Продолжение. См. № 17, 18/06

А.А.КНЯЗЕВ,
ЛПН, г. Саратов
knf@sgu.ru

Олимпиадный материал в повседневной работе преподавателя физики

Лекция 3. СИЛЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ

Толкование законов динамики Ньютона вызывает споры на самых авторитетных уровнях. Вот как эту ситуацию характеризует нобелевский лауреат, проф. Х.Юкава: «Среди учёных нет единого мнения о том, что, собственно, представляет собой физика. Наиболее ясно это обнаруживается на примере ньютоновской механики – исторически первой физической теории, в отношении которой взгляды всех, казалось бы, должны полностью совпадать. На самом деле общепризнаны только её математические формулы; их запись может несколько различаться, но в общем они одинаковы. А в отношении смысла механики разные физики имели и имеют различные взгляды» [1]. Осознание этого факта помогает учителю выработать спокойное отношение к учебникам, представляющим различные школы преподавания. Ваши ученики должны знать те же формулы и анализировать те же ситуации, что и другие. Вот только пусть ваши смогут делать это осмысленнее и плодотворнее.

Силы природы и их описание

Думаю, каждый учитель знаком с проблемой поиска непротиворечивой последовательности введения в программу занятий различных сил и их единиц [2]. Такой естественной схемы, пожалуй, нет. Сила – понятие, имеющее глубокие корни в бытовых представлениях, и одновременно характеристика физического взаимодействия. При становлении физического знания бытовые, интуитивные представления играли роль первичных понятий и подвергались уточнению, переплетаясь и не выстраиваясь в стройный ряд. На сегодня важнейшими являются силы бесконтактных фундаментальных взаимодействий между элементарными частицами. Однако начинать изучение целесообразнее с технических сил, вводимых для описания действия друг на друга макроскопических тел в задачах инженерного характера. Эти силы могут быть как бесконтактными, так и контактными, и являются первичными понятиями, знакомство с которыми начинается на уроках естествознания, и даже раньше, ещё в домашнем воспитании. Уже на первом занятии по динамике можно смело предложить нарисовать картинку сил, действующих на различные тела. Дети и нарисуют все силы, если вы укажете, как это сделать, и ошибутся, где вам нужно. А уже потом можно приступать к описанию этих сил в той или иной последовательности.

Ниже приводится фрагмент авторской лекции по динамике для учеников 8-го класса.

«…Каждый из вас по своему опыту знает, что одна и та же сила, приложенная в разных направлениях, может производить разное действие на тело. Практика показывает, что сила, как и скорость в кинематике, тоже векторная величина: силы не складываются алгебраически, если они действуют не по одной прямой. Зато каждую из сил можно разложить на составляющие (демонстрируется классический опыт с тремя динамометрами, расположенными под разными углами друг к другу). Векторный характер сил учитывают при изображении силы на физических рисунках при решении задач¹ . Если на одном рисунке необходимо изобразить и скорость тела, то её можно показать стрелкой, но рядом с этим телом. Если вам показалось, что на рисунке, изображающем полёт брошенного вверх камня, необходимо изобразить “силу бросания”, то ещё раз подумайте: разве вы взаимодействуете с телом, которое уже выпустили из рук? Нет взаимодействия – нет и силы. По этой же причине отсутствует и так называемая “скатывающая сила” на рисунке, изображающем тело на наклонной плоскости. К этому очень тяжело привыкнуть – так и хочется нарисовать силу в том направлении, в котором движется тело. Например, на Луну, движущуюся по окружности вокруг Земли, тоже действует только сила притяжения, ведь других взаимодействий нет».

С позиции конкретного описания и непрерывного наращивания сложности решения статических задач, может быть удобна такая последовательность «ввода в действие» сил:

1. Гравитационная сила между малыми частицами вещества, между планетами, имеющими сферическую форму, между планетой и частицей на или над поверх-ностью планеты – сначала без акцента на способ измерения этих сил, упомянув лишь об эталонной силе 1 Н. Здесь же можно ввести удобную (пока в скалярном варианте) форму записи силы притяжения для описания действия шаровой планеты на тела вблизи её поверхности: где g – величина, численно равная силе, действующей на каждый килограмм малого тела, и называемая напряжённостью гравитационной силы².

2. Сила упругости в форме Гука (ок. 1670 г.), возникающая в длинном стержне, мускуле или нити при контакте тел в ответ на внешнее воздействие: F = k(L – L₀) = k • L. Здесь же рассматривается сила натяжения в пружине и использование её для измерения силы притяжения. Обе эти силы удобно ввести на одном занятии, чтобы оказалось возможным обсуждать некоторые простейшие, базовые задачи, в которых эти силы противостоят друг другу, приводя тело к равновесию. Можно показать действие динамометра, вычислить и проверить действие последовательных и параллельных пружин.

3. Сила упругости в форме Юнга (1807 г.), вводится как развитие темы о силах, когда становится ясным неудобство задания коэффициента k:

Важно разъяснить природу силы натяжения нити или силы нормальной реакции, действующей на тело со стороны поверхности. Отметим, что в этих последних случаях мы указываем силу, но не интересуемся вычислением удлинения или сжатия, считая эти деформации пренебрежимо малыми в сравнении с другими важными размерами³. Для понимания природы силы нормальной реакции поверхности можно привести те же рассуждения, что и в известной задаче о натянутом тросе, и проиллюстрировать возникновение малых деформаций, например, массивной крышки стола, на опыте, используя «световой рычаг», известный ещё из старых изданий учебников Пёрышкина. Сейчас этот опыт можно упростить, прикрепив на периферии крышки большого стола включённую лазерную указку.

• Рассказывают, что для новичков, прибывших служить на атомную подводную лодку, устраивают демонстрацию действия глубины океана: в том месте, где свободны обе противоположные стенки, протягивают поперек бечёвку. После погружения на рабочую глубину бечёвка провисает примерно на 15 см. Это впечатляет. Приняв толщину стальной стенки h 10 см и радиус корпуса R 5 м, оцените по этим данным глубину погружения лодки.

К решению. Корпус лодки можно представить как участок толстостенной трубы внутренним радиусом R и толщиной стенок h. Рассмотрим участок корпуса длиной и угловым размером 2. При действии на этот участок силы давления радиус корпуса уменьшается, а это создаёт в сечении корпуса напряжение

Запишем соотношение связи для величин силы давления и силы упругости:

F = 2Tsin 2T,

а также оценку для глубины провисания:

После этого получаем а отсюда:

Подставив сюда l = 15 см, h 10 см и R 5 м, получаем H 200 м, что близко к известным из печати данным (100–300 м).

4. Сила сухого трения. Современные представления сложны для младших школьников. Эту силу можно вводить последней, перед законами динамики, после силы нормальной реакции. Не буду останавливаться на известных каждому учителю сведениях. Полное понимание природы силы трения значительно сложнее, поскольку кроме подпрыгивания и деформации неровностей, начинается прилипание или разрушение материала в тонком слое соприкасающихся тел. Продемонстрируйте эти явления, каждый раз вычисляя эквивалентный коэффициент трения, соответствующий закону Кулона–Амонтона, и убеждаясь, что его значение вполне может быть больше единицы.

• Валки прокатного стана имеют радиус R. Вращаясь, они втягивают заготовку, если её толщина достаточно мала. Найдите максимально возможную толщину заготовки, если коэффициент трения между валками и заготовкой равен , а зазор между валками D₀ (задача из [7]).

К решению. Во-первых, нужно правильно изобразить силы, действующие именно на заготовку. Заготовка продвинется, если горизонтальная проекция силы N, действующей вправо, будет меньше горизонтальной проекции силы F (F = N), действующей влево. Дальше дело техники записи компонент сил и выражения для тригонометрических функций:

Пока введённых сил достаточно. Как и в этой задаче, говоря о каждой из сил, непременно подчеркивайте, что они описывают взаимодействие между двумя телами. Показывайте, что взаимодействие описывается двумя симметричными силами: «силы возникают попарно»⁴ . Вот и усвоен один из законов динамики Ньютона. Придёт время, и вы снова вспомните о нём, как о самом спорном, но это будет уже в случае бесконтактного взаимодействия.

Законы динамики

«…С одной стороны, кажется, что тело должно двигаться в направлении, куда его тянет сила. С другой стороны, известны ситуации, когда это не так. Камень, брошенный под углом к горизонту, некоторое время летит вверх и вбок, затем начинает двигаться вниз и вбок, хотя наша рука уже не действует на него, а Земля притягивает его только вниз. Некоторые силы могут противодействовать движению (сопротивление воздуха), но тело продолжает двигаться вперёд. Выходит, что, зная силу, мы ещё не можем определить скорость тела! Кроме того, некоторые силы вообще не сдвигают тело с места, а значит, сила не всегда изменяет даже положение тела – нужен учёт действия и остальных сил, действующих на него, и предыстории движения».

Этот фрагмент авторской лекции подготавливает введение законов динамики, поясняя их неочевидность и актуальность. Теперь можно вводить и сами законы. Их основной смысл оказался очень простым: тело может двигаться или покоиться без действия на него сил, а на изменение состояния посредством действия силы необходимо некоторое время. Иными словами, в каждый момент сила приводит к возникновению ускорения, добавляющего долю к имеющейся уже скорости по законам векторного сложения.

Главное для школьников, только начинающих изучение физики, – как использовать эти законы. Мы не случайно начали с математических вопросов: уметь считать, записывать и решать системы уравнений, анализировать графики. Ньютон был профессором математики, поэтому формулировка законов динамики служила ему прежде всего в целях описания движения. В современном изложении и первый, и второй законы Ньютона формулируют по-разному и записывают не так, как это было первоначально у Ньютона, но главное в том, что из них следует уравнение движения, которое можно решать для каждого конкретного случая – простого или сложного. Начнём с него и будем продолжать эту линию через всю динамику, каждый раз открывая новые горизонты этого метода.

Уравнение движения для каждой материальной точки имеет вид: Для получения результата нужно решить это уравнение и использовать начальные условия. Их два: значения начальной скорости точки и начальных координат.

Удобно сразу вырабатывать единый подход к решению любой задачи динамики. Этот подход не подводит в задачах любой сложности. Как можно реже употребляйте такие логические ходы, как «с одной стороны, ускорение можно записать так… с другой стороны…» Так формируется мнение о том, что для решения даже простой задачи нужны какие-то догадки, а физика превращается в сплошное искусство. Существуют, конечно, ситуации поиска; они чаще касаются процедуры формулирования задачи, но в самой логике механики Ньютона есть гениально простой алгоритм: «Запишем уравнение движения… с начальными условиями…» Итак:

1. Если задача сформулирована, запишем условие словами, а не условными обозначениями, останавливаясь мысленно на каждом нюансе формулировки.

2. Изобразим выразительный (без излишеств) рисунок, на котором введены обозначения как известных величин, так и незаданных, но необходимых для свободного обсуждения ситуации. Здесь же можно ввести систему координат (если направления не общепринятые) и указать начальные условия для каждого из интересующих вас тел.

3. Укажем отдельно силы, действующие на каждое из выделенных тел. Здесь могут понадобиться рисунки.

4. Запишем для каждого из выделенных тел уравнение движения. В векторной форме оно всегда имеет относительно простой вид: справа стоит просто перечисление всех сил (со знаком «плюс»), действующих на это тело.

5. Запишем возможные дополнительные соотношения: геометрические характеристики, оговорённые в условии задачи связи и т.п.

• Груз 1 лежит на грузе 2 и дополнительно прикреплён к стене канатом. Определите силу натяжения каната, возникающую при вытягивании груза 2 силой F, и ускорение нижнего груза. Массы обоих грузов одинаковы, коэффициенты трения известны.

К решению. Выделим груз 1 и запишем уравнение движения: ma₁ = mg + F_тр1 + N₁₂ + T. Покажем силы на рисунке, указывая около каждой из стрелок, изображающих силы, модуль данной силы. Учтём, что F_тр1 = ₁N₁₂.

Тогда в проекциях:

на горизонтальную ось: ma₁ = ₁N₁₂ – T, на вертикальную ось: 0 = N₁₂ – mg.

Здесь дополнительно отмечено, что поперечное ускорение отсутствует. Отметив, что a₁ = 0, сразу получаем T = ₁mg.

Аналогично запишем уравнение движения второго тела (сразу в проекциях на оси):

ma₂ = F – ₁N₂₁ – ₂N; 0 = N – N₂₁ – mg.

Учтём, что N₂₁ = N₁₂. Отсюда N = 2mg и

• Определите длину пружины массой M, состоящей из 20 витков, которую с постоянной скоростью тянут за один конец по плоскости. Коэффициент трения , длина пружины в нерастянутом состоянии равна L₀, а жёсткость пружины k. (Городская олимпиада 1991 г., г. Саратов.)

К решению. Проведём детальный анализ ситуации. Один виток растягивает другой. Вот они, интересующие нас тела. Определим удлинение первого витка, затем второго и т.д. Для этого запишем уравнение движения первого витка (нумерация «с хвоста») при равномерном движении, без ускорения:

0 = F₁ – m₁g

с дополнительными условиями:

m₁ = M/N; F₁= k₁L₁; k₁= Nk.

Последнее условие описывает жёсткость одного витка через общую жёсткость N последовательно соединённых витков. Отсюда можно определить удлинение первого витка:

Перейдём ко второму витку и получим

Теперь уже можно заметить, что Но тогда Осталось подсчитать сумму арифметической прогрессии:

• На рисунке изображён вид сверху на систему грузов, лежащих на гладкой плоскости и посредством лёгкого блока соединённых между собой нитью. Груз 2 приводится в движение горизонтальной силой F. Какими будут ускорения всех грузов?

К решению. Это одна из важнейших для механики тем – движение со связями. Решение начинается в соответствии со схемой «рисунок – силы – уравнения движения – дополнительные соотношения»:

m₁a_1x = 2T; m₂a_2x = F – T; m₃a_3x = –T.

Теперь необходимо установить соотношения между ускорениями, разными для всех тел. Единственным дополнительным условием здесь является постоянство длины нити. На рисунке показано, как можно этим воспользоваться, рассмотрев два последовательных положения в близкие моменты времени:

Для старшеклассников этого достаточно – нужно вычислить вторую производную. В младшем классе нужно разделить полученное соотношение на t и сначала получить (полезное, впрочем) соотношение для скоростей: 2_1x = _2x + _3x. Затем сделать ещё один сдвиг на t, и только тогда придём к 2а_1x = а_2x + а_3x.

Ответ. 

После предварительных задач на усвоение законов динамики можно приступать к деталям и рассмотрению характерных вариантов движения (криволинейное движение, невесомость, движение планет, движение твёрдого тела, колебательное движение). Этот материал невозможно уместить в одну лекцию, однако он достаточно разработан. Остановлюсь на мало распространённых, но концептуально важных моментах.

Ещё об уравнении движения

Для решения большей части задач в курсах элементарной физики значение уравнения движения невелико, поскольку задачи касаются явлений, в которых действующие на материальную точку силы являются постоянными (по крайней мере по модулю), т.е. не зависящими от времени, координат и скоростей на протяжении рассматриваемых участков движения. В этом случае по записи уравнения движения, как правило, определяют значение ускорения, а далее используют кинематические соотношения для координат и скоростей при равнопеременном движении

которые и описывают закон движения при заданных начальных R₀ и ₀.

Однако не это было главным в замыслах Ньютона. В общем случае анализ динамической ситуации, когда сила может являться функцией времени, координаты, скорости, уравнение движения, по сути, полностью решает задачу описания движения материальной точки и является концептуальной базой классической механики. В самом деле, мгновенное значение ускорения точки определяется как , справедливое для бесконечно малого промежутка времени при любом, в том числе и неравнопеременном, движении. Это означает, что запись уравнения движения в форме двух уравнений:

позволяет по известному для момента t₁ значению скорости ₁ = (t₁, R₁) определить значение
₂ =  (t₂, R₂) в конце интервала времени с желаемой точностью. Последовательно применяя этот алгоритм к ряду промежутков времени, начиная с момента t₀, определяющего начальные условия, можно получить соответствующие массивы значений и восстановить функции (t) и R(t) как в будущее, так и в прошлое рассматриваемого процесса. По данным массива значений R(t) можно получить также и уравнение траектории.

Наличие компьютеров позволяет сейчас говорить об истинных законах Ньютона во многих, не только специализированных, школах. Если Ньютон, не используя компьютер, сумел получить формы траекторий небесных тел в центральном поле сил – те, которые Иоганн Кеплер определил по экспериментальным данным на 60 лет раньше, – то теперь это вполне может сделать и школьник – буквально по изложенной выше схеме. Так, для плоского движения нужно решить систему из четырёх алгебраических уравнений:

– пары составляющих уравнения движения:

– пары кинематических уравнений:

Начинать нужно с начальных значений, подставив их в правую часть.

Если это может показаться экзотикой, то вот другой пример.

• На невесомом резиновом шнуре длиной L = 1 м закреплено тело массой m = 0,5 кг. Тело отвели в горизонтальное положение, не деформируя шнур. На сколько растянется шнур, когда тело будет проходить нижнюю точку траектории? Жёсткость шнура k = 50 Н/м. (Турчина Н.В. и др. 3800 задач по физике. – М.: Дрофа, 2000.)

Приведённое в книге решение задачи предполагает, что в нижней точке скорость тела имеет только горизонтальную проекцию. Это, очевидно, не так – ни для резинового шнура, ни для пружины, – что и показывает результат счёта с прямым решением уравнения по шагам (метод Эйлера). (Тем не менее, это так. И на авторских иллюстрациях это видно. Другое дело, что на тех же иллюстрациях видно, что нижняя точка траектории не лежит на вертикали, проходящей через точку подвеса. – Ред.)

Криволинейное движение

В динамике этот вопрос возникает очень органично и также естественно должен разрешаться. В самом деле, нам уже известен способ решения задач динамики, т.е. определения всех характеристик движущегося тела, – это решение уравнения движения. Так, например, нетрудно получить выражение для параболической траектории полёта тела, брошенного под углом к горизонту.

Но существует класс задач, где форма настоящей или будущей траектории уже известна: например, автомобилю или самолёту нужно пройти вираж. В этом случае удобно ввести координату тела вдоль дуги кривой. Следовательно, скорость тела можно считать функцией этой координаты. Возникает вопрос об описании механизма действия сил, удерживающих тело на заданной кривой. Например, при повороте одиночного колеса таким механизмом может выступать наклон колеса, ведущий к возникновению силы трения, действующей поперёк траектории. При полёте камня, брошенного под углом к горизонту, поворот вектора скорости осуществляется компонентой силы тяжести, поперечной к траектории. Рассмотрим общий случай: направление действия результирующей силы не совпадает с направлением начальной скорости. Теперь наряду с усвоенным приёмом записи уравнения движения можно иначе разложить его на две проекции – вдоль вектора скорости и поперёк, – т.е. по тангенциальному (касательному) и нормальному (перпендикулярному) направлениям:

Соответственно возникают названия: тангенциальное и нормальное ускорения. В учебниках показывается, что нормальное ускорение может быть выражено через скорость и мгновенный радиус поворота: Если не запутывать ситуацию введением таких действительно бессмысленных названий, как центростремительное ускорение и такая же сила (а сказать-то об этой глупости необходимо), то тема воспринимается, как и все другие. Добавим, что часто рассматриваются движения с неизменной по модулю скоростью (например, вращение). В этом случае тангенциальная компонента уравнения движения становится тривиальной и не записывается.

Заключение

«Мир движется вперёд, а молодёжи каждый раз приходится начинать сначала...» Логично. Однако нужно ли учителю держаться этой тупиковой сентенции? Может быть, маленькими шагами начать изменение старого (не спорю, привычного) курса в сторону современных, более общих представлений? Сразу скажу, что ученики по-прежнему могут отвечать на вопросы, которые могут придумать приверженцы классического курса, и решать те же задачи. Вместе с тем в сознании учащихся формируется представление, которого не было у прошлых школьников, да и, пожалуй, у студентов. И когда теперь попадается задача «с ноликом» или «со звёздочкой», то, решив её, они часто недоумевают: где же в ней нужно было проявить смекалку? Это состояние кажется таким ученикам просто обычным их существованием. Они не знают, что их уровень – это результат нашей работы.

Вопросы для самоконтроля

1. Можно ли складывать силы, приложенные к телу в разных точках? Можно ли говорить о том, что сила, приложенная в центре тяжести тела, есть равнодействующая сил тяжести отдельных фрагментов этого тела? Как же следует сказать правильно?

2. Как записать векторное выражение для силы гравитации, силы трения скольжения и силы сопротивления воздуха, пропорциональной квадрату скорости?

3. Почему коромысло равноплечих аптекарских весов устанавливается параллельно горизонту, а не находится в безразличном равновесии?

4. Почему в справочниках физических величин практически не указывается модуль Юнга для резины разных сортов? В чём проблемы его измерения?

Литература

1. Юкава Х. Лекции по физике. – М.: Энергоиздат, 1981.

2. Стоцкий Л.Р. Физические величины и их единицы. – М.: Просвещение, 1984.

3. Заде Лотфи А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений: В сб. «Математика сегодня». – М.: Знание, 1974.

4. Кофман А. Введение в теорию нечётких множеств. – М.: Радио и связь, 1982.

5. Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Зильберман А.Р. Физика: Задачник. – М.: Дрофа, 1999.

6. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. т. I. – М.: Высшая школа, 1966.

7. Задачи по физике: Уч. пособие. Под ред. О.Я.Савченко. – М.: Наука, Гл. ред. ФМЛ, 1998 (и др. года издания).

КОНТРОЛЬНАЯ № 1. 5 СОРОСОВСКИХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «МЕХАНИКА»

Первую контрольную работу проведём по материалу Соросовских олимпиад (1994–2001 гг.), по темам «Кинематика» и «Динамика». Сборники первой олимпиады (с решениями) приходили, по-видимому, в каждую школу, участвовавшую во всероссийских олимпиадах. Остальные сборники (изд-во МЦНМО) – по крайней мере в каждую школу, откуда посылались работы. Тот же текст печатался ежегодно (по 2001 г.) в «Соросовском образовательном журнале», а также частично в газетах «Физика (ПС)» и «Учительской», в журнале «Физика в школе», а также в «Задачнике» журнала «Квант» (правда, в них не было указано, что это задачи Соросовской олимпиады, – там каждая задача уникальна, интересна и тоже полезна).

• Задача 1. [Cоросовская олимпиада-III, 1996/97 гг., тур I, класс 10-й, задача 1. Решение см. в «Физике» № 47/96, с. 2.] (5 баллов.)

Вдоль прямой движется тело, его скорость возрастает по мере удаления от начала координат – она пропорциональна квадрату этого расстояния. В точке с координатой x = 5 м скорость = 2 м/с. Найдите ускорение тела в этой точке. Как изменится это ускорение при увеличении координаты в 3 раза?

• Задача 2. [А.Р.Зильберман, Cоросовская олимпиада-I, 1994/95 гг., тур I, класс 10-й, задача 3.]
  (5 баллов.)

Заяц бежит по прямой с постоянной скоростью 10 м/с. Скорость лисы составляет 20 м/с, лиса в каждый момент времени бежит точно в ту точку, где находится заяц (это не самый разумный для лисы вариант, но она ничего в кинематике не понимает). В начальный момент расстояние между лисой и зайцем составляет 300 м, направление движения зайца перпендикулярно отрезку, который в этот момент соединяет его с лисой. Через какое время лиса догонит зайца? Через какое время она смогла бы догнать зайца, если бы бежала наилучшим образом?

Примечание. Добавим ещё один вопрос, более полно раскрывающий суть такого движения: чему равно ускорение лисы в начальный момент? (решение см., например, в «Кванте», 1975,   № 6, с. 30, или в «Решениях Соросовской олимпиады-VI», 1999/2000 гг., тур I, класс 10-й, задача 2). Следует заметить, что погоня в природе осуществляется именно этим способом из-за его оптимальности (кто знает, что вытворит заяц, если выпустить его из виду и бежать в заранее рассчитанную точку?). Той же стратегии придерживаются и современные самонаводящиеся ракеты-перехватчики, самонастраивающиеся кинокамеры и т.п. Её разработка привела математику конца XX в. к революции – к возникновению нечёткой логики (см., например, [3, 4]).

• Задача 3. [Cоросовская олимпиада-IV, 1997/98 гг., тур III, класс 9-й, задача 1.] (5 баллов.)

Из четырёх одинаковых тонких стержней длиной L каждый сделали ромб, скрепив их концы шарнирно. Шарнир А закреплён, противоположный шарнир B двигают вдоль диагонали ромба с постоянным ускорением а. Вначале упомянутые противоположные вершины находятся близко друг к другу, а скорость точки B в этот момент равна нулю. Какое ускорение будет иметь шарнир С в тот момент, когда стержни образуют квадрат? Считайте движение всех точек плоским.

Примечание. Важный материал – движение со связями – общеобразовательная школа «обходит стороной», поэтому школьники, владеющие «секретным оружием» – теоремой о скоростях жёсткой фигуры – имеют серьёзное преимущество на олимпиадах. Впрочем, есть хорошие пособия, в которых такие задачи подробно разбираются, например [5, 6].

• Задача 4. [Cоросовская олимпиада-VII, 2000 г., тур I, класс 10-й, задача 3.] (5 баллов.)

На гладкий горизонтальный стержень насажены грузы массами 1 и 2 кг. Между ними находится лёгкий груз массой 0,01 кг, который движется со скоростью 1 м/с в сторону тяжёлого груза. Считая все удары абсолютно упругими, найдите скорость лёгкого груза через большой интервал времени. Трения нет.

Примечание. VII олимпиада не была завершена, поэтому трудно сказать точно, были ли опубликованы варианты решения этих задач. Однако тема, например, этой задачи встречается и в других сборниках (см., например, [7], задачи 2.5.5 и 2.5.9).

• Задача 5. [Cоросовская олимпиада-VII, 2000 г., тур I, класс 10-й, задача 4.] (5 баллов.)

Длинная, тонкая и гибкая верёвка движется вдоль горизонтальной прямой с постоянной скоростью u. В некоторый момент передний конец верёвки «заворачивают» и начинают тащить параллельно указанной прямой в противоположную сторону со скоростью . С какой силой приходится тащить? Длина верёвки L, масса М. Трения между верёвкой и плоскостью нет.

____________________

¹ Позже можно рассказать о возможности смещения силы вдоль линии действия. А вот разговоры об эквивалентной силе для нескольких параллельных и о центре тяжести я стараюсь не возбуждать, несмотря на знание детьми правила рычага, а значит, фактически, и момента силы. Нужно освоиться с равнодействующими.

² Взрослые часто преувеличивают сложность введения понятий, примеряя на свое далёкое детство. Дети воспринимают термины гравитация и напряжённость совершенно спокойно, ведь и всё предшествующее они слышат в первый раз. Вы можете даже сообщить им, что величины M и m, например, в геофизике, называются гравитационными зарядами [3]. Это будет полезно для классификации взаимодействий в дальнейшем.

³ Кроме статически неопределимых задач, уместных на факультативе.

⁴ Именно «попарно», а не «парами». Следите за чётким подбором слов для выражения своей мысли. Слова «пара сил» ещё будут нужны при описании вращательного движения. Об этом нужно предупреждать и учеников, чтобы следили зорче. Не зря Галилео Галилей – член Академии Рысьеглазых (Итальянская академия наук)!

Продолжение в № 20