М.Т.Кац,
г. Тверь

Задачи по физике и математике

Трудности при решении задач по физике связаны не только с недостаточным знанием и пониманием физических явлений и законов, но и с недостатком у учащихся математических средств (методов, моделей и др.). Первая часть работы посвящена задачам на прямо и обратно пропорциональные зависимости, предлагаются нестандартные математические модели. Во второй части рассматриваются задачи на наименьшие и наибольшие значения, обращается внимание на использование широкоизвестных в математике теорем и выбор различных способов решения.

I. Прямо пропорциональная зависимость

(y = kx, где k = const)

В качестве геометрической модели в этом случае можно использовать ряд подобных треугольников и пропорциональных отрезков:

и т.п.

, или и т.п.

Задача 1. Поезд проехал с постоянной скоростью мимо светофора за t = 5 с, а мимо платформы длиной L = 150 м за T = 15 с. Каковы длина поезда l и его скорость ?

Решение

1-й способ (подобие треугольников):

2-й способ (пропорциональность отрезков):

Задача 2. Нагревательный элемент электрического чайника имеет две секции. При включении первой секции вода в чайнике закипает за t₁ = 10 мин, а при включении второй секции – за t₂ = 40 мин. Через какое время закипит вода, если обе секции включить последовательно? параллельно?

Решение

где – коэффициент пропорциональности.

R₂ = 4R₁.

При последовательном соединении

t₁' – 10 = 40 (мин); t₁' = 50 мин.

При параллельном соединении

t₂' = 8 мин.

Задача 3. Когда груз, совершавший колебания на вертикальной пружине, имел массу m1, период его колебаний был равен T₁ = 4 с, а когда его масса стала равной m₂, период увеличился до T₂ = 5 с. Каким будет период T, если масса груза будет равна m = m₁ + m₂? Массы m₁ и m₂ неизвестны.

Решение

где – коэффициент пропорциональности.

II. Обратно пропорциональная зависимость

(y = , или x • y = k, где k = const)

Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Из равенства xy = k имеем

x₁y₁ = x₂y₂ = x_ny_n, а геометрически – ряд равновеликих прямоугольников.

Если x₁y₁ = x₂ y₂, то (x₂ – x₁)y₂ = x₁(y₁ – y₂) (заштрихована общая часть двух площадей S, при этом S₁ = S₂).

Задача 4. Самолёт пролетел расстояние между двумя городами при попутном ветре за t₁ = 5 ч 30 мин, а при встречном ветре за t₂ = 6 ч. Определите расстояние l между городами, если скорость ветра u = 10 км/ч.

Решение

Если – скорость самолёта, то:

0,5( – 10) = 5,5 • 20;  – 10 = 11 • 20;  = 230; l = 6 • (230 – 10) = 1320 (км).

Задача 5. За одинаковое время один математический маятник делает N₁=50 колебаний, а второй N₂=25 колебаний. Найдите их длины l₁ и l₂, если один короче второго на l = 33 см.

Решение

Видно, что квадрат числа колебаний обратно пропорционален длине маятника.

(502 – 252)l1 = 252 • 0,33; 75 • 25 • l1 = 252 • 0,33; l =   = 0,11 (м).

Аналогично находим l₂ = 0,44 м.

Задачи на наименьшие и наибольшие значения

Рассмотрим несколько математических теорем и примеры их использования при решении задач по физике.

Теорема 1. Произведение двух положительных сомножителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей.

Теорема 2. Сумма двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых.

Обе теоремы рассматриваются в виде задач (иногда доказываются) при изучении производной в старших классах. Они несложно доказываются средствами элементарной математики несколькими способами. Приведём одно из них для теоремы 1.

Пусть данное число равно a, одно слагаемое x, другое a – x. Сравним произведения и x • (a – x):

 – x(a – x) =  – ax + x2 =  

Итак,   x (a – x).

Простейший пример из физики.

Два точечных электрических заряда q₁ = 4 мкКл и q₂ = 10 мкКл находятся на расстоянии r. Как перераспределить заряды, чтобы сила взаимодействия между ними была наибольшей?

Решение

F = k; q1 + q2 = 14 мкКл = const.

Fmax будет при равенстве зарядов, следовательно, нужно от заряда q₂ отнять 2 мкКл и передать заряду q₁.

Задача 6. При каком значении силы тока мощность на внешнем участке цепи будет наибольшей при известных значениях ЭДС и внутреннего сопротивления источника тока?

Решение

1-й способ:

         (1)

Сумма сомножителей  – величина постоянная, следовательно, по теореме 1, наибольшая мощность достигается при равенстве сомножителей:

При этом

2-й способ: определение координат вершины параболы p(I), задаваемой формулой (1).

I0 =

Задача 7. Тело, двигаясь равномерно и прямолинейно со скоростью , проходит путь s = 3,2 км, после чего движется равнозамедленно с ускорением a = 2 м/с. При каком значении скорости будет затрачено минимальное время на прохождение всего пути до полной остановки тела?

Решение

1-й способ:

t = t1 + t2 = .

Произведение  = const, поэтому tmin достигается при , т.е. при  =   (по теореме 2). Подставим числовые значения: tmin при  =  = 80 (м/с).

При  = 80 м/с

tmin =  = 40 + 40 = 80 (с).

2-й способ: воспользуемся неравенством , где

Тогда .

₂ – 160 + 6400  0.

( – 80)²  0; t_min – при  = 80 м/с.

Таким образом, мы видим, что математика помогает физике. Знание простейших математических приёмов облегчает решение физических задач.

---

ОТ РЕДАКЦИИ
Рекомендуем также обратиться к статьям:
Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 1961.
Спажакин В.А., Пересторонина Е.Б. Согласованное преподавание физики и математики. Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий: Материалы международной конференции и Российской научной школы. Ч. 8, кн. 3. – М.: Радио и связь, 2002.