Продолжение. См. № 1, 3, 5, 7/06

С.С.ЧЕСНОКОВ, С.Ю.НИКИТИН,
И.П.НИКОЛАЕВ, Н.Б.ПОДЫМОВА,
М.С.ПОЛЯКОВА, проф. В.И.ШМАЛЬГАУЗЕН,
физфак МГУ, г. Москва
sergeychesnokov@mail.ru

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2005 г.

IV. ОПТИКА (окончание)

2 На некотором расстоянии от стеклянного шара находится точечный источник света, дающий узкий световой пучок, ось которого проходит через центр шара. При каких значениях показателя преломления стекла n изображение источника будет находиться вне шара независимо от расстояния, на котором находится источник?

Решение

Пусть источник находится на расстоянии a от поверхности шара. Ход одного из лучей, испущенных источником, изображён на рисунке в предположении, что этот луч пересекает заднюю часть поверхности шара на оптической оси. В этом случае с учётом малости углов падения и преломления имеем:

где h – расстояние от точки падения луча на поверхность шара до его оси, R – радиус шара. Объединяя эти равенства, находим показатель преломления n₀, при котором изображение источника располагается на задней поверхности шара:

При n < n₀ точка пересечения преломлённых шаром лучей с оптической осью (изображение источника) выйдет за пределы шара. При a находим, что n₀ 2. Таким образом, для источника, удалённого на большое расстояние, достигается наименьшее значение показателя преломления, удовлетворяющее условию задачи. Следовательно, изображение источника всегда будет находиться вне шара при n < 2.

3 Узкий световой пучок падает на тонкую собирающую линзу параллельно её главной оптической оси и образует светлое пятно на экране, параллельном плоскости линзы и расположенном за ней на расстоянии l. Когда линзу передвинули на расстояние в направлении, перпендикулярном её главной оптической оси, центр пятна сместился на величину . Найдите фокусное расстояние линзы f.

Решение

Ход одного из лучей, образующих пучок, изображён на рисунке для случая, когда l > f. Сплошные линии соответствуют исходному положению линзы, штриховые – смещённому. Из подобия Aff ' и ABB' следует, что

Отсюда Аналогично рассматривается случай, когда l < f. Наконец, если перемещение линзы выходит из плоскости рисунка, то лучи, преломлённые линзой в исходном и смещённом её положениях, по-прежнему будут лежать в одной плоскости, в которой можно рассмотреть такие же подобные треугольники. Следовательно, связь между смещениями линзы и светового пятна на экране во всех случаях имеет один и тот же вид.

4 Собирающая и рассеивающая линзы имеют одинаковые по модулю фокусные расстояния f и расположены  так, что задний фокус собирающей линзы совмещён с передним фокусом рассеивающей. На каком расстоянии а от собирающей линзы следует поместить точечный источник света, чтобы после рассеивающей линзы получить пучок параллельных лучей?

Решение

Пучок света после рассеивающей линзы будет параллельным, если продолжения падающих на неё лучей пересекаются в её заднем фокусе (см. рисунок). Для этого изображение источника, даваемое собирающей линзой, должно располагаться на расстоянии f позади рассеивающей линзы, т.е. на расстоянии 3f от собирающей линзы. Расстояние a, на котором надо поместить источник света перед собирающей линзой, можно найти по формуле тонкой линзы:

5 С помощью установки, схема которой показана на рисунке, наблюдают дифракцию параллельного пучка белого света на дифракционной решётке Д, расположенной перпендикулярно оси пучка. При этом на экране Э, установленном в фокальной плоскости тонкой собирающей линзы Л, видны две светлые полосы, вызванные наложением спектральных компонент с длинами волн ₁ = 460 нм и ₂ = 575 нм. Эти полосы расположены симметрично относительно главной оптической оси линзы на расстоянии l = 30 см друг от друга. Найдите минимальный период решётки d_min, при котором наблюдается эта картина, если фокусное расстояние линзы f = 20 см.

Решение

Углы, определяющие направления на дифракционные максимумы, определяются условием

где m = 0, 1, 2, ... . Наложение спектральных компонент с длинами волн ₁ и ₂ происходит, если m₁₁ = m₂₂.

Анализ числовых данных показывает, что минимальные значения m₁ и m₂, при которых выполняется это условие, равны: m₁ = 5, m₂ = 4. Следовательно,

Из рисунка видно, что откуда

Используя формулу получаем ответ: