В.А.ПОГОЖЕВ, К.В.ПАРФЁНОВ,
МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва

Физфак МГУ-2005

ПОКОРИ ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ!

Заочный тур

1 В высокий цилиндрический сосуд внутренним диаметром D = 7 см налито m = 50 г воды. В него медленно опускают подвешенный на нити стержень массой M=5 кг, имеющий форму прямого кругового цилиндра длиной L = 218,3 см. Плотность материала стержня = 600 кг/м³. Оси сосуда и стержня вертикальны и совпадают. Найдите изменение силы натяжения подвеса, когда расстояние между нижним основанием стержня и дном сосуда станет равным h = 3 мм, по сравнению со случаем, когда стержень ещё не касался воды.

Решение

Изменение силы натяжения подвеса после того, как стержень коснётся поверхности воды, обусловлено действием сил со стороны воды на стержень. Поскольку диаметр стержня равен толщина зазора между стенками цилиндра и стержнем равна т.к. оси стержня и цилиндра совпадают. По условию задачи, цилиндр достаточно высокий, поэтому высота столба воды, отсчитываемая от нижнего основания стержня при заданной толщине слоя воды между нижним основанием стержня и дном цилиндра (без учёта капиллярных явлений), будет равна где плотность воды _в = 1 г/см³. Поскольку в условии задачи не оговорено иное, будем считать, что цилиндр покоится относительно лабораторной системы отсчёта и эту систему можно считать инерциальной. При выполнении этого условия сила натяжения подвеса, считая величину ускорения свободного падения равной g=9,81м/с², уменьшится (без учёта сил поверхностного натяжения) на величину

Как известно, давление под искривлённой поверхностью жидкости за счёт действия сил поверхностного натяжения при условии смачивания стенок меньше (а при несмачивании – больше) давления над плоской поверхностью при тех же внешних условиях на величину, определяемую формулой Лапласа: p=(1/R₁+1/R₂), где R₁ и R₂ – так называемые главные радиусы кривизны поверхности, а – коэффициент поверхностного натяжения. В рассматриваемом случае при полном смачивании или несмачивании цилиндра и стержня R₁ = /2, R₂ = D/2. Поскольку то максимальная поправка на изменение силы натяжения подвеса, обусловленная действием сил поверхностного натяжения, при заданном погружении цилиндра должна быть равна

т.к. коэффициент поверхностного натяжения воды при температуре t = 20 °C и р = 760 мм рт.ст., согласно табличным данным, равен В этом расчёте мы не учитывали силу, с которой верхняя кромка жидкости действует на цилиндр: вниз – при смачивании и вверх – при несмачивании. Читатель может самостоятельно убедиться в том, что величина этой силы составляет долю от величины F_п.

Ответ. В зависимости от степени смачивания цилиндра и стержня водой сила натяжения подвеса может уменьшиться на любую величину от F – F_п 42,42 H до Mg 49,05 H, т.к. нить не может давить на стержень. Отметим, что в последнем случае необходимо считать, что R₁ > /2, т.е. модуль косинуса краевого угла отличен от единицы. Следует отметить, что при решении данной задачи было необходимо правильно выбрать точность числовых расчётов.

2 В схеме, изображённой на рисунке, ключи К₁ и К₂ вначале разомкнуты, а конденсаторы разряжены.   Сначала замыкают ключ К₁, затем его размыкают и замыкают ключ К₂. Зная ёмкости конденсаторов С₁ и С₂, найдите отношение установившегося напряжения на диоде D₂ к величине ЭДС батареи. Диоды считать идеальными.

Решение

После замыкания ключа К₁ конденсатор С₁ будет заряжаться, а конденсатор С₂ будет оставаться незаряженным, т.к. диод D₂ заперт. После размыкания ключа К₁ и замыкания ключа К₂ диод D₁ откроется, и конденсатор С₁ начнёт разряжаться через этот диод и катушку индуктивности L. К моменту полного разряда этого конденсатора ток через индуктивность достигнет максимума, а в следующий момент времени диод D₂ откроется, и конденсаторы будут перезаряжаться до тех пор, пока ток через катушку не станет равным нулю. Поскольку диоды считаются идеальными, то, пренебрегая, как обычно, влиянием соединительных проводов, можно утверждать, что к моменту прекращения тока через катушку напряжения на конденсаторах будут равны и достигнут максимального значения. После этого диод D₁ будет заперт, поэтому, пренебрегая токами утечки конденсаторов, следует считать, что напряжение на них изменяться не будет, а потому напряжение на диоде D₂ будет оставаться равным нулю.

Ответ. Отношение установившегося напряжения на диоде D₂ к величине ЭДС батареи равно нулю.

3 К грузу, надетому на гладкий горизонтальный стержень, с разных сторон прикреплены две одинаковые лёгкие пружины жёсткостью k. Другие концы пружин прикреплены к стенкам так, что оси пружин совпадают с осью стержня и пружины не деформированы. При этом длина каждой пружины равна L. В момент времени t = 0 правая стенка начинает двигаться влево с постоянной скоростью , скользя по стержню. Найдите массу груза, если за время перемещения стенки на расстояние L скорость груза монотонно росла и стала равной .

Решение

Из условия задачи следует, что груз будет двигаться поступательно вдоль оси стержня. Поэтому положение груза будем определять вдоль оси Х, совпадающей с осью стержня и направленной в сторону движения подвижной стенки. Начало отсчёта вдоль этой оси совместим с положением центра масс груза, которое он занимал при Поскольку до начала движения правой стенки пружины не были деформированы, можно утверждать, что эта ось покоится относительно инерциального наблюдателя. Поэтому при 0 < t , где = L/, уравнение движения груза будет иметь вид

где m – масса груза, а х – смещение центра масс (или любой другой фиксированной точки) груза к моменту времени t. Приведённое уравнение нужно решить с учётом того, что т.к. при t = 0, по условию задачи, пружины не деформированы. Обозначив получим

 (*Здесь, как это и принято в физике, производные функций по времени обозначены с помощью надлежащего числа точек, поставленных над символом этой функции.)

Поскольку k и не зависят от времени, то решение этого уравнения должно иметь вид:

где т.е. = 0, а y₀ = – C. Подставив эти результаты в уравнение для y, получим С = 0,5, а Поскольку при t = , по условию задачи, то

Ответ.

4 Телу, лежащему на плоскости, наклонённой под углом к горизонту, сообщают начальную скорость ₀, направленную горизонтально вдоль наклонной плоскости. Коэффициент трения тела о плоскость Через какое время после начала движения тело остановится, если оно не покидает плоскость?

Решение

Будем решать задачу, полагая, что плоскость покоится относительно инерциального наблюдателя, размеры тела достаточно малы, a влиянием воздуха на движение тела можно пренебречь. Выберем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда уравнение движения тела массой m в проекциях на оси выбранной системы координат можно представить в виде:

где g – величина ускорения свободного падения, F_трi – проекция силы трения скольжения на соответствующую ось, а

Из этих уравнений следует, что за малый промежуток времени dt приращение d_y имеет вид:

             (1)

а приращение кинетической энергии тела, согласно закону изменения механической энергии, равно:

Следовательно,

             (2)

Умножая уравнение (1) на sin, а уравнение (2) на cos и складывая эти произведения, получим

Поскольку при t = 0 тело имело скорость = ₀ и _y = 0, из полученного уравнения следует, что

Отсюда, учитывая, что в момент остановки скорость тела обращается в нуль, находим время движения тела.

Ответ.