Окончание. См. № 22/05

В.А.ПОГОЖЕВ, К.В.ПАРФЁНОВ,
МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва

Физфак МГУ-2005

Покори воробьёвы горы!

Заочный тур (продолжение)

5 Две большие одинаковые металлические пластины, находящиеся в вакууме, могут свободно двигаться вдоль перпендикулярной их плоскостям горизонтальной прямой АВ, проходящей через середины пластин. Середины пластин скреплены между собой лёгкой недеформированной проводящей пружиной жёсткостью k. На прямой АВ на расстоянии L от наружных поверхностей пластин, удерживая их, закрепляют два маленьких шарика, имеющих заряды +q и –q. При каком значении q пластины после отпускания будут совершать колебания с максимальным отклонением от исходного положения, не касаясь шариков?

Решение

Под действием электрических зарядов шариков на обращённых к ним сторонах пластин возникают индуцированные заряды противоположного знака. В результате на каждую из пластин со стороны ближайшего к ней шарика будет действовать сила притяжения, и пластины после отпускания начнут смещаться одинаковым образом от своих исходных положений. Пусть максимальное смещение каждой из пластин от исходного положения равно x_m. Поскольку размеры пластин велики и они соединены проводящей пружиной, можно считать, что электрического поля между пластинами нет, а энергия поля, создаваемого зарядами шариков и зарядами, индуцированными на указанных поверхностях пластин, когда пластины сместились от исходных положений на расстояние х, равна энергии поля двух точечных зарядов, находящихся в вакууме на расстоянии 2(L – x) друг от друга, т.е. равна При этом потенциальная энергия упругодеформированной пружины будет равна W_p = 2kx².

В соответствии с условием задачи силами сопротивления движению пластин следует пренебречь. Будем пренебрегать излучением, возникающим при неравномерном движении заряженных пластин, индуктивностью пружины и её омическим сопротивлением. Поскольку первоначально пластины покоились и при максимальном смещении их скорость равна нулю, то, согласно закону сохранения энергии, при сделанных предположениях должно иметь место соотношение

Обозначим y_m = x_m/L и B = q²/ Тогда для получим уравнение:  с корнями Следовательно, т.е. а потому искомая величина заряда должна быть чуть меньше

Ответ. q чуть меньше и пружина должна допускать растяжение на величину 0,5L, подчиняясь закону Гука.

Очный тур

А. Движение заряженных частиц в постоянных электрическом и магнитном полях. Сила Лоренца.

B. По гладкой горизонтальной плоскости скользит диск радиусом R, вырезанный из тонкого однородного листа металла. В момент времени t = 0 величина скорости точки А, расположенной на краю диска, оказалась равной _A. При этом скорость диаметрально противоположной крайней точки В диска была направлена вдоль прямой, образующей с диаметром АВ угол < 0,5, а скорость точки А совпадала с прямой, образующей с этим диаметром угол < 0,5. Найдите величину перемещения r центра диска к моменту t = . Окончательный расчёт проведите для =60° и =30°.

Решение

Как это обычно и делается при решении подобных задач, будем считать диск твёрдым телом. По условию задачи, диск совершает плоское движение. Как известно, такое движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного и вращательного вокруг оси, перпендикулярной плоскостям, в которых располагаются траектории точек диска. При этом скорость оси – скорость поступательного движения – зависит от выбора точки, называемой полюсом вращения, через которую проходит ось вращения, в то время как угловая скорость вращения не зависит от выбора полюса. Более того, всегда можно выбрать полюс так, чтобы для данного момента времени скорость оси вращения была равна нулю. Такую ось называют мгновенной осью вращения. При этом скорость любой точки твёрдого тела будет направлена перпендикулярно радиусу её вращения (кратчайшему расстоянию от оси до данной точки) и равна произведению угловой скорости вращения на величину этого радиуса.

В соответствии со сказанным находим точку О пересечения перпендикуляров к линиям скоростей точек А и В, восстановленных из этих точек. Если из двух возможных, по условию задачи, направлений скорость _A точки А в момент времени t = 0 направлена так, как показано на рисунке сплошной линией со стрелкой, то, согласно указанному рисунку, диск должен вращаться по часовой стрелке с угловой скоростью = _A/_A, где _A – длина мгновенного радиуса вращения точки А. Обратившись к рисунку, можно доказать, что величина мгновенного радиуса вращения _B точки B удовлетворяет соотношениям:

а потому Кроме того, величина радиуса вращения точки С центра диска в момент времени t = 0 равна

скорость _C этой точки в указанный момент времени направлена так, как показано на рисунке, а её величина равна _C = _C.

По условию задачи, диск скользит по гладкой горизонтальной плоскости, является однородным, и нет указаний, что он подвергается действию каких-либо иных объектов, кроме плоскости и Земли. Поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно утверждать, что скорость _C его центра, направленная горизонтально, не зависит от времени, а потому за время величина его перемещения r = _C.

Ответ.

С. Через некоторое время после замыкания ключа K в схеме, показанной на рисунке, напряжение на конденсаторе С₂ перестало изменяться, а его заряд стал равным q. Параметры элементов указаны на схеме. Зная, что до замыкания ключа все конденсаторы были разряжены, найдите количество теплоты Q, которое может выделиться на резисторе R₁ после этого момента. Диод считать идеальным, индуктивностью элементов схемы и внутренним сопротивлением батареи пренебречь.

Решение

Будем, как обычно, пренебрегать токами утечки в конденсаторах схемы, а ключ K считать идеальным. После замыкания ключа конденсатор С₁ начнёт заряжаться током, текущим не только через резистор R₁, но и током заряда конденсатора С₂. Ток заряда конденсатора С₂ будет уменьшаться со временем и станет равным нулю в тот момент, когда напряжение на этом конденсаторе станет равным напряжению на резисторе R₁. В этот же момент напряжение на диоде D станет равным нулю, а в последующие моменты диод будет заперт, т.к., по условию задачи, он является идеальным. Следовательно, напряжение на конденсаторе С₂ в дальнейшем изменяться не будет, а потому должны выполняться соотношения

а напряжение на конденсаторе С₁ через время после замыкания ключа станет равным Поскольку зарядка конденсатора С₁ будет продолжаться до тех пор, пока напряжение на нём не станет равным ЭДС источника , через источник за время протечёт заряд а на резисторе R₁, согласно закону сохранения энергии, максимальное количество выделившейся теплоты после момента должно удовлетворять соотношению

Ответ.