М.О.ПЕРВУШИНА,
гимназия № 209, г. Санкт-Петербург

Геометрические представления при изучении физики

Совершенно очевидно, каким бы ни был объём знаний современного человека, их невозможно представить без такой науки, как физика. Именно при изучении физики вырабатывается стиль мышления, ориентированный на анализ любой ситуации, непонятного явления любой природы [1]. Однако очевидно и то, что усвоение знаний разными категориями учащихся происходит по-разному. Например, для учащихся, склонных к изучению гуманитарных предметов, характерно преобладание наглядно-образного мышления [2]. Поэтому и математический аппарат, который мы используем для изучения физики в гуманитарных школах, должен быть максимально образным.

Так, векторный характер величин механики позволяет решать практически все задачи на основе записанных в векторном виде уравнений и их геометрических образов, представляя при этом изучаемый материал с методически более выигрышной позиции.

Например, уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту, может быть представлено в виде*  , где ₀t – перемещение в результате равномерного прямолинейного движения под углом к горизонту, gt²/2 – перемещение в результате свободного падения из состояния покоя, а r – результирующее перемещение. По рис. 1 видно, что определение дальности полёта при этом представляет несложную задачу, а именно:

.

Значение t находим из уравнения которое следует из рассмотрения треугольника перемещений на рис. 1.

Прямое же проецирование векторных величин на оси координат превращает решение этой задачи в сложные математические упражнения.

Следует заметить, что аналогично математический аппарат можно использовать и при изучении оптики. (В принципе можно составить единую методическую систему принципов обучения.) Рассмотрим для примера решение задачи по теме «Линзы».

На рис. 2 показаны главная оптическая ось линзы, точка S и её изображение S₁. Требуется определить фокусное расстояние линзы, если расстояние от точки S до главной оптической оси равно а = 8 см, от её изображения S' до главной оптической оси b = 5 см, а расстояние между проекциями точек S и S' на главную оптическую ось с = 9 см.

Первый этап – выполнение построения, т.к. именно в этом процессе формируются представления о способе  решения задачи. Результат этого построения хорошо знаком учителям: это система фигур, которые представляют собой две пары треугольников с равным коэффициентом подобия, АSО и ВS₁О, а также ОСF и ВS₁F (рис. 3).

Для первой пары подобных треугольников

откуда ОА = 24 см, следовательно, ОВ = 15 см. Для другой пары треугольников

откуда OF = 40 см. Однако с учётом того, что линза рассеивающая, её фокусное расстояние равно –40 см.

Решение этой задачи без построения, на основе только формулы тонкой линзы, требует значительных знаний, главный же его недостаток – отсутствие наглядности, что немаловажно для учащихся гуманитарных школ в силу их психологических особенностей.

Особенно эффективно использовать геометрические представления при решении задач на поиск экстремумов, которые традиционно решаются с использованием производной [3]. Рассмотрим пример.

• Груз массой m висит на невесомых нерастяжимых нитях (рис. 4). Определите минимальную силу, которую необходимо приложить в точке В, чтобы удерживать подвес в равновесии. Угол известен.

Решение. Рассмотрим условия равновесия (рис. 5):

для узла А: mg + T₁ + T₂ = 0;          (1)

для узла В: T₃ + T₄ + F = 0.              (2)

Очевидно, что Т₂ = mgtg .

Построим геометрический образ векторного уравнения (2) для узла В (рис. 6). Величина и направление силы T₄ = –T₂ известны, как и направление силы T₃, – вдоль нити, прикреплённой к потолку. Очевидно, что искомая сила F минимальна, если она перпендикулярна T₃ (положение 2 на рис. 6). В этом случае её величина, определяемая из треугольника сил, равна

F = Т₂ cos = mgsin.

Аналогичная ситуация возникает и при решении задач динамики. Например, требуется узнать, под каким углом следует тянуть за верёвку тяжёлый ящик, чтобы передвигать его волоком по шероховатой горизонтальной поверхности с минимальным усилием. Движение ящика равномерное, его масса и коэффициент трения известны. Традиционный cпособ решения – через проецирование сил. Продемонстрируем менее трудоёмкий и более наглядный способ с опорой на основные положения геометрии.

Сделаем чертёж (рис. 7) и запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

mg + F + Q = 0;         (3)

Q = N + F_тр.              (4)

В соответствии с законом Кулона–Амонтона для угла запишем выражение:

Далее строим геометрический образ векторного уравнения (3) и исследуем его на направление и величину силы, с которой следует тянуть ящик (рис. 8).

Сначала изобразим известную по величине и направлению силу тяжести mg. Далее через конец этого вектора проводим прямую, составляющую угол = arctg с вертикалью, и на этой прямой откладываем силу Q, совмещая начало вектора Q с концом вектора mg. В соответствии с уравнением (3) искомая сила F должна замкнуть треугольник сил. При этом её величина будет минимальной, если она образует прямой угол с силой Q, т.е. угол с горизонталью. Из рассмотрения прямоугольного треугольника следует, что F = mgsin .

Таким образом, геометрические представления при изучении физики не только способствуют рационализации учебного процесса, но и приучают учащихся к осознанной и целенаправленной деятельности. И это тем более важно, что задача школы – не просто передать некоторый объём знаний, но и создать условия для дальнейшего совершенствования личности.

Литература

1. Кондратьев А.С., Филиппов М.Э. Физические задачи и математическое моделирование реальных процессов. – СПб.: Изд-во РГПУ им.А.И.Герцена, 2001.

2. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. – М.: Просвещение, 1976.

3. Кондратьев А.С., Прияткин Н.А. Математические методы при изучении физики в школе и вузе. – СПб.: Изд-во СПбУ, 2001.

_______________________

Марина Олеговна Первушина – учитель физики высшей квалификационной категории гимназии № 209, г. Санкт-Петербург, аспирант РГПУ им. А.И.Герцена, научный руководитель академик РАО, д.ф.-м.н., проф. А.С.Кондратьев.

*Жирным шрифтом обозначены векторы.