О.Ю.Шведов, С.Д.Варламов, Д.Э.Харабадзе, И.Н.Горбатый, А.И.Елантьев,
В.А.Погожев, М.В.Семёнов, В.В.Палюлин, А.А.Якута, А.В.Андрианов,
Е.П.Антышев, К.В.Башевой, А.Р.Зильберман, Н.А.Пекальн

Продолжение. См. № 15, 17, 19, 21/05

66-я Московская региональная олимпиада школьников по физике-2005

7–11-й классы

Второй теоретический тур

(продолжение)

Задача 2

На гладком горизонтальном столе вдоль прямой линии покоятся на некотором расстоянии друг от друга N = 2005 кубиков массой M каждый. Вдоль прямой, проходящей через центры масс всех кубиков, летит пуля массой которая пробивает насквозь кубики с первого по 2004-й и застревает в 2005-м. При пробивании каждого покоящегося кубика импульс пули уменьшается на 1/N-ю часть от величины импульса, который имела пуля перед столкновением с первым кубиком. Известно, что при первом столкновении двух кубиков этой системы друг с другом выделяется количество теплоты q. Какое количество теплоты выделится в этой системе, когда все столкновения пули с кубиками и кубиков друг с другом закончатся? Соударения между кубиками абсолютно неупругие.

Решение

Будем считать, что время взаимодействия пули с кубиком очень мало. Пусть скорость пули до пробивания первого кубика была равна ₀. Из условия следует, что импульс пули при пробивании каждого покоящегося кубика уменьшается на одну и ту же величину m₀/N. Следовательно, все кубики с первого по 2004-й после взаимодействия с пулей будут иметь одинаковый импульс, равный убыли импульса пули, т.е. скорости этих кубиков будут равны w = m₀/(MN). Так как в последнем (2005-м) кубике пуля застревает, то его скорость после взаимодействия с пулей равна Значит, в первом соударении кубиков в этой системе будут участвовать 2004-й и 2005-й кубики. Их скорость w' после слипания определяется из соотношения

откуда

Теплоту q найдём из закона изменения механической энергии:

Теперь найдём полное количество теплоты Q, которое выделится в этой системе. После окончания всех столкновений кубики и пуля будут двигаться как единое целое со скоростью

следовательно,

Сравнивая выражения для q и Q, видим, что

поскольку

Задача 3

Капля ртути на чистой горизонтальной поверхности стекла и капля воды на ворсистой поверхности травинки подобны друг другу по форме. Оцените отношение масс этих капель. Плотности ртути и воды равны _р  =  13,6 г/см³ и _в = 1 г/см³ соответственно, а их коэффициенты поверхностного натяжения _р = 0,46 Н/м и _в  =  0,07 Н/м.

Решение

Введём какой-нибудь характерный размер капли, по которому можно полностью определить её размеры, если известна форма капли. Например, выберем в качестве такого размера «высоту» капли H.

Форма капли заданного объёма V, который пропорционален H³, определяется условием минимума суммарной потенциальной энергии капли, которая складывается из энергии E₁, связанной с наличием поверхностного натяжения жидкости, и энергии E₂, связанной с наличием поля силы тяжести: E₁ ~ H₂, E₂~gH₄.

Одна из составляющих суммарной энергии пропорциональна V/H, а другая – V • H. Отношение этих составляющих E₁/E₂ для капель одинаковой формы должно быть одинаково, поскольку именно соотношением этих энергий и определяется форма капли. Поэтому должно выполняться следующее соотношение: Отсюда следует, что Отношение масс капли ртути и капли воды, таким образом, равно

Задача 4

Две очень длинные цилиндрические трубы имеют одинаковую длину и радиусы R и R – r, причём . Труба меньшего радиуса вставлена в бoльшую так, что их оси и торцы совпадают. Трубы заряжены равномерно по площади электрическими зарядами: внутренняя – с поверхностной плотностью заряда +, а внешняя – с поверхностной плотностью –. На оси этой системы, вблизи от одного из торцов цилиндров, измеряют напряжённость электростатического поля E. Найдите, как зависит E от расстояния x до этого торца.

Решение

Выберем на оси цилиндров точку, расположенную вблизи их торца, и построим произвольно ориентированную систему двух конических поверхностей с малым телесным углом между ними, общей вершиной в выбранной точке и общей осью, лежащей на оси цилиндров (см. рисунок). Если данная система пересекает и положительно, и отрицательно заряженные цилиндры, то заключённые между коническими поверхностями заряды пропорциональны соответствующей поверхностной плотности зарядов на цилиндрах, квадратам расстояний до этих зарядов и некоторой одинаковой функции, зависящей только от параметров телесного угла. Указанные заряды создают в выбранной точке нулевое суммарное поле, поскольку оно пропорционально величинам этих зарядов и обратно пропорционально квадратам расстояний от зарядов до этой точки. Не скомпенсированными окажутся только участки положительно заряженного внутреннего цилиндра в форме кольца вблизи торца цилиндра, если точка наблюдения расположена внутри цилиндров (считаем, что при этом x > 0, т.е. ось X направлена внутрь цилиндров, а начало отсчёта находится на их торце). Если же x < 0, т.е. точка наблюдения находится вне цилиндров, то не скомпенсированными окажутся участки отрицательно заряженного внешнего цилиндра, также имеющие форму кольца. Заметим, что другие торцы цилиндров, согласно условию задачи, находятся очень далеко и полем от них можно пренебречь.

Поле кольца радиусом R, имеющего равномерно распределённый по длине заряд Q, на оси кольца на расстоянии x от его плоскости направлено вдоль оси и равно, как нетрудно видеть,

Ширина положительно заряженного кольца (при x > 0) равна, как видно из рисунка, а ширина отрицательно заряженного кольца (при x < 0) равна поскольку . Заряды колец равны соответственно:

Заметим, что отрицательный знак Q– при такой записи получается автоматически, за счёт того что в данном случае x < 0. Объединяя оба выражения для любых значений x, можно записать: Q = • rx. Подставляя это значение Q в выражение для напряжённости поля заряженного кольца, получаем для проекции вектора напряжённости электрического поля на ось X вблизи торца цилиндров:

Задача 5

Имеется бесконечная сетка, составленная из одинаковых проволочек. Сопротивление, измеренное между точками 1 и 2 этой сетки, равно R, а между точками 1 и 3 – r (на самом деле эти сопротивления связаны определённым образом, но не будем усложнять себе задачу!). Найдите сопротивление между точками 1 и 4, выразив его через R и r.

Решение

Во время измерений напряжение в очень далёких точках (узлах сетки) равно нулю. Поэтому, если мы соединим их хорошим проводником, то ничего не изменится. Назовём этот провод «бесконечность». Пусть во время измерений сопротивления напряжение между точками 1 и 2, измеренное идеальным вольтметром, равно U, а ток в измерительной цепи, содержащей источник питания и идеальный амперметр, равен I. Возьмём теперь два одинаковых источника, каждый из которых даёт фиксированный ток I. Первый источник подключим к точке 1 и «бесконечности» так, чтобы ток I тёк по сетке от точки 1 к «бесконечности». Сейчас распределение тока по разным направлениям (по шести проводникам, подключённым к точке 1) равномерно. Второй источник подсоединим к точке 2 и «бесконечности» так, чтобы он снимал с точки 2 ток I, текущий к ней по сетке из «бесконечности». В силу линейности цепи ток в любой её точке теперь будет суммой токов двух источников, для каждого из которых распределение тока симметрично относительно точки, к которой он подключён. Также мы видим, что получили исходную схему.

Рассмотрим случай, когда один источник подключён к точке 1 и «бесконечности». На рисунке показаны участки (пунктирные линии их пересекают), где ток не идёт из соображений симметрии. Очевидно, что I₁₂ = I₂₃ + 2I₂₄ и I = 6I₁₂.

При измерении R₁₂ = R ток, текущий по проволочке 12, очевидно, будет равен 2I₁₂, поскольку токи двух источников складываются. Напряжение между точками 1 и 2 будет равно 2r₀I₁₂, где r₀ – сопротивление одной проволочки. Отсюда R₁₂ = R = 2r₀I₁₂/I = r₀/3. При измерении R₁₃ = r напряжение между точками 1 и 3 будет равно 2r₀(I₁₂ + I₂₃), поскольку текущий по проволочкам 1–2 и 2–3 суммарный ток будет одинаков и равен I₁₂ + I₂₃, а сопротивление

R₁₃ = r = 2r₀(I₁₂ + I₂₃)/I = R(1 + a),

где для a = I₂₃/I₁₂ из последнего уравнения получаем a = (r – R)/R.

Аналогично получаем, что при измерении R₁₄ текущий по проволочкам 1–2 и 2–4 суммарный ток будет одинаков и равен I₁₂ + I₂₄, напряжение между точками 1 и 4 будет равно 2r₀(I₁₂ + I₂₄), и сопротивление

R₁₄ = 2r₀(I₁₂ + I₂₄)/I = R(1 + b),

где для b = I₂₄/I₁₂ из этого уравнения получаем b = (R₁₄ – R)/R. Поскольку I₁₂ = I₂₃ + 2I₂₄, или 1 = a + 2b, то, подставляя a и b, выраженные через R, r и R₁₄, в последнее уравнение, получаем

1 = (r – R)/R + 2(R₁₄ – R)/R,

откуда R₁₄ = 2R – r/2.

11-й класс

Задача 1

На горизонтальной поверхности лежит однородный стержень. Его медленно поднимают, прикладывая к одному из концов силу, всё время направленную перпендикулярно стержню. При каком минимальном коэффициенте трения между стержнем и поверхностью можно поставить стержень в вертикальное положение без проскальзывания его нижнего конца?

Решение

Поскольку стержень поднимают медленно, то при любом угле наклона стержня к горизонту векторная сумма сил, действующих на стержень, равна нулю. Отсюда следует, что

N + Fcos – mg = 0; F_тр – Fsin = 0,

где m – масса стержня, N – нормальная составляющая силы реакции опоры, F_тр – сила трения.

Равен нулю и суммарный момент сил, действующих на стержень. Выбирая за ось вращения горизонтальную ось, проходящую через точку опоры перпендикулярно стержню, получим

Fl – mg(l/2)cos = 0,

где l – длина стержня.

Стержень не будет проскальзывать, если F_тр < N, где – коэффициент трения между стержнем и поверхностью.

Из написанных четырёх условий получаем неравенство

которое должно выполняться при любом угле . Далее находим максимум функции f(x), приравнивая нулю её производную по x = cos2:

откуда получаем, что этот максимум достигается при x = cos2 = 1/3.

Таким образом, чтобы можно было поставить стержень в вертикальное положение без проскальзывания его нижнего конца, коэффициент трения между стержнем и поверхностью должен удовлетворять неравенству

Задача 2

Над идеальным одноатомным газом совершается равновесный процесс 1234567. На рисунке изображён график зависимости количества теплоты Q, сообщённой газу в данном процессе (отсчитывая от его начала), от абсолютной температуры газа T. Все параметры, заданные на осях графика, известны. Найдите, при каких соотношениях между этими параметрами объём газа в результате данного процесса: а) увеличивается; б) уменьшается; в) остаётся неизменным.

Решение

Прежде всего отметим, что, хотя получаемое газом суммарное количество теплоты равно нулю и конечная температура газа равна начальной, газ не обязательно вернётся в прежнее состояние, т.е. точки 1 и 7 на диаграмме состояния не обязательно совпадут. Поэтому на p, V-диаграмме график этого процесса может быть и незамкнутым.

График процесса на этой диаграмме состоит из изотермы 1–2 (температура T₁, газ получает количество теплоты Q₁), адиабаты 2–3 (температура газа возрастает от T₁ до T₃, теплообмен отсутствует), изотермы 3–4 (температура T₃, газ получает количество теплоты Q₃), адиабаты 4–5 (температура газа убывает от T₃ до T₂), изотермы 5–6 (температура T₂, газ отдаёт количество теплоты Q₁ + Q₃) и адиабаты 6–7 (температура газа убывает от T₂ до T₁).

Обозначим на графике цифрой 8 точку пересечения адиабаты 2–3 и изотермы 5–6. Тогда замкнутый процесс 83458 будет являться циклом Карно. В соответствии с формулой для КПД такого цикла, количество теплоты, отданное газом на изотермическом участке 5–8, равно Следовательно, на изотермическом участке 8–6 газ отдаёт количество теплоты, равное Q₁ + Q₃ –

При V₇ > V₁ процесс 67286 замкнут и является циклом Карно, проводимым в «обратную» сторону, т.е. холодильным циклом. При этом на участке 7–2 газ получает количество теплоты, равное и в рассматриваемом случае замкнутого цикла оно должно быть меньше Q₁. Следовательно:

– объём газа увеличивается (V₇ > V₁), если или

– объём газа не изменяется (V₇ = V₁), если

– объём газа уменьшается (V₇ < V₁), если