Решение блока задач методом суммирования

Факультативный курс «Практикум решения физических задач», 11-й класс

Динамика. Второй закон Ньютона [1, 2]

1. К грузу массой 7 кг подвешен другой груз массой 5 кг. Какое натяжение будут испытывать верхний конец и середина каната, если всю систему поднимать вертикально вверх с силой 240 Н, приложенной к большему грузу? Масса каната 4 кг.

Указания к решению задачи

• Выполняем рисунок.

• Представляем канат в виде двух грузов равной массы и выполняем соответствующий рисунок с  указанием всех действующих сил.

• Натяжение между грузами, представляющими канат, – это натяжение середины каната при движении системы вверх.

Динамика. Закон всемирного тяготения*

2. Определите, с какой силой однородное кольцо массой M и радиусом R притягивает к себе шарик массой m, расположенный на расстоянии h от центра кольца на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его центр. Размерами шарика пренебречь.

Указания к решению задачи

• Закон всемирного тяготения справедлив только в отношении точечных тел.

• Разбиваем массивное кольцо на элементарные равномерно распределённые ячейки, которые рассматриваем как материальные точки массой M_i.

• Притяжением между элементарными ячейками кольца пренебрегаем.

• Легко сообразить, что результирующая сила F_рез будет направлена от шарика к центру кольца и являться суммой всех сил притяжения (гравитационных сил) F_гр i, действующих со стороны элементарных масс M_i на шарик. Задача сводится к определению силы притяжения (гравитационной силы) F_гр i между каждой i-й ячейкой и шариком.

• Вклад в результирующую силу со стороны каждой i-й ячейки:

,

где G – гравитационная постоянная.

• Окончательно задача решается путём суммирования обеих частей последнего равенства:

Поскольку G, m, R, h являются величинами постоянными, их можно вынести за знак суммирования. Сумма масс всех элементарных ячеек есть масса кольца M:

Электростатика. Закон Кулона [1, 2]

3. Тонкое проволочное кольцо радиусом R имеет электрический заряд q. В центре кольца расположен одноимённый заряд Q  q. Определите силу T, растягивающую кольцо.

Указания к решению задачи

• Закон Кулона прямо применять нельзя. Равномерно заряженное кольцо разбиваем на элементарные ячейки, которые можно представить как точечные заряды.

• Сделаем рисунок для i-й ячейки.

• Всё кольцо растянуто равномерно. Обе силы растяжения Т₁ и T₂ обусловлены упругими силами в кольце.

• Поскольку ячейка находится в состоянии покоя, а заряд считаем расположенным в центре кольца, записываем второй закон Ньютона для i-й ячейки: F_Кi + T₁ + T₂ = 0.

• Находим проекции векторов действующих сил на направление Y:

F_Кi  = 2Tsin(/2);  

• Синусы малых углов заменяем самими углами в радианах: .

• Суммируем вклады от всех ячеек, учитывая, что сумма всех зарядов элементарных ячеек есть q, а сумма всех длин элементарных ячеек есть 2R:

Электростатика. Напряжённость – силовая характеристика электрического поля. Потенциал – энергетическая характеристика электрического поля [1]

4. По кольцу радиусом R равномерно распределён заряд Q. Определите напряжённость электрического поля и его потенциал в центре кольца, а также в точке, отстоящей на расстоянии h от центра кольца по перпендикуляру к плоскости кольца.

Указания к решению задачи

• Для определения напряжённости электрического поля в некоторой точке в неё необходимо поместить положительный единичный заряд. В центре Е₀ = 0.

• Потенциал электрического поля точечного заряда является скалярной величиной:

• Решение аналогично решению задачи 2.

На расстоянии h от центра кольца:

Магнитное поле. Сила Ампера в комбинации с механическим напряжением [3]

5. По жёсткому кольцу из медной проволоки течёт ток силой 5 А. Кольцо находится в перпендикулярном к его плоскости магнитном поле  индукцией 0,5 Тл. Найдите растягивающее механическое напряжение в проволоке, если радиус кольца 5 см, а площадь сечения проволоки 3 мм². Магнитным взаимодействием между различными участками кольца можно пренебречь.

Указания к решению задачи

• Механическим напряжением называется физическая величина, равная отношению модуля силы упругости, возникающей при деформации, к площади сечения образца, перпендикулярного вектору силы упругости:

• Сила упругости возникает в результате действия магнитного поля на кольцо с током.

• Равномерно разобьём кольцо на элементарные ячейки. Сделаем рисунок, на котором укажем направление всех сил, действующих на одну ячейку. На все ячейки действуют одинаковые по модулю силы упругости.

• Для одной ячейки запишем второй закон Ньютона в векторном виде, учитывая, что она находится в равновесии: Y: F_A + F_упр.1 + F_упр.2 = 0.

• Выбираем ИСО (ось Y) и находим проекции действующих сил: F_A = 2F_упрsin(/2).

• Так как угол достаточно мал, то:

I • B = F_упр/R;

Литература

1. Славов А.В., Спивак В.С., Цуканов В.В. Сборник задач по физике: Под ред. Славова А.В.: 6-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2004.

2. Дмитриев С.Н., Васюков В.В., Струков Ю.А. Сборник задач для поступающих в вузы: Физика: 5-е изд. – М.: Демиург–Арт, 2002.

3. Гельфгат И.М., Генденштейн Л.Е., Кирик Л.А. 1001 задача по физике (с ответами, указаниями, решениями): 3-е изд., перераб. – М.–Харьков: Илекса–Гимназия, 1997.

_________________________________________

*Задача придумана автором по аналогии с задачей из сборника «Качественные задачи» М.Е.Тульчинского: «По закону всемирного тяготения все тела притягиваются друг к другу под действием гравитационных сил. Приведите пример, когда при сближении двух тел сила притяжения между ними уменьшается». Она схожа и с задачей из раздела «Электростатика. Напряжённость – силовая характеристика электрического поля». Аналогия между законом Кулона и законом всемирного тяготения, а также между электростатическим и гравитационным полями проводится довольно часто.

Все векторы обозначены жирным. – Ред.