Продолжение. См. № 1/06

С.С.ЧЕСНОКОВ, С.Ю.НИКИТИН,
И.П.НИКОЛАЕВ, Н.Б.ПОДЫМОВА,
М.С.ПОЛЯКОВА, проф. В.И.ШМАЛЬГАУЗЕН,
физфак МГУ, г. Москва
chesnok@ msuilc.phys.msu.su

Хочу учиться на ВМК!

и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2005 г.

III. Электродинамика

1 Две заряженные частицы помещены в однородное электрическое поле напряженностью E. Частица массой m несет отрицательный заряд –q, а частица массой M – положительный заряд Q. На каком расстоянии d друг от друга нужно расположить частицы, чтобы при их движении из состояния покоя расстояние между частицами оставалось неизменным? Электрическая постоянная ₀.

Решение

Частицы расположены на одной силовой линии электрического поля (см. рисунок). Величины сил, действующих на частицы, равны

F₁ = qE; F₂ = QE.

Полагая, что ускорения частиц равны, по второму закону Ньютона, имеем:

Исключая из этих уравнений ускорение частиц a, получаем ответ:

Поскольку начальные скорости частиц равны нулю, а их ускорения совпадают, расстояние между частицами при их движении будет оставаться постоянным.

2 Два маленьких шарика одинаковой массой m, несущие заряды q и –q, закреплены на концах невесомого непроводящего стержня длиной 2l. Система находится в электрическом поле неподвижного точечного заряда Q, удаленного от центра стержня на расстояние L. Первоначально стержень удерживают так, что он располагается перпендикулярно линии, соединяющей его центр и заряд Q (см. рисунок). Затем стержень отпускают, и он начинает вращаться без трения вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости рисунка. Определить угловую скорость вращения стержня в тот момент, когда она достигнет максимального значения.

Решение

Угловая скорость вращения стержня максимальна в тот момент, когда сила притяжения между зарядами Q и –q и сила отталкивания между зарядами Q и q не имеют составляющих, перпендикулярных стержню, т. е., когда заряды Q, –q и q лежат на одной прямой. Поскольку кулоновские силы потенциальны, для решения задачи можно применить закон сохранения энергии, используя для энергии взаимодействия двух точечных зарядов Q и q, находящихся на расстоянии x друг от друга, формулу

В начальном состоянии стержень неподвижен, а энергии взаимодействия пар зарядов Q, q и Q, –q равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому начальная энергия системы равна нулю. Полагая, что в конечном состоянии заряды Q, –q и q находятся на одной прямой, по закону сохранения энергии имеем

где = l – линейная скорость каждого из шариков. Отсюда легко получить ответ:

3 Два маленьких шарика, несущие заряды q и –q, закреплены на концах невесомого стержня длиной 2l. Система находится в электрическом поле неподвижного точечного заряда Q, удалённого от центра стержня на расстояние L. Первоначальное расположение шариков показано на рисунке. Какую работу A нужно совершить, чтобы повернуть стержень на 180° вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр? Силу тяжести не учитывать. Электрическая постоянная ₀.

Решение

Поскольку кулоновские силы потенциальны, работа A равна изменению потенциальной энергии системы:

A = E_п2 – E_п1,

где

(См. решение задачи 2.) Тогда

4 Маленький шарик, несущий заряд q, закреплён на пружине жёсткостью k. На расстоянии L от этого шарика удерживают другой такой же шарик с зарядом, равным –q. Какую работу A нужно совершить, чтобы, медленно отодвигая второй заряд от первого, увеличить расстояние между ними в 2 раза? Действием силы тяжести пренебречь. Электрическая постоянная ₀.

Решение

Искомая работа равна изменению потенциальной энергии системы: A = E_п2 – E_п1, где

При этом начальное x₁ и конечное x₂ удлинения пружины определяются условиями равновесия заряда q:

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

5 На длинной нити подвешен маленький шарик массой т = 10 г, несущий заряд q = 10^–7 Кл. В некоторый момент включают горизонтально направленное однородное электрическое поле напряжённостью Е = 5 • 10⁴ В/м. На какой максимальный угол _max отклонится после этого нить? Ускорение свободного падения принять g = 10 м/с².

Решение

Работа сил электростатического поля равна изменению механической энергии шарика:

где – угол отклонения нити, l – её длина, – скорость шарика. При максимальном отклонении нити от вертикали скорость шарика обращается в нуль, следовательно,

Последнее выражение приводим к виду

Отсюда следует ответ:

6 Два одноимённо заряженных металлических шарика находятся в вакууме на расстоянии, намного превышающем радиусы обоих шариков. Радиус и заряд первого шарика равны соответственно R₁ = 4 см и Q₁ = 10^–8 Кл. Чему равны радиус R₂ и начальный заряд Q₂ второго шарика, если известно, что после соединения шариков тонким проводом напряжённость электрического поля вблизи поверхности первого шарика изменилась в k₁ = 4 раза, а вблизи второго – в k₂ = 0,5 раза?

Решение

До соединения шариков проводом потенциалы шариков и напряжённости электрического поля вблизи их поверхностей равны соответственно:

После соединения шариков их потенциалы станут одинаковыми за счёт перетекания зарядов. Обозначив заряды шариков после соединения через и имеем:

Отсюда

Следовательно, напряжённости поля у поверхностей шариков станут:

В итоге получаем систему уравнений:

Разрешая эту систему относительно R₂ и Q₂, получаем ответ:

7 Радиусы двух проводящих концентрических сфер отличаются в 2 раза. Внутренняя сфера заряжена отрицательным зарядом, а внешняя – положительным, причём величина заряда внешней сферы в три раза больше модуля заряда внутренней сферы. Во сколько раз п изменится потенциал внутренней сферы, если эти сферы соединить проводником?

Решение

Пусть заряд на внутренней сфере равен –q. Тогда заряд на внешней сфере 3q. До соединения сфер проводником потенциал внутренней сферы

После соединения сфер весь заряд с внутренней сферы перейдёт на внешнюю сферу. Потенциал внутренней сферы станет равным потенциалу внешней:

Ответ.   Потенциал внутренней сферы увеличится в 2 раза.

8 Герметично закрытый плоский конденсатор заполнен диэлектрической жидкостью, занимающей половину его объема. Диэлектрическая проницаемость жидкости . Вначале ёмкость конденсатора была измерена при вертикальном положении пластин. Затем его повернули так, что свободная поверхность жидкости стала параллельна пластинам. Чему равно отношение n ёмкостей конденсатора в этих двух положениях?

Решение

Обозначим ёмкость пустого конденсатора через С. Тогда при заполнении его жидкостью на половину высоты при вертикальном расположении пластин ёмкость составит:

При горизонтальном расположении пластин ёмкость будет:

Ответ.

9 Плоский конденсатор заполнен веществом с диэлектрической проницаемостью = 3 и удельным сопротивлением = 10⁸ Ом • м. Найдите сопротивление R между обкладками конденсатора, если его ёмкость равна С = 100 пФ. Электрическая постоянная ₀ = 8,85 • 10^–12 Ф/м.

Решение

Сопротивление слоя среды толщиной d и сечением S вычисляется по формуле Ёмкость плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием между ними d равна Сравнивая эти выражения, получаем ответ:

Продолжение в № 5