И.А.Изюмов,
СОШ № 3, г. Аксай, Ростовская обл.

Весы и не только...

Куртины цветов белоснежных
Ароматами сердце пьянят,
И мудрость голов белоснежных
Мне тончайший дарит аромат.

Цветы пред очами мудрых
Облетают с уходом весны;
Но кроткие речи мудрых
Далеко сквозь вечность слышны.

Иван Жилькен. Мудрые

Физическая наука своими корнями уходит далеко в глубь веков. Первые учения, в которых более или менее последовательно рассматривались проблемы, относящиеся теперь к физике, были созданы в Древней Греции. Возникшая в недрах рабовладельческого строя греческая демократия способствовала познанию окружающего мира, свободному в большой степени от мистики и религии. Античные исследователи стремились дать цельную картину мира, объясняя все явления природы на основе небольшого числа «начал». Отсутствие строго установленных фактов древние учёные компенсировали догадками, вымыслами, логическими спекуляциями. Это направление изучения природы, получившее впоследствии название натуральной философии, являло собой первые шаги научного мышления и было необходимым этапом в развитии естествознания. Венцом греческой натуральной философии является учение Аристотеля (384–322 гг. до н.э.), произведения которого можно назвать энциклопедией древней науки [1–3].

Для эпохи эллинизма, начало которой было положено завоеваниями Александра Македонского (356–323 до н.э.), характерен переход от общих натурфилософских построений к более конкретным исследованиям в отдельных областях естествознания. Этому во многом способствовало значительное расширение круга практических знаний и опыта, вызванное образованием громадной империи Александра. Философские рассуждения, догадки, а часто и домыслы, в трудах греческих учёных постепенно уступали место доказательным методам математики. Широкое развитие военной и строительной техники делало мышление учёных более прагматичным. Отмеченные особенности науки эллинистической эпохи были присущи творчеству Архимеда (ок. 287–212 гг. до н.э.), одного из основателей статики и гидростатики [2–7].

Развитие физики как науки в современном смысле этого слова началось в XVII в., когда естествоиспытатели стали пользоваться обоими подходами древнегреческих учёных к объяснению окружающего мира: представлениями Аристотеля и его последователей, с одной стороны, и пифагорейцев и Архимеда – с другой [8, c. 73].

Рассуждения Аристотеля о времени и движении (в его книге «Физика» [1]) дополнены изящными и сложными математическими выкладками. Тем не менее математика оставалась для него не более чем инструментом познания. Основные же категории, которыми он пользовался для объяснения (причина и следствие, форма и содержание, возможность и реальность, покой и движение, непрерывность и дискретность и т.п.), основывались на здравом смысле и интуиции. Подход Архимеда, напротив, по сути своей является математическим. Справедливость аксиом, лежащих в основе его описания, обосновывается не тем, насколько они правдоподобны (критерий Аристотеля), а областью их применимости и точностью предсказаний, доступных проверке.

Математический метод Архимеда имел одно важное преимущество: там, где он был применим, сколь бы ни ограничена была область применения, теоретические предсказания убедительно подтверждались соответствующими экспериментальными данными. Иллюстрацией в этом отношении может служит простейший из законов Архимеда – закон равновесия рычажных весов с неравными плечами.

Неравноплечие весы [7, c. 75]

Рассмотрим два груза, подвешенные к невесомому стержню, который, в свою очередь, лежит на острие опоры. Согласно теории, грузы находятся в равновесии тогда и только тогда, когда они расположены по разные стороны от точки опоры и удалены от неё на расстояния, обратно пропорциональные их массам. Математически это условие записывается следующим образом:

  или  

Предположим, имея идеальные весы и набор грузов, мы хотим убедиться в справедливости теории. Мы можем начать с того, что выберем два груза и подберём расстояния d₁ и d₂, при которых они уравновесят друг друга. Это позволит определить отношение масс грузов . Разумеется, такой эксперимент нельзя считать проверкой теории, он только показывает, как определить отношение масс. Но далее, меняя расстояния d1 и d2, мы можем следить за тем, всегда ли их отношение остаётся постоянным при наличии равновесия. Из логических рассуждений это не вытекает. (Если проводить этот эксперимент с реальными весами, отношение будет меняться, поскольку стержень имеет массу.)

Итак, первый эксперимент позволяет определить отношение масс , а последующие дают уже избыточную информацию: отношение масс должно удовлетворять более общим условиям, чем те, которые необходимы для его определения. Только общая согласованность всех этих независимых условий может служить подтверждением теории.

Избыточная определённость теории проявляется и в другом отношении. Предположим, мы выбрали третий груз и измерили указанным выше способом отношения и . Из чисто логических рассуждений отнюдь не следует, что три измеренных отношения должны удовлетворять равенству   , даже если известно, что каждое из этих отношений зависит лишь от соответствующего отношения расстояний. Чтобы пояснить сказанное, предположим, что истинное условие равновесия описывается не соотношением  = , а более сложным выражением:

 = .

В этом случае при всех возможных положениях равновесия отношение будет, как и раньше, оставаться постоянным, однако равенство    выполняться уже не будет. Таким образом, закон равновесия рычажных весов является избыточно определённым в двух качественно различных отношениях [8, c. 74, 65].

Основным понятием в законах статического равновесия Архимеда является центр масс. Чтобы уравновесить две массы, соединённые невесомым стержнем, параллельным земной поверхности (ось x), нужно точку опоры поместить в точку с координатой x, которая определяется из соотношения

(m₁ + m₂)x = m₁x₁ + m₂x₂.

Это условие есть не что иное, как ещё одна формулировка закона равновесия, согласно которому массы должны располагаться по разные стороны от точки опоры и находиться от неё на расстояниях d₁ = |x₁ – x| и d₂ = |x₂ – x|, которые, как легко показать, обратно пропорциональны массам:  = . Если стержень, на котором подвешены массы, не параллелен оси x, то y – координата точки опоры y – находится из аналогичного условия. Если же стержень расположен не параллельно земной поверх-ности, то аналогичным образом находится координата z. Все три условия можно записать в более компактном виде, использовав векторное равенство:

(m₁ + m₂)R = m₁r₁ + m₂r₂,

где r₁, r₂ и R соответственно радиус-векторы первой и второй масс, а также центра масс, проведённые из произвольной точки отсчёта [7, c. 101, 102].

Архимедов закон равновесия неравноплечих весов, сформулированный Ньютоном (1643–1727) в строгом математическом виде, естественным образом приводит к понятиям момента силы и углового момента. Хотя сам Ньютон и не использовал эти понятия в явном виде, он отчётливо понимал, что полученное ещё Архимедом условие равновесия означает, что гантель, образованная двумя грузами, соединёнными невесомым стержнем, не будет вращаться относительно точки опоры. Ньютон представил, что эта точка опоры является центром колеса, на горизонтальных спицах которого подвешены грузы. Следуя приведённому ниже ходу рассуждений (изложенному в подписи под рисунком на c. 145 [8]), он доказал, что если соотношение Архимеда выполняется, то силы, действующие на колесо со стороны грузов, эквивалентны равным по величине тангенциальным силам, приложенным к ободу колеса и стремящимся вращать его в противоположных направлениях.

Одна из не дошедших до нас книг Архимеда «О рычагах», по-видимому, содержала обобщённое изложение его теории простых механизмов: рычагов, различных комбинаций блоков, винтов, ворота и т.п. Каждая из сохранившихся книг Архимеда развивает логические следствия одной-единственной идеи. На какой идее построил Архимед свою теорию простых механизмов? Вполне возможно, что это был один из самых ранних вариантов закона, который ныне именуется законом сохранения энергии.

Массы m₁ и m₂ подвешены в точках A и B, удалённых от точки опоры O невесомого горизонтального стержня AB соответственно на расстоянии d₁ и d₂. Предположим, что m₂ меньше m₁. Опишем окружность радиусом d₂ вокруг точки O и предположим, что точки A и B лежат на горизонтальных «спицах» получившегося «колеса». Из точки A проведём перпендикуляр к горизонтальной линии AB, который пересечёт окружность в точке P. Можно представить, что масса m₁ подвешена в точке P, а не в точке A, т.к., если верёвку, поддерживающую груз, закрепить в точках A и P и кусок верёвки AP убрать, то ничего не изменится. Разложим силу m1g, изображённую на рисунке вектором PS, на радиальную PR и тангенциальную PT составляющие. Действие радиальной составляющей сводится к натяжению спицы OP. Тангенциальная составляющая силы, равная m1g sin  (где – угол между радиусом OP и вертикальным направлением PS), стремится повернуть колесо против часовой стрелки. Сила m₂g, действующая на колесо со стороны массы m₂, также направлена по касательной к ободу колеса, но стремится повернуть его по часовой стрелке. Вращающий эффект тангенциальных сил одинаков во всех точках обода колеса. Поэтому колесо будет в равновесии, если действующие на него силы равны, т.е. если m₂g = m₁g sin ; но, поскольку sin  = , это условие можно записать в виде m₁d₁ = m₂d₂, что совпадает с условием равновесия разноплечих весов, полученным Архимедом [8]

Рассмотрим этот закон на примере рычага. Рычаг представляет собой те же неравноплечие весы, но работающие в «активном», а не «пассивном» режиме. Предположим, что груз массой 10 кг уравновешен грузом 100 кг посредством невесомого стержня, опирающегося на заострённую опору. Если добавить к первому грузу песчинку, он начнёт медленно опускаться, заставляя более тяжёлый груз подниматься. Из верхнего левого рисунка видно, что закон статического равновесия, согласно которому точка опоры делит соединительный стержень на части, обратно пропорциональные массам грузов, заключает в себе и архимедов закон рычага: массу m₂, расположенную на расстоянии d₂ от точки опоры рычага, можно поднять с помощью груза m1, расположенного по другую сторону от точки опоры на расстоянии d₁, если m₁d₁ = m₂d₂. Этот вывод справедлив и в том случае, если при равновесии рычаг расположен не горизонтально. Следовательно, вертикальное смещение z₂ массы m₂ и вертикальное смещение –z₁ массы m₁ удовлетворяют равенству

m₁z₁ + m₂z₂ = 0, или m₁z₁ + m₂z₂ = const.

Этому же закону следуют равновесные конфигурации простых механизмов: в каждом из них медленное опускание груза m₁ приводит к медленному подъёму груза m₂.

Примеры простых машин [8]

Поднимая груз, мы совершаем работу (в обыденном смысле этого слова). Более строго: работа определяется как произведение приложенной силы на перемещение, произошедшее под действием этой силы. В простом механизме мы имели дело с ситуацией, когда два груза первоначально покоятся, а затем начинают очень медленно перемещаться под влиянием крохотной песчинки, добавленной к одному из грузов. Следовательно, приложенная сила точно уравновешивает вес mg, и работа, совершаемая над одним из грузов при изменении его высоты на величину z, равна mgz. Когда эта величина отрицательна, т.е. когда груз опускается, говорят, что работу совершает груз. Из записанного выше уравнения следует, что в простых механизмах, близких к состоянию равновесия, работа, совершаемая одним из грузов, равна работе, совершённой над другим грузом.

Назовём величину mgz потенциальной энергией и обозначим её символом U; следовательно, U = mgz. Если обе части рассмотренного выше уравнения умножить на ускорение свободного падения g, то получим соотношение, которое можно сформулировать так: когда простой механизм работает вблизи состояния равновесия, сумма потенциальных энергий грузов остаётся постоянной:

m₁gz₁ + m₂gz₂ = U₁ + U₂ = const.

Это утверждение могло играть роль исходного принципа в архимедовой теории простых механизмов. Его обобщение на случай произвольного числа грузов, находящихся вблизи положения равновесия, вполне очевидно: суммарная потенциальная энергия грузов не изменяется при подъёме или опускании отдельных грузов [8].

Теория весов с неравными плечами иллюстрирует особенности, присущие всем современным физическим теориям и отличающие эти теории не только от теорий Аристотеля, но и от математических теорий, используемых в общественных науках. Теория Архимеда включает в себя:

• совокупность математических аксиом или законов, которые прямо или косвенно определяют понятия теории (такие, как масса и равновесие в теории весов);

• совокупность хорошо определённых процедур, позволяющих проверять предсказания теории;

• возможность стать избыточно определённой в пределах указанной области применимости.

Преимущества подхода Архимеда нам теперь очевидны. Однако в начале XVII в. представления Архимеда находили применение лишь в сравнительно узких и мало связанных между собой областях знания. Кроме геометрии сюда относились пифагорейская теория музыкальной гармонии, оптика, которая имела дело с видимыми размерами и формой геометрических объектов, а также с законами отражения света от плоских и сферических зеркал, архимедова теория простых машин (типа рычага), архимедова статика, рассматривающая равновесие геометрических тел с учётом их веса, и, наконец, гидростатика, разработав которую, Архимед смог выполнить приказ правителя Сиракуз: определить относительное содержание золота и серебра в короне. Подход Аристотеля, наоборот, применим, казалось бы, ко всем природным явлениям, и кроме того, более доступен для восприятия, т.к. словесные аргументы легче понять, чем математические формулы. По этим причинам метод Аристотеля господствовал в европейской науке на протяжении двух тысяч лет.

Литература

1. Аристотель. Сочинения в четырёх томах. Т. 3. – М., 1981.
2. Голин Г.М., Филонович С.Ф. Классики физической науки (с древнейших времён до начала ХХ в.): Справ. пособие. – М.: Высшая школа, 1989.
3. Зубов В.П. Аристотель. – М., 1963.
4. Архимед. Сочинения. – М., 1962.
5. Веселовский И.Н. Архимед. – М., 1957.
6. Житомирский С.В. Архимед. – М., 1981.
7. Лурье С.Я. Архимед. – М.–Л., 1945.
8. Лейзер Д. Создавая картину Вселенной. – М.: Мир, 1988.