Геофизическая задача

«Справочник по физике» А.С.Еноховича (М.: Просвещение, 1990) содержит много информации. При углублённом изучении физики его можно использовать не только по прямому назначению, но и как базу для постановки физических задач. Например, рассмотрим табл. 339 «Давление на различной глубине Земли» на с. 261. Объясним теоретически приведённые в ней данные в рамках простой физической модели однородной Земли, имеющей среднюю плотность 0 = 5500 кг/м³. Это интересно само по себе и полезно методически с точки зрения межпредметных связей курсов физики, геофизики и математики. [Среднюю плотность земной коры в соответствии с известными данными будем считать равной к = 2900 кг/м³, а плотность верхней части мантии м = 3300 кг/м³. – Ред.]

Известно (см., например, «Механику» под ред. Г.Я.Мякишева, 1995, с. 234–247), что сила гравитационного притяжения, действующая со стороны однородной сферы на тело, равна нулю при любом положении этого тела внутри сферы. Далее, ускорение свободного падения на расстоянии r от центра Земли есть g(r) = g₀ • , где g₀ – ускорение свободного падения на её поверхности, R – радиус Земли (упр. 8, задача 2 в упомянутой книге).

Найдём давление p на расстоянии r от центра Земли. Давление dp, создаваемое тонким выделенным шаровым слоем радиусом толщиной dx и массой dm = 41x²dx, равно

Искомое давление p создаётся всей земной толщей, расположенной вне шара радиусом r. Поэтому

Поскольку , где M – масса Земли, то

Нам удобнее, однако, ввести глубину h = R – r. Это приводит к соотношению

Расчёты, проведённые по этой формуле, где ₁ = к или ₁ = м, отражены в таблице. Видим, что до глубин около 1000 км вычисленное давление близко к справочному. Далее они сильно различаются. Это связано с простотой выбранной физической модели, не учитывающей скачка плотности на границе мантия–ядро.