В.М.БУХАНОВ, А.В.ГРАЧЁВ, В.А.ПОГОЖЕВ, Ю.В.СТАРОКУРОВ, Н.И.ЧИСТЯКОВА, А.А.ЯКУТА
yakuta@genphys.phys.msu.su

Физфак МГУ-2005

Вступительные испытания по физике

1 По гладкой горизонтальной плоскости скользит по инерции однородный диск. В момент времени t = 0 модули скоростей точек А и В, расположенных на диаметрально противоположных краях диска, оказались равными _A и _B, а угол между этими скоростями равным . Найти путь, пройденный центром диска к моменту t = .

Как это обычно и делается при решении подобных задач, будем считать диск твёрдым телом. По условию задачи, диск совершает плоское движение. Как известно, такое движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного и вращательного вокруг оси, перпендикулярной плоскостям, в которых располагаются траектории точек диска.

Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость центра диска (точки С на рисунке) относительно плоскости, по которой скользит диск, равна _C, а угловая скорость вращения диска вокруг оси, проходящей через точку С перпендикулярно указанной плоскости, равна и диск вращается по часовой стрелке. Тогда модули составляющих скоростей _A и _B точек А и В, обусловленных вращением диска, будут равны _вр = R, где R – радиус диска. Векторы, определяющие положения точек А и В относительно точки С, по условию задачи, удовлетворяют соотношению R_A = –R_B. Поскольку векторы скоростей указанных точек относительно точки С перпендикулярны векторам R_A и R_B, то _вр.A = –_вр.B. Согласно принципу независимого сложения движений, скорости точек А и В относительно плоскости скольжения равны: _A = _C + _вр.A и _B = _C + _вр.B. Следовательно, _C = 0,5(_A + _B).

Отметим, что к этому результату можно прийти более простым путем. В самом деле, пусть радиус-векторы точек А и В равны r_A и r_B. Тогда радиус-вектор точки С – середины отрезка АВ – будет равен r_C = 0,5(r_A + r_B). Вспоминая, что скорость точки, по определению, равна первой производной её радиус-вектора по времени, из последнего выражения получаем, что _C = 0,5(_A + _B).

Поскольку модуль вектора равен корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора, то модуль скорости точки С, согласно полученному выше выражению, равен

По условию задачи, диск является однородным. Поэтому центр масс диска совпадает с его геометрическим центром, т.е. точкой С. По условию задачи, диск скользит по инерции по гладкой горизонтальной плоскости. Следовательно, на диск в горизонтальном направлении не действуют какие-либо силы, а плоскость скольжения неподвижна относительно некоторой инерциальной системы отсчёта. Поэтому на основании закона сохранения импульса необходимо считать, что скорость центра диска (скорость его центра масс) не зависит от времени. Другими словами, центр диска движется равномерно прямолинейно относительно плоскости скольжения. Поэтому путь, пройденный центром диска за время , равен

2 Из точки, расположенной на некоторой высоте над горизонтальной площадкой, последовательно бросают два одинаковых камешка с одной и той же по модулю начальной скоростью. За время полёта горизонтальная составляющая скорости первого камешка уменьшилась на n₁ = 12%, а второго на n₂ = 22%. При этом второй камешек пролетел по горизонтали на c = 10% большее расстояние, чем первый. Под каким углом ₂ к горизонту был брошен второй камешек, если первый был брошен под углом ₁ = 30°, а модуль силы сопротивления движению камешков пропорционален их скорости?

По условию задачи, на камешки во время полёта действуют силы тяжести и сопротивления воздуха. Пусть m – масса, * – ускорение, а – скорость камешка, g – ускорение свободного падения, а k – коэффициент сопротивления. Тогда, считая, как обычно, что неподвижный относительно Земли наблюдатель является инерциальным, на основании второго закона Ньютона уравнение движения камешка можно представить в виде: В проекции на горизонтальную ось Х, неподвижную относительно Земли и совпадающую с горизонтальной составляющей скорости камешка _x, его уравнение движения принимает вид: Вспоминая определения скорости и ускорения и полагая, что координата х точки бросания камешка равна нулю, из предыдущего уравнения получаем

(_xк – _x0)m = –kx,

где _x0 и _xк – проекции начальной и конечной (в момент падения) скоростей камешка на ось Х, а х – дальность его полёта по горизонтали.

По условию задачи, величина горизонтальной составляющей скоростей камешков в момент броска _x0i связана с величиной скорости в этот же момент времени _0i соотношением _x0i = ₀cos_i. При этом горизонтальная составляющая скоростей камешков в момент падения vxкi и в момент броска _x0i должна удовлетворять соотношению _xкi = (1 – n_i)_x0i. Следовательно,

В условии задачи сказано, что второй камешек пролетел по горизонтали на c = 10% большее расстояние, чем первый, т.е. x₂ = (1 + c)x₁. Поскольку (_xкi – _x0i)m = –kxi, то а потому n₂cos₂ = (1 + c)n₁cos₁.

Следовательно,

Продолжение в № 11

_________________________

* Здесь, как это и принято в физике, производные функций по времени обозначены с помощью надлежащего числа точек, поставленных над символом этой функции.