Продолжение. См. № 17, 18, 19, 20, 21/06

А.А.КНЯЗЕВ,
ЛПН, г. Саратов
knf@sgu.ru

Олимпиадный материал в повседневной работе преподавателя физики

ЛЕКЦИЯ 6. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Введение. Современные научные знания об электричестве рассматриваются в системе уравнений Дж.Максвелла, подобно тому как знания о механических явлениях анализируются в системе законов И.Ньютона¹. Именно уравнения Максвелла содержат в себе закон Кулона, закон Ампера, закон рождения вихревого поля (электромагнитной индукции). Они порождают законы Г.Кирхгофа и законы распространения излучения. В высшей школе такая идеология провозглашена, но для школьной физики ракурс, связывающий знания об электрических явлениях в единый блок, мало подходит, даже в старших классах² . Преподавание в средней школе представляет собой почти бессистемное изложение фактического материала. Две следующие лекции иллюстрируют возможность концептуального подхода к преподаванию электрических явлений на основе связи новых знаний с материалом предыдущих разделов.

1. Электрические явления

Многие с опаской относятся к электричеству. Это неудивительно – впечатление понимания чаще касается в физике лишь таких явлений, которые можно увидеть непосредственно. А вот увидеть, как, например, идёт ток по проводам, совершенно невозможно. Пугает значительная сила и протяжённость электрического действия (против гравитационной), а также высокая скорость процессов, не достижимая в механических системах. Возникает ощущение опасности, близкое к религиозному чувству. С другой стороны, факт того, что люди поняли всё это, вполне может вызвать восхищение и желание приобщиться к этому знанию. Интересно, что такой же путь – от неразберихи и тайны до безоглядного доверия – прошло и научное знание об электрических явлениях, и технический прогресс.

Действительно, на историческом фоне XVIII в. электрические, или магнетические, явления выглядят явным диссонансом. Они разнообразны, но знания туманны и, хотя шлейф тянется из глубины веков, достоверно известно очень мало. Проведены многие наблюдения, но рациональных идей не высказано, и знания об электричестве остаются на уровне эмпирического любопытства и невнятных размышлений (У.Гильберт, О.Герике, С.Грей, П.Мушенбрук, Г.Рихман, Б.Франклин, М.В.Ломоносов, Ф.Эпинус, Л.Гальвани, А.Вольта). Только с развитием механики люди стали формально описывать взаимодействия понятием силы. И тут, наверное, помог случай. Наблюдая взаимодействие двух наэлектризованных тел, Ш.Кулон сумел измерить силу действия неподвижных электрических зарядов. Так вместо класса неясных явлений пришло понимание нового взаимодействия, наряду с трением, упругостью, гравитацией. Впоследствии это представление стало удобным на долгие годы (вплоть до открытия М.Фарадеем вихревого поля). В это же время возникает всплеск исследований, начинается изобретение и, буквально сразу, внедрение устройств, работающих на ещё слабо изученном электрическом принципе. Гальваническая батарея, электрическая дуга, электрическое освещение, телеграф, телефон, электрические двигатели... Прошло всего полвека, и человечество сделало ставку всего своего благополучия целиком на электричество – явление, лишённое общепринятого уровня зрительного контроля. Феномен распространения электрических устройств в современном мире, наверное, можно отнести к перечню самых парадоксальных событий человеческой истории. Практическое освоение электричества заняло меньше времени, чем развитие механизмов и паровых машин.

Кулоновская сила в системе знаний о механике

• Три одинаковых заряженных шарика массами m и зарядом q связаны в треугольник нитями длиной L. Одну из нитей пережигают. Рассчитайте ускорение среднего шарика в начальный момент.

Ответ.

В этой задаче важно, во-первых, учесть, что импульс системы сохраняется (центр масс неподвижен). Во-вторых, заряды системы попарно связаны, т.е. при разлёте расстояние между центральным и каждым крайним сохраняется (условие связи). Здесь, как и всегда, важно не пойматься на интуитивные догадки, всегда кажущиеся правдоподобными, нарисовать верный рисунок и расставить удобные обозначения (на рисунке изменения изображены только на левой стороне).

3. Электризация тел

Школьники легко усваивают, что число протонов в составе любого атома равно числу электронов, т.е. атом является электронейтральным. Этого, однако, нельзя сказать обо всём теле, состоящем из атомов. Здесь этот баланс обычно нарушен хотя бы загрязнением ионными примесями – в результате практически любое тело должно иметь макроскопический заряд. Однако в окружающей среде из-за действия внешней ионизации всегда образуются ионы и электроны (в среднем 10 ионов в каждом кубическом сантиметре). Они «облепляют» заряженное тело, компенсируя его избыточный заряд, и только поэтому тело становится нейтральным. Потерев тела друг о друга, можно «ободрать шубу», тогда на некоторое время оба тела оказываются наэлектризованными [2]. Так может происходить знакомство с важнейшим процессом электризации – трением. Но в учебниках этот тип электризации часто сводится к электризации прикосновением. Помимо того что это не так, разбор механизма электризации снял бы закономерные недоумения, связанные с утверждением о чудесной идеальности баланса положительных и отрицательных зарядов в теле.

Способов электризации (нарушения баланса) множество, но обычно говорят всего о двух-трёх видах (прикосновением и влиянием), а остальные явления рассматриваются в других аспектах. Перечислим ещё несколько видов электризации, о которых можно говорить сразу, хотя бы для возбуждения интереса к происходящему вокруг³: гальванический эффект, термопарный эффект, пьезоэффект, термоэлектронная, автоэлектронная и вторичная электронная эмиссии, фотоэлектронная эмиссия (фотоэффект). Важно, что каждый из эффектов эмиссии в основе содержит формулу типа , где Е – энергия, получаемая электроном в данном типе эмиссии (eU, kT или h). Учёт электризации важен для анализа поведения тел конечных размеров. Могут возникнуть даже парадоксы, если не учитывать эффекта поляризации тел. Известно, например, что два одноимённых заряда отталкиваются. Однако в полной мере это справедливо только для точечных тел.

• Имеются два шарика, заряженных, например, одноимёнными зарядами +10 нКл и +100 нКл. Оцените качественно характер взаимодействия.

К решению. Сейчас, когда тела имеют конечные размеры, кроме своих собственных зарядов на каждом шарике возникнут наведённые заряды, пропорциональные зарядам соседних тел. Эти заряды вытесняются на противоположные края тел. И теперь из-за большого различия зарядов ближе других оказались сильный положительный заряд правого шарика (собственный) и сильный отрицательный заряд левого шарика (наведённый). Результирующая сила взаимодействия шариков оказывается силой притяжения!

А вот пример количественного учёта наведённых зарядов.

• Исследуется сила взаимодействия металлического шара и положительно заряженной частицы, находящейся на постоянном расстоянии от него. Когда шар зарядили положительно, то оказалось что шар притягивается к частице с силой F₁. Когда заряд шара удвоили, сила стала равна F₂. Какова будет сила взаимодействия, если заряд шара утроить? [Кузнецов А.П., Кузнецова С.П. Задачи Саратовских городских олимпиад.]

К решению. Даже незаряженный шар, находясь в поле действия сил частицы, испытывает некоторую силу притяжения f к ближайшему наведённому заряду (противоположного знака) из-за явления электростатической индукции. Если шар зарядить, то добавится ещё и кулоновская сила отталкивания, пропорциональная значению заряда шара. Для каждого из трёх случаев можно записать однотипные соотношения:

F₁ = f – F_q; F₂ = f – 2F_q; F₃ = f – 3F_q.

Решение системы этих уравнений даёт ответ:

F₃ = 2F₂ – F₁.

Таким образом, в третьем случае от предыдущих значений зависит даже знак силы.

Напряжённость взаимодействия. Суперпозиция и потенциальность в электростатике. Не торопитесь говорить о материальности электрического поля, это оправданно лишь после введения понятия энергии поля! Пока следует говорить о поле только в математическом смысле: пространство, где в каждой точке задан вектор силы (или скалярный потенциал), так же, как поле скоростей в гидродинамике или поле температур в теории теплопроводности. Здесь нужно активно использовать запас понятий механики. Хорошо, если с напряжённостью гравитационного взаимодействия ученики уже познакомились при анализе силы всемирного тяготения. Напомним, что вблизи поверхности нашей планеты а с удалением уменьшается. Полученная формула F = mg очень удобна: она избавляет нас от необходимости проводить полный объём вычислений по закону всемирного тяготения для каждой новой массы m. Однако термин напряжённость гравитационного взаимодействия в школе ещё не очень распространён. Величину g чаще называют ускорением свободного падения, а когда разговор заходит о некорректности, ссылаются на принцип эквивалентности, до которого в школе разговор вообще не доходит. Вот так даже для прилежного ученика физика становится непонятным предметом, где самое главное – «в рукаве фокусника».

Напряжённость E(R) электрической силы заряда Q вводится так же, как и g(R). Имея систему нескольких зарядов (или даже заряженных тел), мы можем однажды, пусть даже сложным способом, вычислить в каждой точке силу воздействия этой системы на единицу заряда: Зато впоследствии для определения силы, действующей на любой вносимый в это пространство заряд q, достаточно соотношения F = Fq.

Вычисление напряжённостей для сложных систем зарядов – процедура, сложная даже для профессионалов. Её можно упростить некоторыми математическими приёмами – иногда очень красивыми (теорема Остроградского–Гаусса [3]). Для решения задач полезно знать готовые результаты расчёта напряжённости для некоторых распространённых систем зарядов: точечного заряда; заряженного шара или сферы – за их пределами и внутри; длинной прямой заряженной нити; бесконечной заряженной плоскости.

• В таблице приведены значения напряжённости электрического поля, созданного квадратной решёткой N N точечных зарядов, в зависимости от координаты вдоль оси симметрии, перпендикулярной плоскости решётки (число N нечётное).

Определите величины точечных зарядов q, число шагов решётки N и период решётки d. [Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Задачи Саратовской городской олимпиады, 1990 г.]

К решению. Анализируем данные. В области малых координат значение напряжённости определяется главным образом ближайшим – центральным – зарядом решётки и может быть описано формулой поля точечного заряда . Задавая значения х₁ 10^–3 м, E 100 Н/Кл, получаем ответ на первый вопрос о значении q. В области больших координат вся решётка представляется одним зарядом N²q, и значение напряжённости снова определяется по формуле поля точечного заряда . Задавая значения х₃ 3 м, E 0,0136 Н/Кл, получаем число зарядов N. В области средних значений координат наблюдается «полочка», примерно соответствующая полю заряженной плоскости В эту формулу нужно подставить , а для значения напряжённости взять, например, E₂ = 6 Н/Кл как среднее значение на «полочке». Идея решения задачи может возникнуть и в результате анализа изображения данных на графике.

Это олимпиадная задача, но вполне решаемая. Отдельный интерес представляет нахождение формулы для компьютерного расчёта поля заданной решётки. Она может иметь, например, следующий вид:

Изображением проекции на плоскость (разреза) картины линий напряжённости электростатического поля вокруг заряженного тела или системы точечных зарядов можно заинтересовать учащихся, тяготеющих к программированию. Известно, что линии напряжённости электрического поля проводятся так, чтобы:

– касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора суммарной напряжённости поля системы зарядов в данной точке и каждая ближайшая точка линии находилась в направлении, указанном вектором напряжённости в предыдущей точке (передвинуться вдоль линии и пересчитать всё снова);

– направление силовых линий задавалось вектором напряжённости, т.е. Они начинаются на положительных зарядах или приходят из бесконечности и кончаются в бесконечности или на отрицательных зарядах (причём вблизи заряда поле системы всегда имеет вид поля одиночного заряда);

– густота линий, выходящих (или входящих) из заряда (в трёхмерное пространство!), выбирается условно – пропорционально заряду.

Сформулированные правила легко алгоритмизируются для программ машинной графики. Рисунок иллюстрирует возможности демонстрационной программы, подаренной автору школьниками г. Дзержинска (Нижегородская обл., класс заслуженного учителя Л.В.Пигалицына). Здесь наряду с линиями напряжённости строятся и линии равного потенциала.

Потенциальная энергия заряда. Потенциал. Связь разности потенциалов с напряжённостью поля. Формальное сходство кулоновских сил с силами тяготения позволяет, не повторяя вычисления, утверждать, что кулоновские силы также консервативны. Значит, работа A по перемещению пробного заряда q в поле некоторой системы неподвижных зарядов может быть представлена разностью двух слагаемых: A = U₁ – U₂, величина каждого слагаемого U₁ и U₂ есть, по определению, потенциальная энергия пробного заряда q в поле действия системы зарядов. Используя аналогию, можно сказать, что для поля системы неподвижных точечных зарядов потенциальная энергия заряда q определяется алгебраическим суммированием потенциальных энергий таких же элементарных пар зарядов:

Здесь, как и в случае перехода от сил к напряжённостям, удобно ввести понятие потенциальной энергии, рассчитанной на единицу вносимого в рассматриваемое поле заряда, – потенциал. Если в теории тяготения A = m(gh₁ – gh₂) = mg • H, то в электростатике имеем где U – разность потенциалов. Можно получить и связь напряжённости поля с разностью потенциалов (для однородного поля) на длине d в виде .

•  Имеется система из трёх параллельных друг другу заряженных плоских пластин площадью S каждая, расположенных на близких расстояниях d. Заряды пластин равны +Q, –2Q и 3Q соответственно. Какую работу можно получить в этой системе, если заряду q Q предоставить возможность переместиться по проводнику с первой пластины на третью через «нагрузку» (нагревательный прибор, резистор, лампочку)?

К решению. Конкретный характер нагрузки неизвестен, поэтому вычислить работу заряда при непосредственном перемещении его через нагрузку невозможно. Однако созданное поле консервативное, и можно избрать другой путь перемещения зарядов, более удобный для расчётов. Здесь этот путь – перемещение заряда непосредственно через пластины. В пространстве между пластинами созданы электрические поля E_I и E_II. Значит, в пространстве I на заряд будет действовать сила qE_I, а в пространстве II – сила qE_II. Результирующая работа будет равна A = q(E₁d + E_IId).

Осталось вычислить напряжённости полей между пластинами. Пластины расположены близко друг к другу, и можно использовать формулу для поля бесконечной пластины:

Используя принцип суперпозиции для каждой из областей, получаем:

6. Электроёмкость. Связь потенциала с зарядом

Не менее важной является прямая пропорциональная связь между потенциалом тела и его зарядом через электроёмкость – коэффициент, прямо пропорциональный характерному размеру этого тела

• Металлическое тело заряжают посредством ряда прикосновений к нему палочки, несущей заряд Q. После каждого касания пластины заряд палочки восстанавливают до первоначального значения (например, от электрофорной машины Вимшерста, от пьезозажигалки или путем натирания). Определите максимальный заряд, который можно таким образом передать телу, если после первого прикосновения заряд шара стал равным q.

К решению. Рассуждаем детально. При первом касании заряд палочки уменьшился до Q – q, а потенциалы тела и палочки сравнялись:

После многих касаний потенциал тела ещё до следующего касания будет почти равным потенциалу палочки, и дальнейший переход заряда практически прекратится:

2. Электрический ток

Электрический ток возникает при любом движении носителей заряда. В радиоприёмнике мы слышим шум теплового движения электронов даже при отключённой антенне, а токи в атмосфере возникают в результате конвекционного движения. Если поместить проводник в электростатическое поле, то электроны приобретают направленную компоненту скорости (очень малую по сравнению с тепловой), и таким образом тоже возникает ток. Сила тока определяется по заряду, прошедшему через выбранное сечение за единицу времени. Точно так же мы учитываем движение жидкости в трубе или канале – величиной потока переносимой массы – эту величину называют расходом жидкости. Легко, например, рассчитать орбитальный ток электрона в классической модели атома водорода. Это значение (~1 мА) оказывается на удивление большим.

Ток всегда возникает в результате совершения работы силами, перемещающими заряды, и сопровождается энергетическими эффектами. Природа этих сил может быть самой разнообразной – это могут быть как электрические силы, так и сторонние: химические или даже чисто механические. Например, таков основной механизм нагревания молотка от удара по твёрдому предмету: при торможении в нём возникает ток!

• Металлический цилиндр падает с высоты H и останавливается, ударившись о препятствие торцом. Найдите величину заряда, прошедшего через поперечное сечение при торможении, если диаметр цилиндра D, а удельное сопротивление металла .

К решению. Электроны продолжают движение, порождая ток, который, в свою очередь, совершает микроскопическую работу внутри вещества, – возникает некоторое количество теплоты. Используя теорему о кинетической энергии на элементарном промежутке времени, можно записать простое соотношение: Здесь m – масса электрона, n – концентрация электронов в металле, R – электрическое сопротивление участка цилиндра длиной L на пути электронов, пройденный за данный отрезок времени со средней скоростью .

Преобразуем это соотношение, привлекая формулу и классическую формулу для сопротивления :

Осталось только учесть, что средняя скорость при равнопеременном торможении определяется как
Получаем Подробности можно узнать в главах учебников по молекулярной физике, посвящённых явлениям переноса и рассматривающих связь между теплоёмкостью, вязкостью и электропроводностью различных веществ (соотношение Видемана–Франца).

Чем парадоксален закон Ома с позиций классической физики. Если на электрон постоянно действует сила, он движется равноускоренно. Запишем уравнение движения для расчёта ускорения:

ma = (F_эл.ст + F_стор).

Далее определим скорость = at и, воспользовавшись соотношением получим, что ток будет линейно нарастать во времени. Однако эксперименты показывают, что с большой степенью точности такого не происходит – при постоянной величине эдс ток остаётся постоянным! В открытии этого противоречия и состояла главная ценность закона Ома для учёных, которые впоследствии пытались примирить представления о движущихся в проводнике свободных электронах с реальным положением дел. Согласно достаточно удачной гипотезе, электроны при своём движении сталкиваются с ионами кристаллической решётки, а изменение среднего импульса в результате частых столкновений эквивалентно действию на частицу сил вязкого трения. Стационарное движение возникает, когда силы сопротивления уравновешивают тянущие силы электрического и стороннего происхождения. Кинетическая энергия направленного движения не увеличивается, и поэтому ток остаётся постоянным. Математически это может быть выражено через запись теоремы об изменении кинетической энергии системы заряженных частиц:

W_k = 0 = –А_сопр + q(₁ – ₂).

Сравнивая её с записью закона Ома IR = (₁ – ₂), видим, что величина IR и есть работа сил сопротивления, рассчитанная на единицу перемещаемого заряда. Величину произведения IR называют падением напряжения на сопротивлении (резисторе) R и обозначают U_R.

Из закона Ома следует, что если разность потенциалов на концах проводника постоянна, то и ток в нём будет постоянным во времени. Однако ясно, что если в цепи действуют только электростатические силы, то ток будет кратковременным, поскольку потенциальные силы не создают работы по замкнутому контуру, и заряды, скопившись на противоположных сторонах проводника, остановятся. При наличии «насоса» – источника неэлектростатических (сторонних) сил – результирующая работа в цепи будет складываться из работы электростатических сил на внешнем участке цепи, работы сторонних сил, действующих на участке между электродами внутри источника, и работы сил сопротивления на всех участках цепи [4, 5]. Тогда в установившемся режиме

W_k = 0 = q (₁ – ₂) ± q – q(IR + Ir),

а закон Ома примет вид IR + Ir = (₁ – ₂) ± , где произведение Ir – падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника.

• В схеме закороченного моста Уитстона найдите ток в диагонали АВ. Все соединительные проводники имеют нулевое сопротивление, а источник эдс – идеальный.

К решению. Задайтесь вопросом: будет ли бесконечным ток при нулевом сопротивлении участка? Используйте формулы для работы поля по замкнутому контуру в зависимости от того, действуют ли в нём потенциальные силы или сторонние, и условия равенства нулю суммы токов в узлах (соотношения Кирхгофа). Очень удобно применить правило Крамера для определителей, покажите его старшеклассникам.

Ответ.

Видны и смена направления тока, и равновесие моста. Итак, ток короткого замыкания определяет сопротивление всей цепи.

Вопросы для самоконтроля

1. Утверждается, что, бродя в квартире по полу с пластиковым покрытием, мы заряжаемся до потенциала в сотни тысяч вольт. Оцените, почему мы не погибаем от таких разрядов?

2. Известны картины электрических полей для систем заряженных тел. Почему, несмотря на глубокую аналогию электрического взаимодействия с гравитационным, мы не имеем дела с похожими картинами сил тяготения, не изучаем теории подобных гравитационных явлений?

3. Разрешите недоумение: тепловая скорость, с которой свободные электроны летают внутри металла, составляет сотни метров в секунду при комнатной температуре, но когда источник сообщает им дополнительную дрейфовую скорость порядка одного миллиметра в секунду, то проводник раскаляется до высоких температур.

4. Рассмотрите по любому вузовскому учебнику связь между коэффициентами переноса: вязкостью, теплопроводностью, диффузией и проводимостью. Обсудите порядки численных значений этих коэффициентов.

Литература

1. Суорц Кл.Э. Необыкновенная физика обыкновенных явлений. т. 2. – М.: Наука, 1987.

2. Филонович Р.А. Судьба классического закона. – Библиотечка «Квант», 1990, вып. 79.

3. Мякишев Г.Я. и др. Физика-10–11: Электродинамика. – М.: Дрофа, 1996.

4. Селезнёв Ю.А. Основы элементарной физики. – М.: Наука, 1974.

5. Гордюнин С. Закон сохранения энергии в электростатике. – Квант, 1989, № 6.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА  № 2

9-й класс

1. Бочка с огурцами (2 балла). Бочка объёмом V = 50 л доверху заполняется на зиму огурцами. Плотность вещества огурцов ₁ = 1100 кг/м³. А средняя плотность огурцов в куче ₂ = 670 кг/м³. Сколько литров рассола нужно приготовить для заливки огурцов?

Ответ. 20 л.

2. Пьезозажигалка (6 баллов). Искра в кухонной пьезоэлектрической зажигалке образуется, если сильно сжать в продольном направлении блок из монокристаллического титаната-цирконата свинца: при этом между его посеребрёнными торцами возникает большое элек-трическое напряжение (15 кВ). На рисунке изображён усилитель силы сжатия. При нажатии на рычаг толкатель нажимает на цилиндр В, а тот, в свою очередь, упирается в раму и в другой цилиндр А, имеющий контакт с торцом пьезоэлектрического кристалла. Рассчитайте по приведённым данным, во сколько раз сила F₂ больше силы F₁. Для численных оценок примите a = 10 мм, b = 80 мм, F₁ = 10 Н, = 10° (угол между осью конструкции и линией, соединяющей оси цилиндров).

Ответ. F₂ 50F₁.

3. Бруски (4 балла). Маленький брусок соскальзывает с горки и проходит до основания расстояние s₁.
У основания этой горки он сталкивается с другим, неподвижным, бруском и останавливается. При этом второй брусок начинает двигаться с той же скоростью, которую имел первый брусок перед столкновением, и проходит до остановки путь s₂. Определите ускорения тел на обоих участках, если полное время движения оказалось равным T.

Ответ.

4. Двигатель (4 балла). Двигатель на испытаниях развивал полезную мощность 5 кВт. При этом вода в охлаждающем кожухе нагрелась на 10 °С за первые 20 с. Оцените кпд двигателя. Объём воды 10 л.

Ответ.

5. Мощность 100-ваттной лампочки (4 балла). Оцените, какую мощность имеет 100-ваттная лампочка в начальный момент включения её в осветительную сеть напряжением 200 В, если рабочая температура нити накаливания составляет 2700 °С, а температурный коэффициент сопротивления вольфрама 0,004 °С^–1.

Ответ. Около 1,15 кВт.

10-й класс

1. Угол отскока (8 баллов). Найдите угол отскока мяча при угле падения 45° на идеально гладкую горизонтальную поверхность, если при ударе мяч теряет третью часть кинетической энергии.

Ответ. 60° к нормали.

2. Трос (4 балла). Отрезок троса длиной L удерживают наполовину свисающим с гладкого стола. Какую скорость он будет иметь в момент, когда соскользнет уже полностью?

Ответ.

3. Стратостат (4 балла). Для изучения высоких холодных слоёв атмосферы – стратосферы (10–50 км) используют очень простую конструкцию: оболочка стратостата заполнена водородом в своей верхней части, а снизу свободно проникает воздух. Оцените наибольшую массу и диаметр стратостата такой конструкции, который ещё сможет подняться в воздух, если масса выпущенного в оболочку водорода 600 кг.

Ответ. Масса стратостата может составлять более 13,5 масс заполняющего его водорода, что при диаметре до 20 м может составить до 8 т.

4. Нагрузка в квартире (4 балла). Замечено, что при включении в бытовую сеть мощных электроприборов яркость осветительных лампочек заметно уменьшается. Эффект уменьшения напряжения может оказаться губительным, например, для компьютера. Рассчитайте, какая потребляемая мощность допустима для вашей квартиры, если действующее в сети переменное напряжение, эквивалентное постоянному U_R = 220 В, не должно падать более чем на U = 5 В, а общее сопротивление пары подводящих проводов в стандартных жилых домах r 0,5 Ом. Все нагрузки считайте активными.

Ответ. Для увеличения допустимой мощности необходимо заменить подводящие провода на кабель меньшего сопротивления или проложить дублирующие параллельные провода.

11-й класс

1. Столкновение грузов на пружинах (10 баллов). На рисунке изображены два груза массами m на горизонтальной спице, прикреплённые к её концам двумя пружинами. В покоящемся состоянии расстояние между грузами равно L. Жёсткости пружин одинаковы и равны k. Какую минимальную одинаковую начальную скорость ₀ можно сообщить этим грузам одновременно во встречных направлениях, чтобы столкновение ещё было возможным? Трением пренебречь. Как изменится результат, если спицу поставить вертикально? Длины пружин таковы, что все растяжения могут быть описаны законом Гука.

Ответ. При горизонтальном расположении . При вертикальном расположении расстояние между шариками и частоты их колебаний останутся прежними, но минимально необходимое значение начальной скорости уменьшится до . Видно также, что в вертикальном положении шарики не должны касаться друг друга, т.е. расстояние между ними должно удовлетворять условию .

2. Цепочка в трубке (10 баллов). В трубке, расположенной под углом 30° к горизонту, неподвижно лежит вдоль её оси цепочка. Если трубку медленно повернуть вокруг нижнего конца, то цепочка выскользнет из трубки. На какой угол достаточно повернуть трубку, если коэффициент трения цепочки о стенки трубки равен 0,59?

Ответ. Примерно на 6°.

3. Компрессор (8 баллов). В баллон в течение 30 с закачивают 5 кг воздуха компрессором, мощность которого 1 кВт. На приведённом масштабном графике видно, как увеличивалась температура газа по мере увеличения массы воздуха в баллоне. Оцените, какое количество теплоты получил газ. Кпд компрессора 50%.

Ответ. Используя данные о площади криволинейной трапеции с основанием на оси температур (160 кг•град), получим

= 130 (кДж).

4. Дроссель (8 баллов). Для уменьшения мощности 10-киловаттного промышленного нагревателя, рассчитанного на эксплуатацию в сети 220 В переменного тока, последовательно со спиралью включили дроссель индуктивностью L = 0,1Гн и собственным активным сопротивлением 2 Ом. Какова теперь мощность нагревателя, если в своей конструкции он не содержит реактивных элементов?

Ответ. Коэффициент мощности стал равным мощность уменьшилась примерно в 5 раз: P₁ = Pcos = 2000 Вт.

5. Свет сквозь щель (4 балла). В ясный вечер свет заходящего солнца попадает в комнату через узкую вертикальную щель в ставне. Какова форма и размеры светового пятна на стене? Длина щели d = 6 см, расстояние от окна до стены s = 3 м. Известно также, что расстояние до Солнца S равно примерно 150 млн км, а его диаметр D = 1,4 млн км.

Ответ. Мы увидим вертикальную светлую полоску шириной 3 см и длиной 9 см.

_____________________

¹Или в другой формальной системе представления, например, Ж.Лагранжа или У.Гамильтона.

²Интересный эксперимент представлен в [1], однако сейчас такая возможность, кажется, надолго упущена из-за развивающейся тенденции к упрощению программ.

³ Вопросов всё равно не избежать – вокруг нас современные приборы (мониторы, ксероксы, принтеры, пьезозажигалки), поэтому классическая подача материала на tabula rasa сегодня обречена на провал, да и скучна, даже для учителя. Нужны разумные «прострелы» вперёд по темам, пусть не подкреплённые ещё расчётами. Но беда, если из таких фрагментов будет состоять весь курс физики, превращаясь в пустой балаган «с погремушками».

Продолжение в № 23