Продолжение. См. № 17, 18, 19/06

А.А.КНЯЗЕВ,
ЛПН, г. Саратов
knf@sgu.ru

Олимпиадный материал в повседневной работе преподавателя физики

Лекция 4. ДРУГОЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ – СРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЙ

Три предыдущие лекции были наполнены математическим содержанием. В них говорилось в основном о решении задач. Эта лекция завершает беседы о механике, и будет жаль, если у читателей возникнет впечатление, что концепция механики, основанная на решении уравнения движения, сводит всю эту пламенную науку к техническим приёмам. Вместе с тем важно, чтобы учащиеся не представляли физику как искусство пустых разговоров, а процедуру решения задачи – как поиск удачных комбинаций из заученных формул, но обратили внимание на конкретность, методичность и логику в решении задач механики. Романтики на этом пути предостаточно. Порой, даже зная методику решения, можно запутаться в нестандартной ситуации. Собственно, неумение выделить сущность часто и составляет главную сложность задач физики как для учителя, так и для учеников. Часто бывает, что в рассуждения о характере движения привносятся моменты, не описанные в уравнении, – так задачу не решить. Всё должно быть ясно до мелочей.

• Ящик массой 2m с шайбой массой m внутри удерживают в покое на наклонной плоскости. Их одновременно отпускают: ящик скользит по склону, а шайба – по дну ящика. Через время  = 1 с шайба ударяется о нижнюю стенку ящика. Определите ускорение шайбы относительно наклонной плоскости и начальное расстояние от шайбы до стенки ящика. [МФТИ, вступительные экзамены, 2001 г.]

К решению. Чтобы не запутаться в рассуждениях, следует чётко определить систему отсчёта. Здесь удобно связать наблюдателя с неподвижным склоном. Тогда движение и шайбы (тело 1), и ящика (тело 2) определяется только силами, действующими на данное тело. В противном случае возникает проблема неинерциальности, сложная даже для старшего школьного возраста. Запишем уравнение движения тела 1 в проекции на ось Х (касательная компонента):

Это и есть ответ на первый вопрос. Здесь из экономии не записана нормальная компонента уравнения, определяющая значение силы нормальной реакции N₁.

Несколько слов о правомерности записи именно в таком виде. Легко проверить, что оба тела придут в движение после того, как их отпустят, ведь условие скольжения выполняется: Причём шайба будет скользить быстрее ящика, поскольку коэффициент трения её по поверхности меньше. Последнее условие определяет знак «минус» при силе трения.

Запишем уравнение движения тела 2 (ящика). Касательная компонента уравнения:

(здесь использованы представления о третьем законе динамики: шайба, соскальзывая, увлекает за собой ящик).

Нормальная компонента уравнения:

Решая систему уравнений, легко получить ускорение ящика а₂.

Таким образом, оба тела движутся со своими ускорениями, при этом законы движения интересующих нас точек имеют вид:

– точка переднего края шайбы: ,

– передняя стенка ящика:

В момент столкновения координаты точек сравниваются, и тогда

Окончательно

Замечание. Можно рассуждать и по-другому, однако чаще оказывается, что очень удобно начинать не с поиска формы предполагаемого ответа, а с анализа ситуации, т.е. с записи уравнения движения. В этом и состоит метод, освоение которого очень сложно, зато практично и очень интересно. Отсюда, собственно, и начинается физика.

В предыдущей задаче уравнения движения не полностью проявляют свою сущность: динамика-то ещё очень примитивная, поскольку действуют постоянные силы. В таких случаях уравнение движения служит лишь для определения постоянного ускорения, а процедура решения самого уравнения (это и называется интегрированием) заменяется записью уже готовых решений – кинематических законов равномерного и равнопеременного движений.

А сейчас рассмотрим задачу, важную при понимании метода уже непосредственного решения уравнения движения в форме Задачи этой группы решают, как правило, не раньше 10-го класса, когда ученики уже способны воспринять такие объекты, как производная и интеграл. В таких задачах в процессе движения могут изменяться силы и даже массы (см., например, [1]), а это изменяет и ускорение – движение не равнопеременное.

• Двигатель подводной лодки развивает мощность P. При этой мощности скорость лодки равна ₀. Определите, на каком расстоянии от точки выключения двигателя лодка остановится, если сила сопротивления движению пропорциональна её скорости. Масса лодки равна M, а глубина погружения не изменяется на всём пути. [Саратов, областная олимпиада, 1999 г., 11-й класс.]

К решению. Этот олимпиадный вариант задачи очень простой, и решение можно получить, не прибегая к интегрированию. Однако представления об уравнении движения необходимы. Действительно, при движении с включённым двигателем лодка движется по закону где коэффициент сопротивления движению можно определить из условия равномерного движения, когда ускорение равно нулю:

После выключения двигателя движение описывается уже другим уравнением:

     (*)

Конечно, возможно строгое решение:

– 1-е интегрирование:

– 2-е интегрирование:

и т.д., к пределу бесконечного времени движения. Здесь контроль за решением осуществляется в любой момент времени. Однако школьники проделывают такое лишь в физматклассах, и то не все.

Для понимания процесса вполне достаточно общих представлений о смысле уравнения движения. Перепишем уравнение (*) следующим образом:

и учтём, что dt = ds. Теперь записанное уравнение приобретает следующий смысл: при прохождении телом пути ds его скорость уменьшается на значение d. Значит, для каждого участка можно записать:

Этот момент – запись уравнения в конечных разностях – психологически довольно сложен. Если на уроках математики операция такого перехода не акцентируется, то учителю физики подготавливать детей к этому нужно исподволь, буквально с младших классов. Ведь это не дебри математики, а вполне разумные соображения о линейности и суперпозиции. Тогда и результаты будут сказываться – к концу школьного курса.

Дальше всё просто. Просуммируем систему таких уравнений от начала движения до самой остановки:

откуда получаем: т.к. меняется от ₀ до нуля.

Заметим, что более правдоподобен закон торможения, когда сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости, но тогда уж интегрирования не избежать.

А вот ещё задача, где можно обойтись без интегралов.

• Прочному плоскому обручу радиусом R = 1 м, лежащему на горизонтальной поверхности (коэффициент трения = 0,1) сообщается скорость ₀ = 10 см/с вдоль поверхности и вращение с частотой n = 100 об/с вокруг вертикальной оси, проходящей через центр обруча. Сколько времени t потребуется обручу, чтобы удалиться на s₁ = 10 см от начального положения? Масса обруча M = 1 кг.

К решению. Обращает на себя внимание большое различие между скоростью поступательного движения кольца (несколько см/с) и линейной скоростью вращения Определим ускорение, с которым движется центр масс кольца. Для этого разделим мысленно кольцо на одинаковые малые элементы и при записи уравнения движения используем теорему о движении центра масс¹ :

Отсюда:

Здесь, во-первых, использована векторная запись силы трения – этого, кажется, нет ни в одном школьном учебнике, да и в вузовских – редко, во-вторых, использовано условие u , а также то, что в силу симметрии  Таким образом, вращаясь, кольцо движется на начальном этапе с малым замедлением, и его координата изменяется по закону , а значит, расстояние s₁ оно пройдёт за время t 1 с, которое определяется скоростью поступательного движения кольца.

Такие задачи решаются в школе крайне редко. Вот и остается непонятым метод Ньютона и его величие, – запоминаются лишь три закона динамики. Конечно, это тоже не мало, но я даже не знаю, что важнее для школы: заучивание законов или получение представления о возможностях человеческого интеллекта и приобретение некоторой функциональной грамотности.

2. «...стоял на плечах гигантов…»

Последовательность изложения, принятая в современной педагогике, такова, что ученики не представляют механики ни до Ньютона, ни после него. А ведь книга «Математические начала натуральной философии» вышла благодаря Эдмонду Галлею только в 1686 г., второе издание – в 1713 г., а первое популярное изложение – в 1738 г. (Вольтер), – уже после смерти Ньютона. Лишь в 1736 г. вышла книга Ньютона с изложением «теории флюксий», содержавшая собственно математический метод решения задач на основе выдвинутых законов динамики. Особенно трудно представить, что было до Ньютона, если учитель укрепляет это впечатление, например, такими строками: «Был этот мир глубокой тьмой окутан.// Да будет свет! И вот явился Ньютон»². Кстати, вот и ещё одно обстоятельство, приводимое как довод в защиту старой терминологии некоторыми учителями. У Ньютона действительно не говорится о нормальной и тангенциальной силах, а упоминается центростремительная сила [3]. Это так, но ведь мы уже давно не говорим языком петровского времени – многие термины упорядочены. Даже трудно представить, что понятие импульса было введено до Ньютона ещё Декартом (1644), а теория столкновений вообще практически обошлась без Ньютона: Рене Декарт (1639), далее Джон Уоллис, Кристофер Рен и Христиан Гюйгенс³  (1666) и, наконец, Готфрид Вильгельм Лейбниц (1686) и Леонард Эйлер (1740…1780). При современном изучении законов Ньютона, может быть, самое невероятное, что понятие ускорения было сформулировано только к 1841 г. (Жан Виктор Понселе⁴ ), а представления о векторах пришли в науку из трудов Уильяма Гамильтона благодаря Джеймсу Кларку Максвеллу лишь к 1873 г. Добавим, что вплоть до 1736 г. (Леонард Эйлер) была невозможна обычная формула = s/t, поскольку не была определена операция деления разнородных величин – Галилей с Ньютоном использовали лишь пропорции⁵ . Да и само понятие кинематики возникло только в начале XIX в. (А.Ампер). Интересно бы заглянуть в первые российские учебники физики, изданные в 1746 г. (М.В.Ломоносов, перевод его учителя Х.Вольфа) и в 1756 г. (М.Е.Головин, ученик Л.Эйлера)! Впрочем, как об этом можно судить по хрестоматиям, педагогическая часть физики того времени состояла в основном из рассуждений по оптике, теплоте, устройству механизмов и практически не содержала конкретных расчётов.

3. Первые интегралы движения

Как же представляли механику другие учёные, и как им удавалось всё-таки решать отдельные задачи? Как видно из приведённой таблицы основных дат развития теории механического движения, параллельно с динамикой Ньютона развивались и другие воззрения. Со временем были найдены соответствия, так что на сегодня теория механики во многом непротиворечива. Вот и остановимся пока на этом соответствии.

Приведённые выше примеры погрузили нас в технику серьёзных математических расчётов. В общем виде теория дифференциальных уравнений представляет собой отдельный раздел математики, и мы коснулись только простейших примеров. Очевидно, что сложные типы движения приводят к сложным уравнениям. Например, при описании явлений природы мы можем столкнуться с силой, пропорциональной расстоянию, квадрату скорости, импульсно изменяющейся со временем, и т.п. Возможны и обстоятельства, когда вид силы взаимодействия вообще неясен, требует дополнительных исследований, а значит, уравнение движения может быть записано лишь в общем виде. Одним из первых примеров анализа такой ситуации стала теория удара – сведённая поначалу к теории столкновения двух точечных тел, а впоследствии – шариков (Кориолис, ок. 1829 г.). Было замечено, что, даже не описывая подробностей движения, можно просто сравнить суммарное состояние системы, а именно значения импульсов и кинетических энергий (живых сил), для двух моментов времени: перед столкновением и после него. Впоследствии была разработана идеология такого описания уже на основе законов ньютоновской механики и сформулированы три теоремы: об изменении кинетической энергии системы, об изменении импульса и об изменении момента импульса. В современной школе часто упоминают только первые две из них.

Эти три соотношения называют иначе первыми интегралами движения, поскольку получаются они посредством первого интегрирования системы уравнений движения для системы тел с использованием теоремы о среднем значении для интеграла сил. Напомним, что всего для полного решения уравнения движения нужно два интегрирования: после первого можно получить функцию скорости (или выражение, содержащее скорость), а после второго – функцию зависимости координат тел системы от времени. Довольно подробно концепция и технология получения записи всех трёх теорем описана автором в «Физике» № 37/2004. Школьные варианты рассмотрены, например, в учебниках Г.Я.Мякишева [3] или Ю.А.Селезнева [4], однако логическая аргументация там выстроена несколько иначе. Примеров задач тоже очень много, как и публикаций на эту тему (например [5]). Далее будем считать этот материал уже знакомым и продемонстрируем решение задач методом сравнения состояний.

• На наклонной плоскости на нити длиной L висит грузик. С какой скоростью нужно толкнуть его в горизонтальном направлении, чтобы его скорость в положении 2 уменьшилась в три раза? [МФТИ, 2000].

К решению. Характер движения обещает быть непростым – действуют четыре силы: сила тяжести, сила нормальной реакции (постоянные), сила трения скольжения (меняется по направлению), сила натяжения (изменяется и по значению, и по направлению). Однако для решения достаточно описать переход из состояния 1 в состояние 2. Это можно сделать с помощью первых интегралов. Запишем теорему об изменении кинетической энергии:

Работы силы натяжения и силы нормальной реакции оказываются нулевыми – силы перпендикулярны перемещениям. Остается работа силы тяжести A_mg = –mgh и работа силы трения A_F = –Ns. Вычисляя значения h (высота поднятия грузика) и s (пройденный путь, длина четверти окружности), получим выражение, позволяющее получить ответ:

Формализм записи теоремы об изменении кинетической энергии удобен тем, что позволяет справиться и с усложнениями задачи путём добавления действующих сил, например электрического поля, если грузик ещё и несёт заряд Q. В этом случае в правой части записи теоремы добавится работа сил электрического поля A_mg = Q (₁ – ₂). Добавим, что здесь нет необходимости проверять выполнение условий сохранения механической энергии.

• В вершинах правильного многоугольника со стороной А закреплены маленькие одинаковые заряженные шарики. В некоторый момент один шарик был освобождён, а через достаточно большой промежуток времени освободили соседний. Оказалось, что вдали от системы их кинетические энергии отличаются на значение K. Найдите заряд каждого шарика q. [Задачи Московских олимпиад. – М.: Наука, 1988.]

К решению. Действующие на первый шарик силы постоянно изменяются как по значению, так и по направлению. Выручает теорема об изменении кинетической энергии и способ вычисления работы методом расчёта потенциальной энергии – сравним начальное и конечное состояния:

То же для второго шарика:

В этом ряду на одно слагаемое меньше, но оно равно и, по условию, равно K.

Таким образом,

Последняя задача показывает, насколько плодотворно понятие потенциальной энергии, – это ведь скалярная величина, описывать её проще, чем вектор силы. Вот если бы вернуться от первых интегралов назад, к уравнению движения, а энергии оставить!

Вот, собственно, и всё. Но об этом – следующая лекция.

5. Заключение

Что бы ни говорили о перегрузке учащихся, фактом остаётся то, что уровень подготовки абитуриентов (т.е. поступающих в вузы выпускников) стал недопустимо низким. Многим вузам приходится тратить как минимум полгода, чтобы довести студентов хотя бы до удовлетворительных знаний программы среднего образования6. На этом фоне полным бредом звучат высказывания некоторых чиновников, что вузы требуют от школьников чуть ли не знания искусства решения дифференциальных уравнений. Нет, уважаемые, проблемы начинаются с деления дробей и неуверенных сведений о синусе 60°. Дифуры тоже есть, но только там, где собираются школьники, которым удалось спастись от массовых школьных программ. При наличии таких полюсов – и здесь и там обычные 17-летние ребята, – очевидно, что причина не в перегрузке. Последнее Международное исследование образовательных достижений учащихся (PISA), проводимое раз в три года для подростков 15 лет, в очередной раз определило нашим школьникам дальние места в перечне более чем 40 стран (24-е место по естественным наукам и 29-е по математике). Особенно затруднительными для наших детей являются задания, предлагающие сравнение точек зрения на явления и события или изложение собственной версии смысла изученного. Причина этого – недостаточное внимание к развитию интеллекта учащихся, сведение обучения к запоминанию и натаскиванию на стереотипные вопросы.

Вот и споры тестовых комиссий с руководством физматшкол при повторяющемся из года в год аннулировании высоких результатов учащихся этих школ свидетельствуют о глубоком конфликте концепции общего развития с концепцией минимального обучения, которую предлагают современные программы и тестирующие учреждения.

Имеющий сведения о теории музыки и слушает её по-другому, и понимает глубже, чем тот, кто просто слушает, не зная, почему одно произведение называется сонатой, другое – концертом или рондо. Как мы хотим учить детей сегодня? Дать им образование, передавая наследие мудрецов, поддерживая и развивая уровень культуры народа? Или достаточно набора ремесленнических сведений: как вычислить число рулонов обоев, настроить громкость телевизора или подключить в сарае украденный электродвигатель?

Вопросы для самоконтроля

1. Почему законы изменения и сохранения импульса, энергии, момента импульса называют первыми интегралами уравнения движения?

2. Почему деление сил на внутренние и внешние не имеет смысла при использовании законов сохранения и превращения энергии?

3. Выпишите выражения для известных вам примеров потенциальной энергии.

4. Как вы понимаете модные ныне выражения типа «энергетика общения», «помещение, местность обладают высокой энергетикой»? Как бы вы прокомментировали основные советы фэн-шуй, не отвергая определённого рационального содержания этой китайской мудрости?

Литература

1. Стасенко А. Великое уравнение механики. – Квант, 2003, № 5.

2. Мякишев Г.Я. и др. Физика: Механика: 9 кл. – М.: Дрофа, 1996.

3. Хрестоматия по физике: Под ред. Б.И.Спасского. – М.: Просвещение, 1982.

4. Селезнёв Ю.А. Основы элементарной физики. – М.: Наука, 1974.

5. Овчинников А., Плис В. Теорема об изменении… – Квант, 1988, № 1.

___________________

¹Законы описания твёрдого тела, в том числе и теорема о центре масс, есть в стандартных учебниках [2].

²Один из вариантов перевода стиха Александра Попа.

³И тут вовсе не было идиллии – происходило то обычное, что всегда происходит в науке, как и в жизни: обвинения, использование служебного положения, борьба корпоративных интересов школ и пр.

⁴Трудно удержаться и не сказать, что главный труд «О проективных свойствах фигур», совершивший революцию в понимании геометрии, этот учёный начал в России, в Саратове, как пленник наполеоновской войны.

⁵Учителя младших классов до сих пор поставляют нам учеников с представлениями о пропорциях, затрудняющими переход к идеям уравнения – парадигме нынешнего времени. Впрочем, для простых линейных задач пропорции усваиваются, действительно, легче.

⁶Ни в коем случае это не относится к иногородним ребятам, поступившим в престижные столичные вузы. Сначала заинтересованность в этих детях никак не проявляет родной город (они же видят, как живут в нём родители!), а там и другая страна оказывается приветливее своей. И такие потери можно списать на объективные законы рынка?

Продолжение в № 21