В.М.БУХАНОВ, А.В.ГРАЧЁВ, В.А.ПОГОЖЕВ, Ю.В.СТАРОКУРОВ,
Н.И.ЧИСТЯКОВА, А.А.ЯКУТА
yakuta@genphys.phys.msu.su

Физфак МГУ-2005

Продолжение. См. № 10/06

Вступительные испытания по физике

3 В показанной на рисунке системе отрезки гладкой невесомой нерастяжимой нити, не лежащие на блоке, горизонтальны. Масса прямоугольного бруска А равна m, груза B – 2m, а бруска С с прикреплённым к нему блоком – 3m. Бруски лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Коэффициент трения груза B о брусок A равен . К бруску А прикладывают направленную горизонтально силу F, модуль которой медленно увеличивают от нулевого значения. При этом все тела движутся поступательно. Найдите силу натяжения нити в тот момент, когда груз B начинает скользить по бруску А.

Решение

Будем решать задачу, считая выполненными следующие стандартные предположения: плоскость, по которой скользят бруски А и С, неподвижна относительно лабораторной системы отсчёта, и эту систему можно считать инерциальной. Кроме того, будем пренебрегать влиянием воздуха на все тела рассматриваемой системы. Поскольку нить, по условию, является гладкой, то действующие со стороны нити на блок силы не могут иметь составляющей, направленной по касательной к поверхности блока. Полагая, как обычно, что ось, вокруг которой мог бы вращаться блок, совпадает с его геометрической осью, можно утверждать, что при любом натяжении нити блок не будет вращаться. Учитывая ещё невесомость нити, можно утверждать, что модуль F_н силы натяжения нити во всех её точках должен быть одинаковым. Следовательно, со стороны нити на брусок А и груз В будут действовать силы F_A и F_B, модули которых равны F_н. Поскольку, по условию задачи, верхняя грань бруска А и отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны, а груз и бруски движутся поступательно, то направления указанных отрезков нити при движении всех тел не будут изменяться, а на блок, прикреплённый к бруску С, со стороны нити будет действовать сила F_C, модуль которой равен 2F_н.

На рисунке (без соблюдения масштаба) показаны силы, действующие на груз В и на бруски в горизонтальном направлении. Кроме того, здесь же показана неподвижная в лабораторной системе отсчёта горизонтальная ось Х, параллельная внешней силе F; указаны координаты х_А и х_В концов нити, прикреплённых к бруску А и грузу В, а также координата х_С оси блока.

По условию задачи, длина нити L постоянна. Выше было сказано, что ориентация отрезков нити, не лежащих на блоке, остаётся неизменной при движении тел. Если радиус блока обозначить R, то из сказанного следует, что указанные выше координаты удовлетворяют условию Следовательно, во-первых, груз В может смещаться относительно бруска А только в направлении, противоположном силе F. Поэтому действующая на него со стороны бруска А сила трения fтр направлена в положительном направлении оси Х, как и показано на рисунке. При этом, согласно третьему закону Ньютона, на брусок А действует сила трения f = –f_тр. Во-вторых, поскольку ускорение точки вдоль данной прямой, по определению, есть вторая производная от её координаты, а все тела движутся поступательно, то ускорения брусков и груза должны удовлетворять соотношению В отсутствие скольжения груза В по бруску А ускорения всех трёх тел будут одинаковыми. Поэтому, обозначив проекции их ускорений на ось Х символом а, уравнения движения тел в проекции на ось Х, на основании второго закона Ньютона, можно представить в виде: ma = F – F_н – f, 2ma = f – F_н и 3ma = 2F_н, где f = |f| = |f_тр|. Из этих уравнений следует, что в отсутствие скольжения груза В по бруску А модуль силы трения должен быть равен f = 7|F|/12, а F_н = |F|/4.

Согласно закону Кулона–Амонтона, максимальное значение модуля силы сухого трения покоя   где N – модуль нормальной составляющей силы реакции опоры, действующей на груз В. Поскольку груз В не движется по вертикали, то, согласно второму закону Ньютона, N = 2mg, где g – модуль ускорения свободного падения. Следовательно, в момент начала скольжения груза В по бруску А при выполнении сделанных предположений модуль силы натяжения нити должен хотя бы чуть-чуть превысить величину