А.А.КНЯЗЕВ,
ЛПН, г. Саратов knf@sgu.ru

Олимпиадный материал в повседневной работе преподавателя физики

Александр Александрович Князев – выпускник физического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского (1970 г.), доцент кафедры нелинейной физики факультета нелинейных процессов СГУ и одновременно преподаватель физики в Лицее прикладных наук (МОУ ЛПН, 140 учащихся), к.ф.-м.н. Концепция преподавания в ЛПН и обзор учебной программы достаточно полно представлены в двух статьях в нашей газете («Физика» № 37/2001). Всего по педагогической тематике имеет более 30 публикаций, из них почти половина – в «Физике». Выпустил более 300 учащихся, среди которых есть победители олимпиад и конкурсов различных уровней (от городского до международного). Все его выпускники, без исключений, поступили в вузы, около 100 – уже окончили, не менее 20 учатся сейчас в аспирантуре, 15 защитили кандидатские диссертации (каждый четвёртый).

Лекция 1. Оценки в физических задачах

Введение

Многие учителя, посещающие наши открытые семинары в Лицее прикладных наук г. Саратова (впрочем, не частые) с демонстрациями уроков, экспериментов на стенде и решением задач, встречают нашу методику, как правило, с неприятием. Пугает огромный объём, возмущает нетрадиционность подачи материала – непривычная последовательность и интерпретация, – иная форма записи и оформления решений. Всё кажется чужим, отрицающим привычную технологию. Нам говорят: «Вот если бы вам наших детей и наши часы… Вот, если бы нам ваших детей…» Ну что скажешь? Трудно, когда нет поддержки государства, когда мало часов, когда дети не имеют мотивации к обучению, когда они и сами (не без помощи родителей, а подчас и учителей!) поверили в то, что они – второстепенные.

Финансовой поддержки у нас также нет. Часов – столько же, сколько во многих других (конечно, лицейских) классах. Работать с продвинутыми детьми довольно сложно, да и не все у нас такие, есть и совершенно обычные, их тоже нужно расположить к себе, втянуть в работу. Нетрадиционность? Подобные методики описаны в хороших книгах и журналах. Правда, в методической литературе свои законы: «Дано – расчётная формула – вычисления – проверка размерности». Да и применять их можно, конечно, по-разному... «Нет такой бессмыслицы, которой не учил бы какой-нибудь философ» (приписывают Цицерону). У нас эти, пусть не традиционные, методики дают стабильные результаты, известные за пределами области. И мы тоже побаиваемся тестов (в них до сих пор попадаются глупости), но стабильно проходим их с довольно хорошими результатами. Богатый материал? Так это же не на одну неделю, а на несколько лет или для нескольких поколений. Присмотритесь, что-нибудь понравится, не обязательно всё, ведь у каждого в запасе есть что-то своё.

1. Умение считать

Без преувеличения: одна из важнейших проблем современных школьников и студентов (не будем говорить о знаниях и навыках взрослых) – неумение считать, как только речь заходит о комбинациях больших и маленьких величин, дробях, процентах, о комбинациях размерных величин. Это, как барьер, – преодолейте его, пропустите сами ваши собственные знания через призму конкретных расчётов, и ученики полюбят ваш предмет. Вот простая задачка (часть приводимых ниже задач – хорошо известные, часть – лично мои. Найти сейчас все ссылки практически невозможно, но там, где это возможно, ссылки приводятся. Буду рад, если читатели кого-нибудь укажут.):

• Оцените собственный объём молекул воздуха в комнате объёмом 50 м³, если средний размер молекулы принять равным 2,5 .

Ответ. Вычислив число молекул и умножив на объём одной молекулы, получаем около 20 л.

Такой расчёт полезно провести: в институте – перед разговором об уравнении Ван дер Ваальса, в школе – при изучении темы «Реальные газы». По опыту знаю, это займёт минут 15 вначале, да и потом ещё придётся помогать самому. А результат интересен даже для преподавателя: вычислив число молекул и умножив на объём одной молекулы, получаем около 20 л.

В школе, с малых ещё лет, детей учат разделять теорию и «практику». Выучил формулу – получай пятёрку «за теорию». А дальше начинается полная дребедень: для перевода «км/ч» в «м/c» предлагается запомнить переводной множитель (умножить на 10 и разделить на 36), не заботясь о том, что может стать необходимым перевод дюймов в сутки в миллиметры в год и т.п. Однако школьники приходят в ступор, если путь и время не заданы. Вспомните задачу о вычислении средней скорости движения, если две половины пути пройдены с разной скоростью, – здесь ученик мгновенно предаёт свои знания и рассчитывает среднее арифметическое. Не говоря уже о других формулах расчёта (объёма, площади, давления).

Вот и образовалась проблема на совершенно ровном месте. Она преследует ученика все классы школы, все курсы института, да всю жизнь! Именно в таких прецедентах слышишь чаще всего: «Ой, мне всегда не нравились математика и физика» (?!). Первые навыки таких расчётов можно получить, читая Я.И.Перельмана [1]. Но не моден нынче Перельман, а решать бесцветные упражнения типа «Перевести такую-то величину в такую-то» крайне скучно и нерационально. Нужно, чтобы было интересно, может быть, полезно, или чтобы удивляло, будило воображение и манило дальше. Лозунг «обучение в игре» чаще просто вреден, потому что всегда побеждает ИГРА, а обучающий элемент чаще даже не откладывается в памяти ученика, возбуждённого «действом» (посмотрите внимательно на демонстрационные уроки «Учитель года», викторины, «суды» или другие буффонады, – они для взрослых, как королевские шахматы). А вот здесь можно совместить интересное и получение навыков конкретного расчёта, – это уже не игра (ведь класс должен затихнуть и сосредоточиться на некоторое время), но и не однообразные примеры, и не голое теоретизирование на куче скучных формул. Такие упражнения часто предлагаются на олимпиадах и конкурсах как «утешительные» задачи для любых классов. Придумать их вовсе не так просто, ведь каждая может породить интересный разговор, буквально на любую тему – физика, лирика, биология и т.п. Но в основе каждой из тем будут конкретные числа, действия, расчёты, а не пустые рассуждения.

• Вы, наверное, замечали, как близко к земле расположены окна старинных домов – оседающая пыль покрывает город за год слоем средней толщиной до 4 мм. Представьте себя на месте мэра. Сколько грузовиков КамАЗ грузоподъёмностью 9 т понадобилось бы, чтобы вывезти из города хотя бы эту грязь? Среднюю ширину приволжского города примите равной 5 км, а длину – 30 км. Плотность пыли около 1,6 г/см³.

Для справки: метеоритная пыль, попадающая на Землю, – до 3 тыс. т/сут; выбросы большого города в атмосферу – около 30 тыс. т/год. Оцените, на какой глубине располагаются древняя Троя, Великий Новгород, древние пласты вашего города.

К решению. Получим около 100 тыс. рейсов – 400 рейсов каждый рабочий день без уборки уже накопившегося мусора и выпавшего снега! Троя (XVIII–XII вв. до н.э.) находится на глубине около 12 м! Шлиман поначалу проскочил эти пласты и обнаружил предшествующую культуру.

• Дождик над городом может дать до 1 мм осадков. Оцените массу висящего над вами лёгкого облачка. Почему облака рождаются вверху, а не внизу? Правда ли, что молекулы воды легче воздуха? С какой скоростью падают капли, если облако висит на высоте 1 км? Как определить эту скорость в наблюдениях? Сколько тепла выделяется при выпадении дождя из облака?

К решению. Масса облака около 150 тыс. т. Можно использовать предыдущие результаты, если учесть, что высота слоя воды в 4 раза, а плотность – в 1,6 раза меньше тех же величин для слоя пыли.

• Класс имеет размеры 6 7 м. Оцените, сколько банок краски понадобится для покраски пола в классе, если в двухлитровой банке содержится 3 кг краски, а расход краски составляет 200 г/м². Оцените толщину слоя краски.

К решению. Задача аналогична предыдущим. Толщина свежего слоя краски меньше 0,15 мм. А когда краска высохнет, толщина слоя станет ещё меньше.

• Сила сопротивления воздуха возникает из-за того, что тело при движении «сметает» со своего пути воздух. Сколько примерно килограммов воздуха «сметает» автомобиль за 1 мин, если он движется со скоростью 60 км/ч? Площадь поперечного сечения автомобиля примите равной 2 м². Плотность воздуха 1,3 кг/м³. Может ли человек совершить подобную работу за то же время?

К решению. Более 3 т воздуха каждую минуту.

• Ночь. Поезд идёт со скоростью 72 км/ч. Может ли человек заметить движение поезда за время вспышки молнии, длительность которой примерно 0,0002 с, если он находится на таком расстоянии, на котором может заметить смещение не менее, чем на 1 см?

К решению. За время вспышки поезд успевает передвинуться всего на 4 мм и далёкому наблюдателю кажется неподвижным.

• Известно, что средний диаметр Земли составляет примерно 13 тыс. км. Ясно, что глобус, выполненный в масштабе 1 : 10, не поместится в классе. Какой масштаб выбрали бы вы? Можно ли такой глобус выполнить рельефным: показать людей, долины, горы, глубины морей, реки, города?

К решению. В комнате удобен, например, глобус диаметром около 1 м (большая часть основных мер длины – аршин, ярд и т.п. – близки именно к этой величине). При этом масштаб исполнения равен
1 : 13 000 000. В этом масштабе самая высокая гора имеет высоту меньше 1 мм; что тут говорить о других деталях?

• Известно, что в 1 см3 воздуха, которым мы дышим, находится около 2,7 • 10¹⁹ (число Лошмидта) молекул азота и кислорода вперемешку. Вычислите приближённо, на каком расстоянии друг от друга находятся молекулы воздуха. Во сколько раз это расстояние больше или меньше размера молекул воздуха? Используйте справочные данные.

К решению. На одну молекулу приходится объём d³ = 1/n. Отсюда получаем, что расстояние между молекулами в воздухе, которым мы дышим, составляет d ~ 3 • 10^–7 см, т.е. примерно 10 размеров атомов. Такой же расчёт, но для твёрдого тела, даёт практически плотное расположение атомов, называемое упаковкой (кубическая, гранецентрированная, хаотическая и т.п. Подробности см. в учебниках по кристаллографии).

• На сколько смещается каждый атом стального буксировочного каната длиной 10 м и сечением 1 см² при его удлинении на 1 мм? Какую долю простейшей кристаллической решётки (период около 2 ) составляет это смещение? Оцените силу упругости и силу взаимодействия атомов. (Модуль Юнга около 10¹¹ Н/м².)

К решению. Относительное удлинение каната составляет 1 мм/10 м = 1/10 000. При удлинении каната каждый атом смещается на свою долю, т.е. на 1/10 000 долю своего размера. Это составляет около 10^–14 м. Аналогично, если вычислить силу упругости как Н и распределить её на все атомы, создавшие эту силу в поперечном сечении каната, то получим величину силы взаимодействия атомов, возникающей при упомянутом сдвиге от положения равновесия. Получится

~ 10–13 Н.

• Концертный зал имеет удельный объём около 4...10 м³/чел. Во сколько раз различаются массы воздуха и зрителей в таком зале? Какова масса воздуха в зале, вмещающем 2200 человек (Большой театр в Москве)?

К решению. На каждого зрителя приходится по приведённым нормам от 5 кг до 12 кг «лёгкого, невесомого» воздуха. Так, масса воздуха в зале Большого театра около 18 т, масса зрителей – до 150 т.

• Опираясь на свой жизненный опыт, определите, с какой примерно скоростью растут ваши волосы на голове. Выразите ответ в мм/сут.

К решению. Волосы на голове растут со скоростью около 1 см/мес., т.е. 3 нм/с. А борода у мужчин – раз в 5 быстрее.

• Сколько килограммов соли нужно растворить в ванне, чтобы в ней можно было бы лежать так же, как в Мёртвом море (территория Израиля)?

Ответ. Человек погружается в речную воду почти целиком (хотя в этом практически невозможно убедить человека, не умеющего плавать). То есть плотность человека (с закрытым ртом) _ч примерно равна плотности воды _в. В Мёртвом море, по рассказам очевидцев, лежащий на воде человек погружен в неё примерно на четверть. Исходя из этого нетрудно записать условие равновесия в форме и получить отсюда, что объём соли для достижения необходимой плотности должен составить половину объёма ванны! Такое соотношение примерно выполняется в наших солёных озерах Эльтон и Баскунчак. Наверное, и в Израиле так же.

«Секреты» умения считать

– Не используйте при вычислениях записей, пригодных «только для домохозяек» (по Л.Д.Ландау) и для «представительства»;

– не используйте «косые» дроби: «Скорость роста бамбука 4 см/сут.». При вычислениях нужно писать только «прямые» дроби;

– не используйте для записи числа десятичные дроби – только значащие цифры и десятичный порядок числа (это так называемая рационализованная запись, но несколько модифицированная: в значащих цифрах лучше использовать числа не от 0 до 1, а от 1 до 10);

– не проводите преобразования единиц в стороне, на клочках бумаги, на черновиках;

– обращайтесь с размерными приставками так же, как с числами, – пишите их в тех же строках. Впрочем, возможны варианты: иногда удобно, например, вместо 0,23 записать .

Пример:

Косые дроби оставляем только для образного представления результата:

1/100 толщины волоса/c.

Поначалу всё очень тяжело, кажется громоздким, рука тянется к калькулятору… На освоение такой техники нужно терпение тибетских монахов и столько же времени, сколько для освоения у-шу, постановки певческого голоса или пальцев при игре на инструменте. Изо дня в день, в каждом классе. К 10-му классу ваши школьники будут делать только так, а со столов практически исчезнут калькуляторы! И это – тема следующего разговора.

Во всём ли нужен точный расчёт? Оценки по порядку величины

Мы уже не сетуем, что потеряли навыки прародителей: не знаем, как запрягать лошадь, как сварить мыло... Другая скорость жизни, другая обстановка. Вот и калькулятор вытеснил устный счёт, извлечение корня столбиком, логарифмическую линейку. Не беда – зато счёт стал много быстрее, исчезла нужда в таблицах Брадиса (преклоняюсь перед трудом и жизнью этого замечательного человека), а задачи стали сложнее и интереснее. А такие ученики, которые дроби не умеют складывать, были во все времена. Одновременно открылись проблемы, которые раньше, хотя и обсуждались, не стояли так остро. Поясним примером.

• Какую скорость приобретёт мяч, который выронили из окна второго этажа с высоты 4 м?

Считаем без подвоха:   Именно так чаще всего записывают прилежные школьники. Впрочем, знаков может быть и больше (у кого «круче» калькулятор).

Не буду тратить cлова на подробности. Теперь вопрос о целесообразной точности приходится обсуждать конкретнее, чем лет 20 назад. Важен и непростой в аудитории упрямых подростков разговор о том, что так называемые «точные» расчёты в точных науках просто-напросто бессмысленны, поскольку любой расчёт проводится лишь для модели явления. Другое дело – оценить точность модели: до каких углов синус и тангенс угла можно заменять значением угла, а колебания маятника считать малыми? в каких случаях значение величины g важно принимать равным 9,8 Н/кг вместо 10, а в каких важна даже ещё большая точность?

Одновременно изменились и задачи: всё чаще внимание школьников обращается сейчас на задачи с неполным набором данных, в которых отдельные величины нужно взять, исходя из жизненного опыта.

• Из ботаники известно, что лесные насаждения очищают воздух от вредных газов. Чем больше площадь листьев, тем больше воздуха очищает одно дерево. Экологов интересует, какую примерно общую площадь имеют листья одного крупного дерева?

Вариант решения. Ответ не может быть очень точным, вполне можно ошибиться на площадь нескольких сотен или даже тысяч листьев. Это не будет серьёзной ошибкой, ведь все деревья разные, поэтому мы можем сами выбрать удобную для оценки, простую, но правдоподобную, модель дерева. Если принять, что крупный тополь имеет высоту 4–5-этажного дома, а высота одного этажа около 3 м, то высота дерева будет примерно H = 12...16 м. Форма кроны тополя похожа на островерхую башню, но внизу листья крупнее, а вверху – мельче. Удобнее принять характерную форму тополя похожей на коробку средней высотой H = 14 м, в основании которой лежит, например, квадрат стороной L = 4 м. Это правдоподобно, хотя ещё правдоподобнее цилиндр диаметром около 4 м. Теперь можно рассчитать объём тополя V = L • L • H. Далее можно нарисовать в тетради очертание листа и по клеточкам измерить его площадь. Обозначим площадь одного листа S₁. Она равна примерно 15–17 см². Теперь, если обозначить неизвестное ещё число листьев N, то общая площадь S_общ может быть вычислена так: S_общ = S₁ • N.

Как оценить число листьев N? Можно просто посмотреть на тополь и согласиться с тем, что вокруг каждого листа есть свободное пространство размером, примерно равным полулитровой банке. Тогда объём, приходящийся на один лист, V₁ 0,5 л = 0,0005 м³. После таких оценок нужных нам величин мы можем утверждать, что число листьев тополя равно N = V/V₁. Теперь соберём все найденные нами формулы в одну:

Учтём, наконец, что каждый лист имеет две активные с точки зрения очистки воздуха стороны, и получим, что площадь «зелёных лёгких» каждого тополя около 1400 м². Точное значение результата для данной задачи не имеет особой важности. Однако мы представляем теперь, что площадь листьев тополя, а вместе с тем и любого дерева, похожего на тополь, имеет характерное значение около 1000 м². Теперь у нас появилась масштабная единица для сравнения полезности крон деревьев в городе.

Соответственно при расчёте вполне оправданы значительные упрощения, пренебрежение числовыми коэффициентами, а результат приобретает характер оценки по порядку физической величины. Например, для оценки времени расплавления вещества достаточно знать, что удельная теплоёмкость большинства веществ по порядку величины равна 10³ Дж/(кг • град), удельная теплота плавления – 10⁵ Дж/кг, а теплота сгорания – 10⁶…10⁷ Дж/кг. Надо сказать, это очень полезно. Теперь ваши ученики вполне смогут представить себе значения таких величин, как плотность, теплота, удельное сопротивление, не запоминая ряды конкретных цифр (вот это практически невозможно и не нужно для жизни, ведь есть справочники). Согласитесь, теперь физические величины, константы становятся представляемыми и осязаемыми – напряжённости, индукции, токи и т.п., – всё, что раньше было для детей пустым звуком. Говорите ли вы на уроках, каковы значения электрических и магнитных полей, которые окружают нас? какие токи и напряжения возбуждаются внутри нас? во сколько раз ракетное топливо «калорийнее» сахара или мяса? почему комар вынужден быть холоднокровным («Квант», 1981, № 4)? какой размер может иметь космический корабль пришельцев [2]? Всё это – темы задач-оценок, возбуждающих интерес и одновременно создающих навыки*!

• Сравните удельные мощности Солнца и человека.

Ответ. См. «Квант», 1981, № 4.

• Оцените дальность горизонта на Земле.

Ответ. Около 4 км на ровной местности.

• «…Блестя на солнце, снег лежит…». На каком среднем расстоянии могут находиться «искры» на снегу в свете уличного фонаря? Солнца? Луны?

Ответ. См. «Квант», 1988, № 7.

• Какая доля электронов создаёт заряд тела? При электризации нашего тела, скажем, до 10 мкКл, какой потенциал мы приобретаем? Почему нас не убивает, когда мы чувствительно разряжаемся на соседа?

Ответ. Около 10^–17доли всех электронов тела. Потенциал более 10 000 В. Ток достигает 1 А, но он кратковременный, всего в течение 1 мкс.

• Как соотносятся среднеквадратичная скорость теплового движения молекулы и скорость носителей заряда в проводнике?

Ответ. , если принять I 1 A, S 1 мм², однако влияние направленного (когерентного) движения играет решающую роль в коллективных электрических явлениях.

• Каковы ток и магнитное поле одного атома? моля вещества?

Ответ. См. Суорц Кл.Э. Необыкновенная физика обыкновенных явлений. Т. 2. – М.: Наука, 1987.

• Оцените максимальный размер полости, образующейся при подводном взрыве на глубине 1 км, если заряд взрывчатого вещества имеет массу 1 т.

Ответ. См. «Квант», 1981, № 4.

• Оцените силы астрологических влияний Солнца и планет на человека с физических позиций.

Ответ. Сила притяжения Солнцем менее 0,1 Н, силы притяжения планет на 3–5 порядков меньше. Однако астрологи утверждают, что не силы управляют судьбами, а стечение прочих обстоятельств при данном повторяющемся расположении планет и Солнца в космическом пространстве. Не стоит торопиться с приговором: наука ещё не дошла до исследования этих явлений, но и доверять особенно нет оснований.

• Оцените время падения электрона на ядро и разумность планетарной модели атома.

Ответ. Около 100 тыс. оборотов. Модель вполне можно использовать, особенно для далёких орбит с квантовыми числами около 1000 (ридберговские атомы). См., например, «Соросовский образовательный журнал», 1998, № 4.

Карточки с такими оценками я беру на урок или на лекцию и использую по ситуации: по скорости работы группы, по наличию времени, по теме обсуждений, а иногда прямо включаю оценку в материал занятия. При наличии уже упомянутых навыков расчёта оценка не занимает много времени и органично дополняет понимание материала. Нужно сказать, оценки по порядку величины трудно воспринимаются воспитанными в духе «традиционных» расчётов взрослыми, даже молодыми специалистами, даже аспирантами. Помните, как лет двадцать назад мы проверяли результаты калькулятора по линейке, на счётах, на листочке бумажки? Дети поначалу тоже не верят, а потом заражаются азартом: кто точнее сделает оценку длинного дробного выражения без калькулятора? А потом проверяют – всё оказывается достаточно точно, если потренироваться.

Пример оценки по порядку величины:

• При каком размере частиц мелкий порошок, рассыпанный в один слой, может «закипеть» на поверхности стола, т.е. его частицы станут подпрыгивать хотя бы на высоту своего диаметра?

это уже броуновская частица.

• Какой размер должен иметь микроорганизм, способный осуществлять направленные перемещения?

Ответ. Практически такой же, как и в предыдущей задаче. При меньших размерах частица участвует в броуновском движении.

О методе размерности

Это уже «высший пилотаж». Обычно в школе ограничиваются проверкой размерности. Надо сказать, бессмысленное занятие, особенно если речь идёт о простых, одноходовых формулах. И школьники хорошо понимают это, уступая только нажиму учителя. Хотя, если формула получалась в результате объединения нескольких соотношений, то проверить, конечно, можно. Но вот пример поинтереснее:

• Горизонтальная балка прямоугольного сечения жёстко заделана одним концом в стену (такая конструкция называется консоль). К другому концу приложена изгибающая сила F – вниз. Очевидно, вертикальное смещение Y конца балки вниз зависит от приложенной силы F, от длины консоли L, её ширины W, высоты H и модуля изгиба E (размерность Н/м²). Одна из ниже приведённых формул верна. Определите её [3].

• (не проходит по размерности);

• (верная!);

• (не проходит по размерности);

• (одинаковая зависимость от ширины и высоты – это неверно: прогиб сильнее зависит от высоты).

Всё-таки главная ценность размерности физической величины – в её предсказательной способности результата для случаев, когда точную модель построить либо очень сложно, либо практически невозможно. Этому посвящены многие пособия для учителей и для учеников. Смысл в том, что, если для оценки по порядку величины можно опускать значащие цифры, то можно опускать и коэффициенты в формулах (напомню, что догадку Ньютона о форме выражения для силы вязкого трения и точную формулу Стокса для шарика разделяют 150 лет!). Более того, можно конструировать формулы, не записывая уравнений, а только исходя из догадки о том, какие физические величины управляют данным явлением, ведь все формулы имеют вид произведения управляющих величин со своими степенями а последний множитель представляет возможную безразмерную комбинацию физических величин. Важно только, что комбинация справа имеет ту же размерность, что и величина слева.

• Большой контейнер объёмом V полностью заполнен маленькими шариками, приготовленными к перевозке. Масса каждого шарика m, их общая масса M. Вычислите среднюю концентрацию шариков в контейнере, т.е. их число, приходящееся на единицу объёма контейнера. Как изменится масса шариков в этом контейнере, если, например, вдвое изменить их диаметр?

К решению. Средняя концентрация шариков, по определению, . Это выражение справедливо при любом способе расположения шариков в контейнере, т.е. при любой упаковке. Конечно, в зависимости от вида упаковки (плотная – 74%, кубическая – 52%, пентагональная – 72%, хаотическая – 60%) число шариков в объёме будет различным. Тем не менее его всегда можно определить точным соотношением . Дальше можно записать: , что и является решением.

Сложнее ответить на второй вопрос. Однако, если не вдаваться в подробности точного расчёта, связанные с вариантом упаковки, то можно записать соотношения пропорциональности: с одной стороны, M ~ Nr³, с другой, . Отсюда масса ящика M ~ L³ не зависит от радиуса шариков. Эти соотношения совершенно правильные, если шариков очень много и можно пренебречь краевыми эффектами.

• Эйфелева башня имеет высоту 300 м и массу 9000 т. Какую массу должна иметь точная копия – подарочная модель высотой 30 см?

Ответ. 9 г. Такую модель и сделать-то трудно, ведь башня-то ажурная!

• Две модели самолёта сделаны из латуни и имеют одинаковую форму, но вторая имеет вдвое большие размеры. Перед покраской их одновременно поместили в печь на короткий промежуток времени для обезжиривания, затем вынули и поставили остывать. Первая модель остыла на два градуса за 30 с. За какое время на столько же остынет большая модель, если внешние условия не изменятся?

Ответ. За 2 мин.

• Исследования, проведённые физиологом Э.Вебером и физиком Г.Фехнером в конце XIX в., показали, что человек начинает отличать большее тело от такого же по форме меньшего, если линейные размеры тел отличаются не менее, чем на 10% (при условии, что тела не находятся рядом в поле зрения!). Оцените, на сколько мы можем (максимально) ошибиться в весе товара, например, при покупке яиц на рынке, выбирая яйца покрупнее?

Ответ. Ошибка может составлять до ± 30% (объём пропорционален кубу размера).

• После семи стирок кусок мыла уменьшился вдвое во всех размерах. На сколько стирок его ещё хватит?

Ответ. На одну – последнюю.

• Когда вы выходите из воды, ваша кожа равномерно покрыта её тонкой плёнкой. Подсчитано, что на теле удерживается около стакана воды (200 г). Это составляет около 0,5% вашей массы. Почему же мокрая муха не может бодро летать? Сколько процентов от массы составляет вода на мухе, если её средний размер в 500 раз меньше вашего, а толщина водяной плёнки такая же, как и на вас?

Ответ. Более 200%, поэтому муха должна обсохнуть.

• Оцените время резкого движения змеи массой М 1 кг и длиной L 1 м, если известна сила её мускулов. Например, чтобы оторвать её от добычи, нужно потянуть с силой F 20 Н [3].

Решение. Сконструируем формулу из величин, которые, по нашему мнению, в ней должны быть:

Получаем систему алгебраических уравнений для размерностей: решая которую, выясняем вид формулы: – и получаем вполне разумную цифру. Заметим, что сигнал проходит по нервным каналам змеи в несколько раз быстрее (2–5 м/с), просто масса не позволяет. Помните об этом, когда убиваете, например, насекомых. Они «видят», как медленно приближается смерть, а улететь не могут!..

Заключение

Это первое занятие не посвящено какой-либо одной конкретной теме программы школьного курса физики. Это задачи так называемого общего плана. Они полезны при прохождении всего курса. Часть из них можно начать использовать буквально с первых дней занятий физикой.

Другая часть задач полезна при погружении в новый раздел или на выходе из него. В числе прочего они призваны развеять мифы школьников о физике, как о справочнике невесть откуда взявшихся формул. Они – уже не упражнения, но ещё и не совершенно серьёзные инженерные задачи, требующие точных уравнений и тяжёлого математического аппарата. Их достоинство – изящность при буквально термодинамической надёжности результатов в пределах порядков значений величин. Для овладения их техникой нужны глубокое понимание как описываемых процессов, так и возможностей физики, а также терпение тибетских монахов и т.д. (см. начало лекции). Иногда они просты и вызывают улыбку, а иногда решения становятся именными. Стоит заметить, что самые глубокие мысли решения важнейших задач часто формулируются именно на языке соотношений подобия и размерности. Такие оценки любили, например, академики Я.Б.Зельдович, Л.Д.Ландау, А.Д.Сахаров, П.Л.Капица, да и сейчас их любят на научных семинарах. Это потом всё рассчитывается по уравнениям и на машинах. А сначала – идея с оценкой по порядку величины.

• Задача академика Л.И.Седова и Энрико Ферми. Необходимо определить закон движения взрывной волны R(t) после короткого взрыва, если выяснено, что важными параметрами явления являются энергия взрыва E и плотность атмосферы .

Оценка: .

Точная формула: .

К решению. Запишем соотношения, как в задаче о змее:

Получаем систему алгебраических уравнений для размерностей: , решая которую, получаем:

Главное, пожалуй, в том, что практически бессмысленно преподавать физику, не решая много коротких интересных задач, – сами мучаемся и у детей отбиваем охоту к школе. А выбор учебника, глубина домашних задач и математический аппарат варьируются в зависимости от количества часов, профиля, мотивации и подготовленности. Важно, чтобы было притягательно, актуально, по силам учащимся, и оставляло у них впечатление.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие классы ведёте вы в своей школе в этом году? Знают ли ваши ученики табличные значения мировых постоянных? Ориентируются ли в шкалах значений физических величин?

2. Как часто вы используете оценки и решаете задачи на приближённые вычисления? Приведите примеры оценок, которые делаете вы.

3. Почему в лекции утверждается представление формулы для физического явления в виде ПРОИЗВЕДЕНИЯ Ведь очень часто мы видим формулы, содержащие СУММЫ, например: . В чём здесь дело?

4. Если справедливо утверждение о том, что большинство расчётов имеют ограниченную точность, то почему физику относят к точным наукам?

Литература

1. Перельман Я.И. Занимательная арифметика; Занимательная алгебра; Занимательная геометрия; Занимательная физика; Занимательная астрономия; Занимательная ботаника. – М.: Наука, все переиздания, начиная с 1933 г.

2. Слободецкий И.Ш., Асламазов Л.Г. Задачи по физике. – Библиотечка журнала «Квант», 1980, 2001.

3. Кузнецов А.П. Как работают и думают физики. – Саратов: Гос. УНЦ «Колледж», 1994.

__________________________

*Приводить решение всех задач просто невозможно из-за ограниченности объёма публикации. Интереснейшие обсуждения можно найти в номерах журнала «Квант», известного, пожалуй, каждому учителю. Если у вас есть компьютер, можно «скачать» полный объём за 30 лет, – это 7–8 лазерных дисков. Попадаются в продаже и диски с учебниками (например, «200 книг на одном диске: физика, математика, химия»). Но даже, если вы работаете вдали от больших городов, то в школе или в библиотеке обязательно найдутся книги и журналы старых времён (нечитаные!). Автор знает это по опыту собственного обучения в сельской школе (правда, с очень грамотными учителями). С отдельными вопросами можно обращаться и к автору этой публикации по обычной почте (410031, Саратов, ул. Комсомольская, 39, ЛПН) или по электронной (knf@sgu.ru).

Кабинет физики в саратовском Лицее прикладных наук – «Стена колебаний»

Продолжение в № 18