См. также № 2, 4/06

К.Ю.БОГДАНОВ,
школа № 1326 г., Москва
Kbogdanov@mtu-net.ru

Где собака зарыта?

То не досточки, то косточки трещат.

С.Я.Маршак

7. Почему кость полая и прочнее гранита?

Все мы – плоды эволюции. Природа миллионы лет экспериментировала, прежде чем сделать нас такими, какие мы сейчас есть. Если бы перед инженером-механиком поставили задачу сконструировать кость человека, то он бы наверняка сразу же спросил, для чего она нужна, т.к. форма, размеры и внутренняя структура кости должны определяться её функцией в скелете. Как же работают наши кости? Как и любые строительные элементы, кости нашего скелета работают в основном на сжатие, растяжение или изгиб. Эти режимы работы предъявляют к костям как элементам скелета далеко не одинаковые требования.

Каждому ясно, что спичку или соломинку довольно трудно разорвать, растягивая их вдоль оси, и очень легко сломать, изогнув. В инженерных конструкциях, как и в скелетах животных, желательно сочетание прочности с лёгкостью. Как добиться максимальной прочности конструкции при заданной массе и известной прочности материала? Эта задача довольно проста, если элемент конструкции должен работать либо на продольное растяжение, либо только на сжатие. Пусть, например, надо подвесить некоторый груз на тросе определённой длины. Прочность троса будет равна прочности его самого тонкого участка, поэтому вес троса будет наименьшим, если площадь его сечения по всей длине одинакова.

Почему кость внутри полая? Если элемент конструкции работает также на изгиб, например, когда мы удерживаем груз рукой, согнутой в локте, то задача поиска максимальной прочности при заданной массе становится более сложной.

Локтевая кость работает на изгиб, а плечевая – на растяжение, когда мы удерживаем груз согнутой в локте рукой

Очевидно, что нижние слои локтевой кости сжимаются, а верхние растягиваются. При этом длина срединных слоёв не изменяется при изгибе локтевой кости, и поэтому материал, находящийся в этих слоях, не работает (т.е. не деформируется), а лишь утяжеляет кость. Значит, часть материала вдоль оси кости можно удалить без большого ущерба для её прочности, если кость работает в таких условиях. Таким образом, оптимальной будет кость с частично отсутствующей «сердцевиной», т.к. цилиндрический слой около оси кости не претерпевает существенных деформаций при изгибе и только увеличивает её массу.

Схематическое изображение локтевой кости (горизонтальный брус) в ненагруженном состоянии (вверху) и при деформации, вызванной действием силы F, приложенной к его свободному концу (внизу). Пунктир обозначает положение недеформируемого слоя

Естественно, что и природа в процессе эволюции использовала такой способ уменьшения массы человека и животных при сохранении прочности их скелета. Наиболее отчётливо это проявилось у птиц, которые больше других животных заинтересованы в уменьшении своей массы. Например, у фрегата, птицы, имеющей размах крыльев около 2 м, масса скелета всего 110 г. Однако и у бескрылых животных кости внутри тоже полые. Измерения показывают, например, что для самой крупной трубчатой кости скелета, бедренной, отношение внутреннего диаметра поперечного сечения к внешнему у человека и других млекопитающих составляет 0,5–0,6, что даёт возможность приблизительно на 25% уменьшить массу скелета при сохранении той же прочности.

Почему кость прочнее гранита? Прежде чем хвалить природу за её осведомлённость в вопросах сопротивления материалов, посмотрим, достаточно ли прочны наши кости. В таблице приведены значения критических напряжений (отношение приложенной силы к площади поперечного сечения образца), при которых нарушается целостность различных материалов при испытаниях на сжатие и растяжение, а также их модули Юнга.

Как это ни удивительно, но кость по прочности уступает только твёрдым сортам стали и оказывается гораздо прочнее ставших образцами прочности гранита и бетона. Чем же это объясняется?

Кость – композитный материал и состоит из двух совершенно различных компонентов: эластичного коллагена (из него в основном состоят все наши сухожилия) и кристаллов гидроксиапатита кальция Ca₁₀(PO₄)₆(OH)₂ – 60% по массе.

Известным примером композитного материала служит стеклопластик, представляющий собой смесь стеклянных волокон и смолы. Причиной высокой прочности кости является сочетание эластичности и твёрдости. Многие обычные (не композитные) материалы, обладая большой твёрдостью, очень хрупки. Каждый видел, как разбивается стекло. От места, где по стеклу ударили, разбегаются трещины, которые и раскалывают лист. Если трещины не успевают образоваться, как это происходит при ударе пули, то лист стекла остаётся целым, за исключением области, куда пришёлся удар.

Таким образом, прочность многих материалов была бы гораздо выше, если бы их структура препятствовала распространению трещин. Наличие в кости сетки из коллагена, обладающего высокой эластичностью, служит преградой для распространения в ней трещин. В то же время твёрдость кости обеспечивается кристаллами гидроксиапатита кальция, отложившимися на поверхности коллагеновых нитей. На композитную природу кости указывает низкое значение её модуля Юнга по сравнению с однородными материалами, обладающими такой же прочностью.

Какой же запас прочности у наших костей? Средняя часть плечевой кости человека имеет площадь поперечного сечения около 3,3 см². Используя данные, приведённые в таблице, легко показать, что максимальный вес груза, который может удерживать эта кость, находясь в вертикальном положении и работая на сжатие, близок к 60 000 Н. В то же время максимальная сила, которую может выдержать та же кость, если она работает на изгиб, а сила приложена к свободному концу кости перпендикулярно оси, близка к 5500 Н.

Механика карате

Прекрасной иллюстрацией прочности костей человека может служить популярный сейчас вид спортивных упражнений – карате. Тем, кто видит впервые каратиста, разбивающего крепкие бруски дерева или бетона, часто кажется, что это мистификация. Однако даже новичок после недолгой тренировки сможет легко разбить голой рукой брусок дерева, а потом и целую стопку.

Как может голая рука разбивать такие прочные предметы, как дубовые или бетонные бруски, не ломаясь сама? Сначала попробуем оценить необходимую для этого энергию W_р. Используя закон Гука для деформации бруска и формулу для потенциальной энергии, запасённой в сжатой пружине, можно получить выражение для W_р:

где V – объём бруска, Т – максимальное напряжение, которое выдерживает материал бруска, Е – модуль Юнга. Формула подтверждает интуитивные соображения, что, брусок тем труднее разорвать, чем он больше и чем эластичнее материал бруска, т.к. большая энергия тратится на его растяжение.

Как правило, в своих показательных выступлениях каратисты используют бетонные кирпичи размером 0,4 0,2 0,05 м. Принимая во внимание данные из таблицы и приведённую выше формулу, можно получить, что для таких брусков W_p 0,55 Дж. Скорость движущейся руки каратиста составляет приблизительно 12 м/с, а её масса 0,7 кг. Поэтому энергия, которую передаёт рука в момент удара, близка к 50 Дж. Таким образом, рука каратиста обладает достаточным запасом энергии, чтобы разрушить брусок из бетона.

То, что рука каратиста не ломается при ударе о брусок, частично объясняется гораздо большей прочностью кости по сравнению с бетоном. Высокоскоростная киносъёмка кулака каратиста в момент удара показала, что его замедление при соприкосновении с бруском составляет примерно 4000 м/с². Поэтому сила, действующая со стороны бруска на кулак массой 0,7 кг, составляет 2800 Н.

Если весь кулак в момент удара заменить костью длиной 6 см и диаметром 2 см, фиксированной в двух крайних точках, а удар о брусок моделировать силой, действующей на её середину, то в таких условиях кость может выдержать 25 000 Н. Это приблизительно в 8 раз больше, чем сила, действующая на кулак каратиста при разламывании бетонных брусков.

Однако возможности руки каратиста противостоять таким ударам ещё больше, т.к. в отличие от бетонного бруска она не поддерживается по краям и удар не приходится точно в середину. Кроме того, между костью и бруском бетона всегда находится эластичная ткань, амортизирующая удар. Итак, ссылаться на хрупкость наших костей, оправдывая свою нерешительность, мы не вправе. Они не подведут.

А сухожилия зачем?

Многие из тех движений, которые мы совершаем, бывают периодическими. К ним относятся ходьба, бег, катание на лыжах, коньках, приседания и т.д. Во время этих движений различные части тела движутся неравномерно. Например, при беге или ходьбе каждая нога попеременно уменьшает свою скорость до нуля, соприкасаясь с землёй и тормозя при этом перемещение тела. В последующем та же нога, отталкиваясь от земли, ускоряет это перемещение. Чтобы заставить автомобиль двигаться подобным образом, нам нужно было бы с частотой около 1 Гц нажимать то на педаль газа, то на тормоз. Естественно, что расход горючего при таком импульсном характере движения резко возрастает, т.к. часть кинетической энергии автомобиля при торможении переходит в тепло. Неужели бег человека и животных так же неэкономичен, как движение этого гипотетического автомобиля?

Конечно, нет. Исследования учёных показали, что при беге часть кинетической энергии в фазе торможения хранится в сухожилиях ног в виде потенциальной энергии их деформации, которая переходит опять в кинетическую подобно тому, как это происходит при отскакивании резинового мяча от стены. Таким образом, сухожилия являются запасниками механической энергии во время бега и других циклических движений.

Свойства сухожилий более или менее одинаковы у всех животных, однако конечности копытных, например овец и лошадей, наиболее приспособлены для хранения механической энергии. Некоторые мышцы в нижних частях ног этих животных состоят практически из одних сухожилий. Самым выразительным примером такого использования сухожилий могут служить нижние части конечностей верблюда, почти лишённые мышечных волокон. В ноге человека самым мощным является ахиллово сухожилие, на которое при беге может действовать растягивающая сила до 4000 Н.

Каждый может сам легко убедиться, что механическая энергия действительно запасается в наших ногах, как в пружинах. Для этого попробуйте приседать, сильно сгибая колени. Вы сразу заметите, что подниматься гораздо легче, если выпрямлять ноги сразу, а не задерживаться в положении с согнутыми ногами. Это можно объяснить тем, что при сгибании колен сухожилия сначала растягиваются, и если, не давая им укоротиться, начать разгибать колени, то запасённая в сухожилиях потенциальная энергия перейдёт в кинетическую. Если же позволить им укоротиться ещё до подъёма, то эта энергия перейдёт в тепло.

Продолжение в № 8