Продолжение. См. № 6, 8/06

А.А.СКЛЯНКИН, А.В.ЗОТЕЕВ,
МГУ, г. Москва
zoteyev@vega.phys.msu.ru

ХИМФАК МГУ-2005

ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ ПО ФИЗИКЕ

Вариант 2 (окончание)

8. Два источника тока с одинаковыми внутренними сопротивлениями, но с разными ЭДС, соединены последовательно и замкнуты на резистор R = 10 Ом. При какой величине ЭДС ₂ разность потенциалов между полюсами первого источника будет равна нулю, если ЭДС первого источника ₁ = 6 В, внутренние сопротивления источников r₁ = r₂ = r = 2 Ом?

Решение

Разность потенциалов _B – _A между полюсами первого источника тока можно определить исходя из закона Ома для неоднородного участка цепи:

а силу тока – из закона Ома для полной цепи:

По условию задачи, _B – _A = 0. Решая оба уравнения совместно, получаем

9. Два одинаковых шарика из пластилина, двигавшихся со скоростью = 10 м/с, испытывают абсолютно неупругое соударение. Скорости шариков до соударения взаимно перпендикулярны. На сколько градусов Т увеличилась бы температура шариков, если бы всё выделившееся в результате соударения тепло пошло на их нагревание? Удельная теплоёмкость пластилина с = 100 Дж/(кг • К).

Решение

При абсолютно неупругом соударении тела соединяются. Используя закон сохранения импульса, можно записать:

где ₁ – вектор скорости шариков после удара.

Из рисунка видно, что модуль общего импульса шариков после удара можно найти, используя теорему  Пифагора:

При неупругом ударе часть механической энергии переходит в тепло – шарики нагреваются. По закону сохранения полной энергии, количество выделившейся теплоты равно разности исходной и конечной механической энергии шариков:

Это тепло приводит к увеличению температуры шариков на T градусов. С учётом определения теплоёмкости можно записать:

Q = c•2m•T.

Совместное решение уравнений приводит к результату

10. В открытую с обоих концов U-образную трубку налита ртуть. Расстояние от уровня ртути до верхнего конца  трубки h = 20 см. В левую часть трубки вдвигают поршень. На какое расстояние l следует опустить этот поршень, чтобы уровень ртути в правом колене поднялся на высоту h = 5 см? Сечение трубки постоянно по всей её длине. Температуру считать постоянной. Принять g = 10 м/с², атмосферное давление p₀ = 1 • 10⁵ Па. Плотность ртути  = 13,6 • 10³ кг/м³.

Решение

Когда в левую часть трубки вдвигается поршень, под ним оказывается некоторая порция воздуха. Первоначально этот воздух имел давление, равное атмосферному р₀, и занимал объём Sh (S – площадь поперечного сечения трубки). Так как, по условию задачи, температуру можно считать постоянной, процесс сжатия воздуха проходил изотермически. Считая воздух в данных условиях идеальным газом, запишем для него закон Бойля–Мариотта:

p₀Sh = pS(h + h – l).

При записи правой части этого равенства учтено, что изменение длины столбика воздуха проиcходит за счёт  понижения нижней границы раздела (воздух–ртуть) на h и верхней (воздух–поршень) на l, а также, что ртуть несжимаема. Сжатый воздух оказывает на поверхность ртути давление p, равное давлению в правом колене трубки на уровне АА' (уровень нижней границы раздела воздух–ртуть). Эти давления должны быть одинаковы, по закону сообщающихся сосудов:

p = p₀ + 2gh.

Совместное решение уравнений позволяет найти искомую величину:

Заметим, что результат не изменится и при нарушении условия неизменности температуры воздуха в процессе его сжатия (т.е. изотермичности процесса). Достаточно того, чтобы его конечная температура не отличалась от начальной. Действительно, в этом случае

p₁V₁ = RT; p₂V₂ = RT,

и первое равенство, очевидно, по-прежнему спра-ведливо, независимо от промежуточных стадий процесса (индексами 1 и 2 обозначены начальные и конечные параметры процесса).

Вариант 3

1. Сформулируйте закон сохранения импульса для системы материальных точек.

2. Дайте определение понятия напряжённость электрического поля.

3. Тело движется вдоль оси Х. Используя зависимость ускорения от времени, представленную на графике, определите путь, пройденный телом за = 5 с. Начальная скорость тела равна нулю.

Решение

Проще всего, нам кажется, решить задачу графическим способом. Для этого построим график зависимости скорости от времени в том же масштабе времени.

Значения скорости ₃ и ₅ в моменты времени t₃ = 3 с и t₅ = 5 с находим с помощью хорошо известных законов кинематики равнопеременного движения:

₃ = a₁₁ = 6 м/с;

5 = ₃ – |a₂|₂ = 4 м/с,

где а₁ = 2 м/с²; ₁ = 3 с; а₂ = –1 м/с²; ₂ = 5 с – 3 с = 2 с (время движения с ускорением а₂).

Учтём, что значение пройденного пути численно равно площади фигуры, ограниченной графиком зависимости скорости от времени и осью времени. Тогда

4. Состояние некоторого количества идеального газа изменялось в соответствии с p, T-диаграммой, представленной на рисунке. Изобразите этот же процесс на p, V-диаграмме.

Решение

При построении диаграммы необходимо принять во внимание, что участок 1–2 соответствует изотермическому процессу, следовательно, на р, V-диаграмме он отобразится участком гиперболы. Участок 2–3 соответствует изобарному процессу, сопровождающемуся повышением температуры. Участок 3–4 соответствует изохорному процессу, в котором температура и давление понижаются. Для тщательности построения необходимо учесть следующие соотношения, отражающие условия задачи:

Т₁ = Т₂ = Т₄; p₃ = p₂ = 2p₄; p₁ = 3p₄ = (3/2)p₂.

Кроме того, из закона Бойля–Мариотта следует, что V₃ = 2V₂ и V₂ = (3/2)V₁.

Продолжение в № 18