Окончание. См. № 2/06

Проф. Е.Н.ЕЛИНОВСКИЙ, А.В.СЛЮНЯЕВ,
Институт прикладной физики РАН, г. Н.Новгород
enpeli@mail.ru; slunyaev@hydro.appl.sci-nnov.ru

Волны-убийцы

На рис. 7 представлен лабораторный эксперимент. Сверху вниз даны моментальные снимки (слева) и профили волны (справа). Профили волн построены по показаниям стационарных датчиков, расположенных по ходу движения волн. Поэтому, читая первую запись (точка 3,6 м) слева направо, получаем, что сначала идут короткие волны, а потом – более длинные. За время пробега 80 м образуется одиночная волна высотой 3,2 м (при глубине бассейна 4 м), окружённая небольшими волнами; она обрушивается, и цуг преобразуется в малоамплитудную группу волн.

Рис. 7. Дисперсионная фокусировка цуга волн в бассейне [G.Clauss. – Applied Ocean Research, 2002, . 24, p. 147]

Наибольшая волна образуется, если скорости (а значит, и длины волн) подобраны специальным образом, который легко найти аналитически из условия, что через время T_f все индивидуальные волны, распространяющиеся с зависящей от координаты скоростью (x), придут в точку L (рис. 8):

         (4)

Рассматривая глубокую воду (аналогично можно поступить и для случая мелкой воды), подставляем связь скорости волн с её длиной (3) и получаем

–         (5)

квадратичный закон (x), передние волны короче последующих. После сжатия начинается обратный процесс – дисперсионное расплывание – со временем большая волна снова разбивается на длинную группу волн разных длин волн, но теперь более быстрые (длинные) волны убегают вперед, а короткие от них отстают (правая часть рис. 8).

Рис. 8. Схематическое представление дисперсионного сжатия

Отличительным свойством дисперсионного сжатия является его устойчивость к случайным возмущениям: высокая волна будет образовываться даже в присутствии сильного случайного волнения, как показано на рис. 9. Процесс дисперсионного сжатия также оказывается устойчивым к нарушению наиболее выгодного для сжатия закона модуляции (5).

Рис. 9. Дисперсионное cжатие в присутствии случайных волн: a) начальное условие со «спрятанной» частотной модуляцией – видна группировка у центра интенсивных (красных) волн, пока с небольшой амплитудой; б) момент образования большой волны [A.Slunyaev et al.– Physica D, 2002, . 173, p. 77]

Формально можно собрать вместе сколь угодно много волн и получить сколь угодно высокую волну, что нереализуемо на практике, т.к. с ростом амплитуды волны законы её поведения изменяются (проявляются нелинейные эффекты). Одна волна в действительности меняет поверхность воды, делая её неровной, другая волна, налезая, начинает деформировать первую, отдавая часть энергии и, следовательно, деформируясь сама. Для волн большой амплитуды перестаёт работать принцип суперпозиции (независимого сложения), использованный выше для демонстрации эффектов дисперсионного и геометрического фокусирований. Нелинейность приводит к новым эффектам в поведении волнового поля. В частности, возможно распространение одиночного гребня, не изменяющегося в процессе движения, при этом его характерная длина превышает глубину воды. Видимо, первым такую одиночную волну наблюдал Скотт Рассел в канале Юнион близ Эдинбурга (Шотландия) в августе 1834 г. Рассел дал ей название волна трансляции, это была одиночная волна возвышения, что разительно отличало её от привычных весьма нерегулярных волн на поверхности воды. Существование такой волны позднее было подтверждено в экспериментах, были найдены теоретические модели, её описывающие. Новое название – солитон – волна трансляции получила в 60-х гг. XX в., когда выяснились другие исключительные свойства этой волны – способность при столкновении с другими волнами и солитонами сохранять свою индивидуальность, восстанавливая форму после взаимодействия, как упругая частица. В разных физических приложениях солитон может выглядеть по-разному, но везде ведёт себя как самостоятельная частица⁸.

В принципе, солитон сам уже может представлять собой аномальную волну, однако такая волна оказывается долгоживущей, её можно заметить на большом расстоянии (если погодные условия позволяют) и приготовиться к встрече. Но если таких солитонов несколько (хотя бы два), то взаимодействующие под малым углом два солитона могут приводить к усилению поля в 4 раза в области перетяжки, как показано на рис. 10.

Рис. 10. Сходящиеся под разными углами солитоны на поверхности мелкой воды [P.Peterson et al. – Nonlinear Processes in Geophysics, 2003, v. 10, p. 503]

Нелинейные эффекты проявляют себя по-разному на разной глубине: если на мелкой воде они приводят к существованию одиночных волн (гребней), то на глубокой воде возникают уединённые группы волн, так называемые солитоны огибающей⁹ . На рис. 11 приведены записи, полученные с буёв, установленных на разном удалении от берега. Видно, как отличаются друг от друга волны на различной глубине: на рис. 11, а они сильно асимметричны (высокие крутые гребни и пологие ложбины) и похожи на множество солитонов, на рис. 11, б – симметричны. Также хорошо выделяются уединённые группы волн (наиболее заметная группа видна при временах 200–220 с). Именно с формированием нелинейных волновых групп на глубокой воде связывают сейчас явление «девятого вала». Такие образования могут существовать достаточно долго и, как и все солитоны, упруго взаимодействовать с другими волнами. При формировании солитонов огибающей из почти одинаковых волн происходит перераспределение энергии между волнами и её фокусировка в группе или даже в отдельной волне, амплитуда которой возрастает. В рамках упрощённых моделей этот процесс хорошо изучен, существуют точные решения, его описывающие. В одномерном случае (когда движение поперёк волнового фронта не учитывается) волны могут усиливаться в три раза, а с учётом поперечного волнового движения усиление может быть и больше (согласно нашим численным экспериментам, в семь и более раз). Формирование сильно нелинейных волн-убийц в рамках более аккуратных моделей до конца ещё не изучено, но уже получены существенные отличия от предсказаний приближённой модели: предел усиления оказывается несколько выше, отличается закон роста пиковой волны. Свежий результат численного моделирования образования аномально высокой волны в рамках точных гидродинамических уравнений показан на рис. 12. Видна сформировавшаяся одиночная волна, которая достигла крутизны обрушения. В качестве начального условия расчёта волнового движения брались 10 волн одинаковой длины, но слегка отличной амплитуды. Эффекты дисперсионной и геометрической фокусировок могут сопровождать и усиливать нелинейные процессы формирования волны-убийцы.

Рис. 11. Изменение формы волн с глубиной: а) 1,6 м; б) 18 м. Н – смещение поверхности моря

Рис. 12. Результат численного моделирования формирования волны-убийцы [A.I.Dyachenko, V.E.Zakharov. – Письма в ЖЭТФ, 2005, т. 81, с. 318]

Нами были проанализированы 11 записей аномально высоких волн, полученных на нефтедобывающих платформах North Alwyn и Draupner. Оказалось, что волны-убийцы всегда вырастают на солитонах огибающей. С помощью специального метода последние были выделены в записях, и было оценено потенциальное усиление волн, которое может быть достигнуто в результате взаимодействия солитонов огибающей с другими волнами (соответственно зелёный и красный цвета* на рис. 13). (*На сайте нашей газеты в интернете иллюстрации даются в цвете, поэтому мы сочли правильным не снимать обозначения цвета, несмотря на чёрно-белую печать в бумажном варианте. – Ред.). Как видно из диаграммы, динамики солитонов огибающих иногда достаточно для объяснения наблюдаемых высот волн, поэтому их роль представляется очень важной в процессе формирования волн-убийц. С другой стороны, в записях всегда отслеживается значительная модуляция параметров волн, которая ведёт к постоянному схождению-расхождению волн. В качестве примера приведён рис. 14, на котором построена локальная длина волны в течение 20-минутной записи. Она варьируется от 67 до 225 м, что соответствует вариации скорости волн от 5,1 до 9,5 м/с.

Рис. 13. Вклад солитонов огибающей (слева, зелёный* цвет) и фонового волнения (Нs/2, справа, красный* цвет) в амплитуду аномально высоких волн [A.V.Slunyaev et al. – Труды Международного симпозиума «Topical Problems of Nonlinear Wave Physics», N.Novgorod, 2005, v. «NWP-3», p. 102]

Рис. 14. Запись изменения длины волны за 20 мин. Аномально высокая волна зарегистрирована в момент 786 с

Записи осуществляются в одной пространственной точке – там, где установлен записывающий буй или другой измеритель. Получаемая информация о волнах далеко неполная: неизвестной остается предыстория, равно как и поведение волн после ухода из точки регистрации. Для определения времени жизни аномально высоких волн проводят численное моделирование на основе имеющейся записи и получают поведение волн в точках вверх и вниз по направлению их движения. По нашим расчётам, аномально высокие волны могут жить от нескольких секунд до сотни секунд. Можно подсчитать, что за это время волна проходит большое расстояние (до километра). Судя по свидетельствам очевидцев, волны-убийцы могут жить несколько минут.

Неизвестной остаётся также пространственная структура волны-убийцы. Более полную информацию давала бы система записывающих устройств, расположенных в различных точках. В последнее время получены снимки аномально высоких волн из космоса с Европейского космического спутника. Для этого Немецким аэрокосмическим центром было обработано 30 000 снимков морской поверхности. Полученные результаты дают представление о трёхмерном изображении аномально высоких волн и открывают возможность максимально реалистичного моделирования волн-убийц. Пример регистрации высокой волны (29,8 м) дан на рис. 15. Её гребень отмечен красной точкой на взволнованной поверхности, ниже дан профиль волны вдоль её движения (разрез по белой линии). Неожиданным для исследователей оказалось большое число зарегистрированных высоких волн за относительно короткое время (более 10 за три недели наблюдений), была составлена карта максимальных высот волн (они построены цветом на рис. 16). Видно, что наиболее интенсивные волны наблюдаются в средних широтах на больших акваториях (где разгон волн, а значит, и способность ветра передавать энергию волнам, велики).

Рис. 15. Космический снимок морской поверхности с аномально высокой волной. Высота волны-убийцы 29,8 м

Рис. 16. Карта максимальных наблюдённых высот волн (по результатам наблюдений из космоса). Максимальные высоты отмечены цветом

К настоящему времени существуют сотни инструментальных записей волн, относимых к аномально высоким. Они получены стационарно установленными измерителями и выбраны по результатам многолетнего отслеживания волнового движения. Такие множественные измерения существуют, например, в Северном и Японском морях, в Атлантическом океане у побережья Бразилии. Волны-убийцы зарегистрированы также в Чёрном море недалеко от Геленджика. Относительно большое число измеренных волн позволяет строить статистику волн-убийц: оценивать частоту их появления и получать обобщённую картину явления. Следует отметить, что статистика поверх-ностных волн была разработана достаточно давно, но в ней используются предположения, которые хорошо подходят для волн малой высоты и оказываются несправедливыми для волн с экстремальными параметрами, которыми являются волны-убийцы. Теоретический подход в разработке новой статистической теории (помимо собственных трудностей) неясен в силу не определённой до конца природы волн-убийц. Оценки же повторяемости высоких волн необходимо сделать как можно скорее, т.к. они закладываются в нормы строительства кораблей и морских сооружений. Например, по существующим представлениям, в Баренцевом море волна высотой 24 м (в Северном море – 30 м) возможна раз в 100 лет. Современные наблюдения волн-убийц оказались неожиданно частыми, поэтому было выдвинуто предположение о значительном отличии статистики аномально высоких волн от доныне используемой.

В рамках классической статистической модели вероятность¹⁰ высот волн определяется распределением Рэлея:

         (6)

Если в (6) подставить условие на высоту волны-убийцы (1), то получим P(2H_s) 0,000 336, что соответствует одной волне из примерно 3000. Для характерного периода ветровых волн 10 с следует, что волна-убийца должна возникать каждые 8–9 ч. Волна же, превышающая H_s в 3 раза, может наблюдаться раз в 20 лет. Для построения адекватной статистики требуется много схожих событий, поэтому нужны длительные измерения (на основе не менее 10 тысяч индивидуальных волн). Обработка результатов многолетних измерений волн на настоящий момент даёт неоднозначный ответ о частоте появления волн-убийц. Некоторые исследователи говорят о применимости распределения Рэлея и даже о более редком появлении волн-убийц, чем это предсказывается формулой (6). Другие авторы заявляют о значительном превышении вероятности появления волн-убийц над рэлеевским распределением. В последнем случае частота повторяемости волн с превышением H/H_s = 3,19 (максимальное усиление волн, зарегистрированное на платформе North Alwyn) оказалась в 300 раз выше.

Как альтернатива многолетним полевым наблюдениям может использоваться численное моделирование. Оно позволяет рассматривать волнение в постоянных погодных условиях, что невозможно в случае измерений реальных волн, и следить за влиянием отдельных параметров на частоту появления волн-убийц. На рис. 17 приведён результат обработки численного моделирования нелинейных волн на мелкой воде для различных значений средней высоты волн, которая характеризуется так называемым параметром Урселла¹¹ (Ur = H/h³). Построена вероятность максимальной амплитуды волн, нормированной на значительную амплитуду¹². Видно, как с ростом нелинейности (числа Урселла) растёт вероятность появления высоких волн. Положение «Нелинейность ведёт к более частому появлению волн-убийц» является уже признанным фактом и свидетельствует о важной роли нелинейности в этом явлении. В качестве других параметров волнения, от которых зависит вероятность появления волн-убийц, может быть разброс волн по длинам и направлениям. Вероятность появления волн-убийц оказывается выше, когда большая доля волн имеет близкие значения длин, а значит, близкие скорости распространения. Этот факт связан с созданием подходящих условий для сильного нелинейного взаимодействия волн.

Рис. 17. Вероятность нормированных амплитуд волн для различных значений параметра Урселла (Ur). Результат численного моделирования нелинейных уравнений мелкой воды [E.Pelinovsky et al.– Труды Международной конференции «Frontiers of Nonlinear Physics»: Н.Новгород, 2004]

Проблема волн-убийц в настоящее время не решена окончательно, но проводимые исследования и полученные результаты уже существенно продвинули понимание условий и сценариев формирования аномально высоких волн на поверхности океана. Исследования проводятся в рамках масштабных международных проектов (например, MaxWave, включающего 11 исследовательских групп). В России имеется несколько групп, работающих над проблемой. Последние 5 лет проводится специальная сессия «Волны-убийцы» в рамках ежегодных ассамблей Европейского геофизического общества. Большое количество информации о волнах-убийцах доступно в интернете, недавно выпущена первая монография (А.А.Куркин, Е.Н.Пелиновский. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. – Н.Новгород: НГТУ, 2004) с обзором известных данных и физических моделей волн-убийц.

Алексей Викторович Слюняев – выпускник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского 1999 г., доктор L’Universite de la Mediterranee (Университет Средиземноморья, Марсель, Франция), к.ф.-м.н. (с 2002 г.), старший научный сотрудник ИПФ РАН (с 1999 г.). Женат, дочери 6 лет. Хобби – ремонт.

__________________________________

⁸ Солитоны совершили революцию в современной нелинейной физике, рассказ о них можно найти во многих книгах, например: А.Т.Филиппов. Многоликий солитон. – М.: Наука, 1986.

 ⁹ Определяя нестрого, огибающая – линия, которая образуется, если обвести максимумы волн.

¹⁰ Вероятность, определённая по формуле (6), – это доля волн с высотой не менее Н в общем числе волн.