ХИМФАК МГУ-2005

Вступительные испытания по физике

Вариант 1 (окончание)

10. Какую максимальную скорость может развить автомобиль со всеми ведущими колёсами, двигаясь без начальной скорости вверх по наклонной дороге, за время = 4 с? Уклон дороги по отношению к горизонту = 30°. Коэффициент трения между колесами автомобиля и дорогой = 0,85. Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g = 10 м/с².

Решение

Укажем на рисунке силы, действующие на автомобиль при его движении вверх по наклонной дороге: mg – сила тяжести, N – нормальная составляющая силы реакции опоры, F_тр – сила трения.

Важно отметить, что именно сила трения позволяет автомобилю двигаться в гору, – это сила трения покоя, действующая на его ведущие колеса со стороны дороги. Реально эта сила приложена в местах касания колёс с дорогой, но, поскольку автомобиль движется поступательно, удобно перенести её параллельно самой себе и приложить к центру масс автомобиля, как и две другие силы (пунктир на рисунке).

Выберем направление одной из осей системы отсчёта вдоль наклонной плоскости, а другой – перпендикулярно.

Тогда, согласно второму закону Ньютона, ускорение автомобиля будет определяться проекциями сил на ось Х:

         (1)

Как известно из кинематики, скорость , которую развивает автомобиль за время при равноускоренном движении без начальной скорости, равна

= a.              (2)

Эта скорость будет максимальна при максимальном значении силы трения покоя, которое равно

F_тр = N.         (3)

Значение нормальной составляющей силы реакции опоры нетрудно получить из второго закона Ньютона для оси Y:

0 = N – mgcos.          (4)

Решение системы уравнений (1)–(4) приводит к результату:

= g(cos – sin) 9,4 м/с.

1. Сформулировать закон всемирного тяготения.

2. Что такое электроёмкость конденсатора?

3. Скорость тела массой m = 2 кг, движущегося прямолинейно под действием одной силы F, изменялась так, как показано на рисунке. Определите величину этой силы.

Решение

По условию задачи, тело движется под действием единственной силы, и его скорость зависит от времени по линейному закону, представленному на графике. Следовательно, движение тела является равнопеременным, а сила направлена вдоль вектора начальной скорости. По наклону графика зависимости (t) легко определить величину ускорения тела Это ускорение есть результат действия силы F. Следовательно, по второму закону Ньютона, величина искомой силы равна

F = ma = 1 Н.

4. Постройте изображение предмета АВ в тонкой собирающей линзе.

Решение

Чтобы построить изображение предмета в оптической системе, надо построить изображение всех его точек. Все точки предмета АВ лежат на главной оптической оси линзы, причём перед её фокальной плоскостью. Покажем, как строится оптическое изображение любой точки предмета, например, точки А, считая её точечным источником света. Построим для этого ход лучей, падающих на линзу из точки А. Один луч (1) направим вдоль главной оптической оси. Проходя через линзу, он не испытывает преломления. Для построения любого иного луча (2), падающего на линзу под произвольным углом, необходимо провести побочную оптическую ось, параллельную этому лучу. По свойству собирающей линзы параллельные лучи, падающие на линзу вдоль какой либо её побочной оси, пересекаются после преломления в линзе в точке пересечения побочной оптической оси с фокальной плоскостью линзы. Исходя из этого на рисунке построен ход луча 2' после преломления в линзе.

В точке пересечения лучей 1' и 2' формируется оптическое изображение А' точки А. Аналогичные построения можно выполнить и для всех остальных точек предмета АВ. Их оптические изображения окажутся на главной оси линзы, между точками А' и В'. Ясно, что на рисунке можно ограничиться лишь построением изображения точки В. Соединив точки А' и В', получим изображение предмета.

5. В замкнутом баллоне находится газ при температуре t = 0 °С. На сколько градусов Т надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось на k = 20%? Газ считать идеальным, тепловым расширением баллона пренебречь.

Решение

По условию задачи, тепловым расширением баллона следует пренебречь. Изменение давления при изохорном (при постоянном объёме) нагревании идеального газа подчиняется закону Шарля:

С учётом условий задачи это равенство можно переписать в виде

откуда легко найти искомое повышение температуры

6. Оцените работу выхода фотоэлектронов с поверхности металла А_вых, если при длине волны падающего света = 220 нм максимальная скорость, с которой электроны покидают поверхность, равна = 1000 км/с. Принять скорость света в вакууме c = 3 • 10⁸ м/с, массу электрона m_e = 9,1 • 10^-31 кг, постоянную Планка h 6,6 • 10^-34 Дж • с.

Решение

Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, которое отражает сохранение энергии в актах фотоэмиссии электронов:

где А_вых – работа выхода электрона из материала катода, – частота падающей электромагнитной волны, – максимальная кинетическая энергия электрона вблизи поверхности катода. Частота связана с длиной волны и скоростью света в вакууме:

         (5)

Используя равенство (5), запишем окончательный ответ:

7. Материальная точка движется прямолинейно и равноускоренно, с начальной скоростью, равной нулю. Путь, пройденный ею за пятую секунду, равен s = 0,9 м. Найдите путь, пройденный точкой за десятую секунду.

Решение

В случае прямолинейного равноускоренного движения материальной точки без начальной скорости пройденный ею путь равен Тогда путь, пройденный за пятую секунду, равен разности путей, пройденных за пять и за четыре секунды движения:

         (6)

Аналогично, путь, пройденный ею за десятую секунду, равен разности путей, пройденных за десять и за девять секунд:

         (7)

Выразив ускорение из равенства (6), подставляем его в равенство (7) и окончательно находим:

Продолжение в № 12