Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Физика»Содержание №23/2005
Хочу учиться на ВМК!

Продолжение. См. № 21/05

С.С.Чесноков, С.Ю.Никитин, И.П.Николаев,
Н.Б.Подымова, М.С.Полякова, проф. В.И.Шмальгаузен,
физфак МГУ, г. Москва
sergeychesnokov@mail.ru

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2005 г.

I. Механика (продолжение)

5 Невесомый стержень лежит горизонтально на двух опорах A и B. В точке C к стержню приложена сила F, направленная вертикально вниз. Определите величину этой силы, если известно, что расстояние CB в k = 2,5 раза превышает расстояние AC, а нагрузка на опору A превышает нагрузку на опору B на величину f = 30 Н.

Решение

Пусть l – длина стержня. Обозначим через x расстояние AC, а через FA и FB – силы реакции опор, действующие на стержень в точках A и B. Условия равновесия стержня имеют вид:

FA + FB = F; FAx = FB(l – x).

Кроме того, по условию задачи,

FA – FB = f,  

Решая эту систему уравнений, получаем ответ:

6 Сплошной однородный цилиндр массой m располагается на шероховатой наклонной плоскости, образующей с горизонталью угол . На цилиндр намотана нить, которая закреплена на наклонной плоскости так, что её отрезок между цилиндром и точкой закрепления горизонтален. Найдите силу F, с которой цилиндр действует на плоскость, если известно, что он находится в равновесии. Ускорение свободного падения g.

Решение

Цилиндр находится в равновесии под действием сил, изображённых на рисунке, где mg – сила тяжести, T – сила натяжения нити, F' – сила реакции наклонной плоскости. Последнюю удобно разложить на две составляющие: силу нормального давления N и силу трения Fтр. Поскольку линии действия сил mg и T пересекаются в точке A, линия действия силы F' при равновесии цилиндра также должна проходить через эту точку. Следовательно,

Записывая уравнение моментов относительно оси, проходящей через точку O, находим, что N = mg.

Из рисунка видно, что Отсюда По третьему закону Ньютона, величина искомой силы F = F'. Объединяя записанные равенства, находим, что

7 Тонкую деревянную палочку подвесили за один из концов на нити, а другой конец опустили в воду. При этом палочка оказалась наклонённой к горизонтали под углом = 30°, а длина её части, погружённой в воду, составила половину длины палочки. Какую работу A нужно совершить, чтобы вытащить за нить палочку из воды? Длина палочки L, площадь сечения S, плотность воды в, ускорение свободного падения g.

Решение

Плавающая палочка находится в равновесии под действием сил, изображённых на рисунке, где mg – сила тяжести, FA – архимедова сила, T0 – сила натяжения нити. Из уравнения моментов, записанного относительно оси, проходящей через точку подвеса палочки, получаем

02-11.jpg (5507 bytes)

откуда плотность материала палочки а её масса Следовательно, сила натяжения нити в исходном положении палочки равна

Поскольку в уравнении моментов зависимость от угла наклона палочки сохраняется, глубина погружения палочки в воду при любом угле наклона одна и та же. Поэтому при перемещении нити вверх сила натяжения будет оставаться постоянной до тех пор, пока палочка не займёт вертикальное положение, оставаясь погружённой в воду наполовину. Совершённая при этом работа

При дальнейшем подъёме нити сила натяжения будет возрастать в зависимости от перемещения по линейному закону. Обозначив через x длину выступающей из воды части палочки, имеем

причём

Среднее значение этой силы при удалении палочки из воды

Совершённая при этом работа

Полная работа A = A1 + A2. Тогда

8 Математический маятник длиной l = 0,5 м подвешен на штативе, закреплённом на тележке, которая скатывается с наклонной плоскости. Найдите период T малых колебаний маятника относительно тележки. Считать, что масса тележки значительно больше массы маятника, а силы трения пренебрежимо малы. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2. Угол наклона плоскости к горизонту = 30°.

Решение

Рассмотрим колебания маятника в поступательно движущейся системе отсчёта, связанной с тележкой. Обозначив через g' величину ускорения свободного падения в этой системе, по формуле Гюйгенса находим, что период малых колебаний математического маятника равен

Согласно закону сложения векторов ускорений, ускорение точки в неподвижной системе равно векторной сумме ускорения точки в поступательно движущейся системе и ускорения движущейся системы. Обозначив через a ускорение тележки, получаем

g = g' + a.

Вектор a направлен вдоль наклонной плоскости и равен по модулю a = gsin. Как видно из рисунка, g'2 = (acos)2 + (g – asin)2. Отсюда g' = gcos. Тогда