С.Е.МУРАВЬЁВ,
МИФИ, г. Москва

Всероссийская отраслевая физико-математическая олимпиада Федерального агентства по атомной энергии РФ (Росатома)

2004/2005 учебный год

Олимпиада проводится ежегодно в несколько туров – с декабря по май. Оценки победителей и призёров (около 10% участников) засчитываются в качестве оценок вступительных экзаменов по математике и физике в МИФИ. В конце 2005 г. введён в строй новый корпус общежития МИФИ, поэтому будет существенно увеличен набор на физические факультеты МИФИ иногородних абитуриентов. В связи с этим в апреле 2006 г. для них планируется провести заочный тур олимпиады (жители Москвы или Подмосковья не смогут принять в нём участие), а оценки победителей и призёров могут быть по желанию абитуриентов засчитаны в качестве оценок вступительных экзаменов на физические факультеты МИФИ. Дополнительную информацию об условиях и сроках проведения заочного тура олимпиады Росатома можно получить по телефону (495)324-84-17 или на официальном сайте МИФИ www.mephi.ru, начиная с января 2006 г. Ниже приводятся краткая информация о физических факультетах МИФИ и пример варианта задания олимпиады Росатома прошлого года.

Факультет экспериментальной и теоретической физики готовит специалистов в области физики твёрдого тела, ядерной физики, прикладной математики, физики Земли, медицинской и биологической физики, радиационной безопасности человека и окружающей среды. Наряду с подготовкой высококвалифицированных физиков для любых областей науки на факультете осуществляется подготовка специалистов в области управления наукоёмкими производствами. Выпускающие кафедры факультета: биофизики, радиационной физики, микро- и космофизики, экспериментальных методов ядерной физики, физики плазмы, физики твёрдого тела, прикладной математики, теоретической физики, лазерной физики, сверхпроводимости и физики наноструктур, моделирования физических процессов в окружающей среде, физики элементарных частиц, проблем экспериментальной физики, радиационной физики конденсированных сред, физики высоких плотностей энергии.

Факультет физики и экономики высоких технологий готовит инженеров-физиков и магистров в области технической физики, разработчиков наукоёмких технологий для ядерной энергетики и других отраслей. По подготовке специалистов в области физики кинетических явлений и разработки ядерных энергетических установок факультет является головным в России. Выпускающие кафедры факультета: теоретической и экспериментальной физики ядерных реакторов, физических проблем материаловедения, молекулярной физики, химической физики, теплофизики, физики прочности, конструирования приборов и установок, прикладной ядерной физики.

Вариант задания олимпиады по физике

1. На рисунке изображены точечный источник света S, его изображение S' в тонкой линзе и главная оптическая ось линзы. С помощью построения найдите положение линзы и её фокусов. Построение обоснуйте.

Решение

Поскольку луч, вышедший из источника и пересекающий оптический центр линзы, попадает в ту точку, где находится изображение, и не преломляется, то оптический центр линзы лежит в точке пересечения луча SS' и главной оптической оси. Так как источник и изображение находятся по разные стороны линзы, изображение действительное, и следовательно, линза собирающая. Чтобы найти её задний фокус, возьмём луч, вышедший из источника параллельно главной оптической оси. После преломления он проходит через задний фокус линзы F. Чтобы найти передний фокус, воспользуемся обратимостью хода лучей в линзе: луч, вышедший из изображения источника, должен попасть в ту точку, где находится источник. Выбирая луч, параллельный главной оптической оси, и учитывая, что после преломления он пройдёт через фокус, найдём положение переднего фокуса линзы.

2. Два тела разной массы связаны невесомой нитью и подвешены к пружине, закреплённой на потолке. Если нить между телами перерезать, тело большей массы будет в первый момент иметь ускорение а₁. Какое ускорение будет иметь в первый момент тело меньшей массы, если тела подвесить к пружине в обратном порядке, а затем перерезать нить?

Решение

2. Исследуем сначала равновесие системы тел. На верхнее тело действуют сила упругости пружины F_у, сила  тяжести Mg и сила натяжения нити T. На нижнее – сила тяжести mg и сила натяжения нити T'. Условия равновесия тел:

F_у + Mg + T = 0, mg + T' = 0,           (1)

или в проекциях на вертикальную ось X:

F_у – Mg – T = 0, –mg + T  = 0.         (2)

В (2) учтено, что модули сил натяжения невесомой нити, действующих на верхнее и нижнее тела, одинаковы. Складывая уравнения (2), найдём силу упругости пружины, действующую на верхнее тело при равновесии:

F_у = (m + M)g.               (3)

После перерезания нити сила натяжения пропадает, поэтому на верхнее тело действуют сила упругости F_у и сила тяжести Mg. Уравнение движения этого тела в проекциях на ось Х имеет вид:

Ma₁ = F_у – Mg.               (4)

Сразу же после перерезания нити, пока тело m ещё не успело сместиться, сила упругости такая же, как и в равновесии. Поэтому из (3) и (4) находим ускорение тела М сразу после перерезания:

                 (5)

Если тела поменять местами (т.е. привязать непосредственно к пружине тело m, а к нему на нити подвесить тело М), то ускорение тела m после перерезания будет определяться формулой:

            (6)

Выражая отношение масс из (5) и подставляя его в (6), находим ускорение тела m сразу же после перерезания нити:

3. В схеме, представленной на рисунке, найдите разность потенциалов _А – _B между точками А и В. Разность потенциалов между точками C и D равна = _С – _D, ёмкости конденсаторов и сопротивления резисторов приведены на рисунке.

Решение

По закону Ома, сила тока в нижнем участке электрической цепи, содержащем сопротивления R, 2R и 3R, равна Применяя закон Ома к участку цепи, содержащему сопротивления R и 2R, и учитывая, что при последовательном соединении элементов ток через каждый из них одинаков, найдём разность потенциалов между точками С и В:

             (7)

ёмкость верхнего участка электрической цепи определяется соотношением

            (8)

поэтому, согласно определению ёмкости, заряд каждого конденсатора равен

                         (9)

Применяя теперь определение ёмкости к конденсатору С с учётом (9), находим разность потенциалов между точками С и А:

                 (10)

Вычитая формулу (10) из формулы (7), найдём искомую разность потенциалов:

4. Известно, что КПД теплового двигателя, работающего по циклическому процессу 1-2-3-4-1, график которого в координатах p, V представляет собой параллелограмм, равен . Найдите кпд двигателя, работающего по циклическому процессу 1-3-4-1. Рабочее тело двигателя – одноатомный идеальный газ.

Решение

КПД циклического процесса определяется как отношение работы, совершённой газом в течение цикла, к количеству теплоты, полученной газом от нагревателя за цикл. В применении к процессам 1-2-3-4-1 и 1-3-4-1 это определение даёт:

             (11)

         (12)

где А – работа, совершённая газом в процессе 1-2-3-4-1. В этих формулах учтено: 1) поскольку работа, совершённая газом в циклическом процессе, равна площади цикла в координатах p, V, то работа газа в процессе 1-3-4-1 вдвое меньше работы в процессе 1-2-3-4-1; 2) в процессе 1-2-3-4-1 газ получал тепло на участке 1-2-3, а в процессе 1-3-4-1 – на участке 1-3. Свяжем количества теплоты Q₁₂₃ и Q₁₃, для чего применим к этим процессам первый закон термодинамики:

где U₁₃ – изменение внутренней энергии газа, A₁₂₃ и A₁₃ – работы газа в процессах 1-2-3 и 1-3 соответственно. Объединяя две последние формулы и учитывая, что работа газа в любом процессе равна площади трапеции под графиком процесса в координатах p, V (и потому разность A₁₂₃ и A₁₃ равна площади треугольника 123, т.е. А/2), получим

Q₁₂₃ – Q₁₃ = A/2. (13)

Выражая Q₁₃ из формулы (13), подставляя это выражение в (12) и учитывая (11), получим

5. Тело составлено из четырёх склеенных полушаров. Центры всех полушаров лежат на одной прямой, при этом центры нижнего полушара и центрального верхнего совпадают, расстояния от центров крайних верхних полушаров до центра нижнего равны. Радиус нижнего полушара R₁ = 8 см, его плотность ₁ = 1 г/см³, радиус центрального верхнего R₂ = 3 см, его плотность ₂ = 15 г/см³, крайние верхние полушары одинаковы, каждый радиусом R₃ = 4 см и плотностью ₃ = 4 г/см³. Будет ли положение тела, изображённое на рисунке, устойчивым? Ответ обоснуйте.

Решение

Очевидно, что на рисунке изображено положение равновесия, в котором сила тяжести и сила реакции опоры компенсируют друг друга. Для исследования устойчивости равновесия необходимо отклонить тело и исследовать возникшие силы. Если возникнут силы, возвращающие тело в положение равновесия, то равновесие является устойчивым, если возникнут силы, уводящие тело от положения равновесия, равновесие является неустойчивым, если силы будут по-прежнему компенсировать друг друга, равновесие является безразличным.

Для анализа устойчивости равновесия отклоним тело от положения равновесия и исследуем действие сил. Поскольку прямая, вдоль которой действует сила реакции опоры, проходит через центр нижнего полушара (нижняя поверхность тела – сферическая), то устойчивость или неустойчивость равновесия рассматриваемого тела определяется точкой приложения силы тяжести: если сила тяжести приложена левее центра (при отклонении тела вправо), то равновесие тела устойчиво, если правее – неустойчиво, если к центру – безразлично. А поскольку точкой приложения силы тяжести является центр тяжести тела, то устойчивость тела определяется положением его центра тяжести по отношению к центру нижнего полушара.

Для иллюстрации этого утверждения на рисунке показаны силы, действующие на тело при его отклонении от положения равновесия в случае различного положения центра тяжести. На левом рисунке показан случай, когда центр тяжести тела лежит ниже центра нижнего полушара (центр тяжести отмечен крестиком). В этом случае сила тяжести создаёт момент относительно точки касания, возвращающий тело в положение равновесия. В случае, когда центр тяжести тела лежит выше центра нижнего полушара, момент силы тяжести уводит тело от положения равновесия (правый рисунок).

Для нахождения центра тяжести тела удобно использовать следующий приём. Если тело можно мысленно разделить на такие части, положение центров тяжести которых известно, то центр тяжести всего тела можно найти как центр тяжести системы материальных точек, массы которых равны массам этих частей и расположены в их центрах тяжести. В применении к рассматриваемому телу это означает, что его центр тяжести совпадает с центром тяжести четырёх материальных точек массами, равными массам нижнего и верхних полушаров, расположенных в центрах тяжести нижнего и верхних полушаров соответственно.

Для нахождения центров тяжести полушаров заметим, что существует единственная величина с размерностью длины, характеризующая полушар, – это его радиус. Поэтому расстояние от центра каждого полушара до его центра тяжести выражается через радиус полушара: r_цт = R, где – безразмерный коэффициент пропорциональности, определяемый только формой тела, но не зависящий от его размеров (размеры тела не могут входить в , поскольку их нечем «обезразмерить»). Поэтому неизвестный коэффициент одинаков для всех полушаров (на рисунке положения центров тяжести всех полушаров отмечены крестиками). Следовательно, x-координата центра тяжести всего тела в системе координат, начало которой лежит в центре нижнего полушара, а ось x направлена вертикально вниз, определяется соотношением

где m₁, m₂ и m₃ – массы полушаров радиусами R₁, R₂ и R₃ соответственно. Для вычисления координаты центра тяжести, согласно этой формуле, необходимо знать коэффициент . Однако в задаче нужно только сравнить положение центра тяжести с центром нижнего полушара, а для этого коэффициент не нужен. Действительно, если центр тяжести тела лежит ниже центра нижнего полушара, то его координата х_цт > 0, если выше, то х_цт < 0. Из предыдущей формулы заключаем, что центр тяжести тела лежит ниже центра нижнего полушара, если R₁m₁ – R₂m₂ – 2R₃m₃ > 0, и выше, если R₁m₁ – R₂m₂ – 2R₃m₃ < 0.

Выражая массу полушаров через их плотности и объёмы, заключаем, что устойчивость или неустойчивость равновесия тела определяется сравнением двух величин:

Подставляя в последнюю формулу заданные в условии значения радиусов и плотностей, получаем

т.е. равновесие устойчиво.

__________________________________________

Векторы обозначаются южирным шрифтом. – Ред.