 Н параллельно наклонной плоскости. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью = 0,2. Определите ускорение тела и силу трения.

Решение. Очевидно, составители задачи (для получения приведённого в задачнике ответа) имеют в виду, что сила тяги F направлена вниз по наклонной плоскости (пусть по оси Х), однако из условия задачи это не следует (учащийся должен догадаться!). Поэтому мы считаем своим долгом рассматривать два случая. Как уже отмечалось, такого рода задачи не могут быть решены в общем виде. Необходимы первоначальные оценки.

• Случай 1. Сила тяги F направлена вверх против оси Х. Максимальная сила трения покоя тела F_{тр.пок.max} = N = mgcos 3,4 Н. С другой стороны, препятствующая движению тела составляющая силы тяжести F_тяж.x = mgsin 10 Н. Видим, что F < F_тяж.x + F_{тр.пок.max}, следовательно, при F = 12,5 H тело не сможет подняться по наклонной плоскости, т.е. ускорение груза а = 0, а сила трения F_тр.пок. = F – F_тяж.x 2,5 Н.

• Случай 2. Сила тяги F направлена вниз по оси Х. Тогда, очевидно, сила трения F_тр = F_{тр.скольж} = N = mgcos 3,4 Н. Ускорение тела:

Задача № 15. Какова сила трения, действующая на брусок массой m? С каким ускорением движутся грузы? Какова сила натяжения нити? h = 60 cм, l = 1 м, m = 0,5 кг, = 0,25. Решите задачу при следующих значениях массы M: а) 0,1 кг; б) 0,25 кг; в) 0,3 кг; г) 0,35 кг; д) 0,5 кг.

Указание. Отметим, что именно в этой задаче проявляются основные трудности решения задач на динамику тел с учётом сил трения. Естественно, такую задачу без выяснения состояния тел – покоя или движения и ещё движения в какую именно сторону – невозможно решить в общем виде. Перед решением задачи необходимо для каждого случая а–д оценить числовые значения и направления всевозможных сил, действующих на каждое из связанных тел. Очевидно, силой тяги, действующей на тело массой m, является сила, численно равная весу второго тела массой М. В дальнейшем следует сопоставить все силы, действующие на тело, находящееся на наклонной плоскости. Таким образом, можно установить факт движения тела и его направление. Далее можно оценить ускорение движения тела для данного случая из условия задачи. Проведем анализ случая б.

• Произведём первоначальные оценки. Сила тяги F (если даже тело М покоится, она равна 2,5 Н) направлена вверх по наклонной плоскости (по оси Х). Численное значение максимальной силы трения покоя тела F_{тр.пок.max} = N = mgcos 1 Н. С другой стороны, препятствующая движению тела х-составляющая силы тяжести равна по модулю |F_тяж.x| = mgsin 3 Н. Отмечаем, что F < |F_тяж.x| + F_{тр.пок.max}, т.е. при силе F = 2,5 H тело не может подняться по наклонной плоскости.

Рассмотрим другой вариант – тело m движется вниз против оси Х. Условие выполнения такого движения: |F_тяж.x| > F + F_{тр.пок.max}.

Однако, сопоставляя численные значения указанных сил, видим, что неравенство не выполняется
(3 Н < 3,5 Н), т.е. тело вниз не движется. Куда же тела движутся на самом деле? В чём противоречие? Естественно, никакого противоречия нет, просто при оценках в качестве силы трения ошибочно была принята максимально возможная сила F_тр = F_{тр.пок.max}, что имеет место только при движении тел. В самом деле, связанные тела m и M покоятся, а = 0. Сила трения покоя F_тр.пок = mgsin – F 0,5 H и направлена вверх по оси Х. Аналогичные ситуации наблюдаются в случаях в и г, но в случае в сила трения равна 0, т.к. F = mgsin 3 H.

Задача № 16. Два груза массами m₁ = 4 кг и m₂ = 1 кг связаны нитью, перекинутой через блок, который прикреплён к вершине призмы, и могут скользить по граням этой призмы. Начальные скорости грузов равны нулю. Найдите ускорение грузов, если = 60°, = 30°, а коэффициент трения 0,2.

Ответ. 4,8 м/с².

Указание. Перед решением данной задачи в общем виде следует сначала оценить, в каком направлении могут двигаться связанные грузы – в сторону груза m₁ или m₂. При решении задачи считаем нить нерастяжимой и невесомой, а также пренебрегаем массой блока.

Задача № 17. Доска, находящаяся на гладком полу, связана с лежащим на ней грузом нитью, перекинутой через блок. Масса доски М, масса груза m, коэффициент трения между ними . С каким ускорением будет двигаться доска, если приложить к ней горизонтальную силу F? Нить и блок считать идеальными.

Решение. В зависимости от числовых значений данных величин возможны два случая: тела движутся или тела неподвижны. Предположим, что реализуется первый случай. Поскольку нить нерастяжима, ускорения доски и груза будут равны по величине и противоположны по направлению. Запишем уравнения движения тел в проекциях на горизонтальную ось, направленную вправо:

где T – натяжение нити, F_тр – сила трения между доской и грузом. Учитывая, что в случае скольжения F_тр = mg, окончательно получим:

Этот ответ будет верен только при выполнении условия F 2mg. В противном случае тела остаются неподвижными, т.е. а = 0.

Задача № 18. Брусок массой m = 1,00 кг лежит на горизонтальной поверхности с коэффициентом трения = 0,50. Если в момент времени t = 0 на него начинает действовать сила F = t ( = 2,50 Н/с), направленная под углом = 30° к горизонту, то время скольжения бруска по поверхности:

А) 3,6 с; Б) 6,2 с; В) 4,2 с; Г) 7,3 с; Д) 2,7 с.

Решение. Время движения бруска определяется как разность времён отрыва бруска от поверхности и начала движения бруска по поверхности: t_дв = t_отр – t_нач.

Время отрыва бруска от поверхности находится из условия отрыва: N = 0, или, в проекции на ось Y:

N = mg – Fsin = 0, т.е. t_отрsin = mg

Время же начала движения бруска определяется из условия:

Fсos = F_тр = N, т.е. t_начcos = (mg –t_нач sin) t_нач = = 1,8 с.

Таким образом, t_дв = 8,0 с – 1,8 с = 6,2 с.

Задача № 19. При каком коэффициенте трения человек сможет вбежать на горку высотой h = 10 м с углом наклона = 0,1 рад за время t = 10 с без предварительного разбега? Считать, что мощность человека не ограничивает время движения, а сопротивление воздуха мало.

Решение. Сила трения F_тр, действующая на человека, препятствует проскальзыванию и поэтому направлена вверх. На человека также действуют сила тяжести mg и сила реакции опоры R. Величина последней силы определяется из условия равенства нулю суммы проекций всех сил на направление, перпендикулярное плоскости горки (в этом направлении нет ускорения):

R = mgcos.

Для силы трения получаем F_тр = R = mgcos.

Напишем теперь второй закон Ньютона, спроецировав все силы на направление вдоль плоскости горки: ma = mgcos – mgsin.

С другой стороны, ускорение связано со временем движения и пройденным путем кинематической формулой: .

Из двух уравнений получаем:

Если человек сбегает с горки, то сила трения, препятствуя скольжению, может тормозить его движение. Благодаря этому удаётся спускаться медленно.

Задача № 20. Какую минимальную скорость будет иметь человек, сбежавший с горки высотой h = 10 м с наклоном = 0,1 рад при коэффициенте трения = 0,05?

Решение. Используя решение предыдущей задачи, для ускорения получаем:

a = gsin – gcos.

Конечная скорость человека без начальной скорости при прохождении расстояния L равна:

При tg человек может стоять на горке и соответственно спускаться с неё как угодно медленно.