В.А.СПАЖАКИН,
МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва

Познавательные задачи с названиями

Кинематика

Учащийся знает физику, если он умеет решать задачи.

Энрико Ферми

Под познавательными будем понимать задачи, в ходе решения которых учащиеся либо приобретают новые знания об окружающем мире, либо обнаруживают несколько красивых решений, т.е. эти задачи познавательны в плане изучения собственно физики. Помимо этого, опыт показывает, что задачи с краткими и точными названиями легче запоминаются учащимися. Хорошо предлагать такие задачи для закрепления пройденного теоретического материала, изучения приёмов, навыков решения расчётных задач. Такие задачи, как «Неподвижный блок», «Подвижный блок», «Наклонная плоскость», «Конический маятник» и т.д., наверняка имеются в арсенале каждого учителя. Рассмотрим ещё несколько интересных и важных, на наш взгляд, примеров.

Задача 1. Подводные лодки

Три подводные лодки разных государств следят друг за другом, причём каждая последующая – за предыдущей, и в некоторый момент времени оказываются в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Они начинают одновременно двигаться с постоянной скоростью каждая, причём каждая движется в направлении на предыдущую. Найдите, где они встретятся, через какое время t это произойдёт и какой путь s пройдёт каждая из них.

Решение. Из соображений симметрии ясно, что встреча произойдёт в центре треугольника O.

1-й способ. Скорость _отн подлодки 3 относительно подлодки 1 имеет составляющую, направленную к подлодке 1. Это есть их скорость сближения _сбл, она постоянна по модулю. Из рисунка видно, что

_сбл =  +  cos 60° = .

Поскольку начальное расстояние между подлодками равно a, то

2-й способ. Движение подлодки можно представить, как движение к центру треугольника O и вращение вокруг него.

Тогда

_ц =  cos 30° = 

Задача 2. Ящик

К ящику привязали один конец верёвки, а другой её конец перекинули через забор и тянут со скоростью . В некоторый момент времени угол между горизонталью и отрезком верёвки, привязанным к ящику, равен . Найдите скорость ящика u.

1-й способ. Поскольку длина нерастяжимой связи постоянна, то скорость выбирания верёвки равна проекции скорости ящика на направление верёвки:  = u cos   u = /cos .

2-й способ. Движение точки закрепления верёвки можно представить, как движение к т. О (укорачивание верёвки) и поворот вокруг т. О. Тогда

u =  + _вр; u = /cos .

Задача 3. Колонна

Спортсмены бегут колонной длиной l с одинаковой скоростью . Навстречу бежит тренер со скоростью u (u < ). Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, бежит назад с той же скоростью . Какова будет длина колонны x, когда все спортсмены развернутся?

1-й способ. Свяжем систему отсчёта (СО) с колонной. Время движения тренера от первого до последнего спортсмена «неподвижной» колонны t = . За это время повернувший назад 1-й спортсмен, двигаясь относительно колонны со скоростью 2, пробежит путь s = 2t. При этом часть пути l он бежит до последнего спортсмена, а остальное – от него. Поэтому после разворота расстояние между первым и последним спортсменами (длина новой колонны) равно

x = s₁ – l = l.

2-й способ. Свяжем СО с тренером. Скорость сближения колонны с тренером равна  + u, скорость удаления колонны  – u, следовательно,

x = ( – u)t =  l.

3-й способ. Свяжем СО с Землёй:

x₁ = l –  • t; x_N =  • t; x = |x₁ – x_N| = =  = l.

Задача 4. Закон Хаббла

Астрономы из галактики A видят, что все другие галактики удаляются от них со скоростями, пропорциональными расстоянию: _В = kr_AB; _C = kr_AC и т.д. Что видят астрономы из галактики B?

Решение. Скорость галактики С относительно галактики В равна

 = ^'_C – _B = kr_AC – kr_AB = k(r_AC – r_AB) = k(r_AC + r_BA) = kr_BC.

Таким образом, астрономы из галактики В увидят то же самое, что и наблюдатели из галактики А: все другие галактики разлетаются от них со скоростями, пропорциональными расстояниям до них, причём коэффициент пропорциональности k при переходе в другую СО остаётся тем же самым. В этом и состоит закон Хаббла. По современным данным, значение постоянной Хаббла Н = 75 (км/с)/Мпк.

Задача 5. Ветер

Приборы, установленные на берегу, показывают, что ветер дует с юго-запада, а величина его скорости  =  5  м/с. Что покажут аналогичные приборы, установленные на корабле, идущем на запад со скоростью u = 36 км/ч?

Решение. В задаче идёт речь об определении скорости ветра в двух системах отсчёта: неподвижной СО, связанной с Землёй, и СО, движущейся на запад со скоростью u. В неподвижной системе отсчёта вектор скорости ветра известен и равен .

Из соотношения  = u + ', связывающего скорости ветра в неподвижной и движущейся СО, находим вектор скорости ветра ' относительно корабля:

' =  – u.

Последнее выражение представляет собой фактически два независимых уравнения для проекций на оси x и y прямоугольной системы координат. Пусть – угол между вектором и осью x. Тогда имеем систему уравнений:

из которой находим:

(Последнее соотношение можно получить непосредственно, применяя теорему косинусов к треугольнику, образованному векторами , u и '.) Подставляя числовые данные, получаем:   15°; '  14 м/с.

Задача 6. Водные лыжи

Катер, движущийся со скоростью ₁ = 30 км/ч, буксирует спортсмена на водных лыжах. Трос, за который держится спортсмен, составляет с направлением движения катера угол  = 150°. Направление движения спортсмена образует с тросом угол  = 60°. Чему равна величина скорости спортсмена ₂ в этот момент времени?

Решение. Воспользуемся общим принципом решения таких задач: проекции скоростей на недеформируемую связь равны. Это ясно интуитивно, а строго доказано в работе: Спажакин В.А. Задачи, в которых ничего не дано. – Физика в школе, 1997, № 6. Тогда

т.е. почти вдвое превосходит скорость катера. Формально при   скорость спортсмена становится достаточно большой, но, конечно, раньше начнёт поворачиваться корма катера и изменяться направление его скорости.

Дергунов В.В. Задачный подход к изучению физики. – Физика («ПС»), 2004, № 27–28.

Павленко Ю.Г. Физика: Пособие для поступающих в вузы. – М.: Новая волна, 2002.

Spazhakin V., Markova S. Role of problem solving in physics education: Quality Development in Teacher Education and Training. Second girep seminar. – Italy, 2003.