О.Ю.Шведов, С.Д.Варламов, Д.Э.Харабадзе, И.Н.Горбатый, А.И.Елантьев,
В.А.Погожев, М.В.Семёнов, В.В.Палюлин, А.А.Якута, А.В.Андрианов,
Е.П.Антышев, К.В.Башевой, А.Р.Зильберман, Н.А.Пекальн

Продолжение. См. № 15, 17, 19/05

66-я Московская региональная олимпиада школьников по физике-2005

7–11-й классы

Первый теоретический тур

(окончание)

Задача 4

Незаряженные конденсаторы ёмкостями C₁ = 1 мкФ и C₂ = 2 мкФ соединили последовательно и подключили к источнику напряжения U = 4,5 В. После того как конденсаторы зарядились, металлическим пинцетом на достаточно большое время замкнули выводы конденсатора C₂, а затем пинцет убрали. Каким станет после этого заряд конденсатора C₁?

Решение

При замыкании выводов конденсатора C₂ он разряжается, а заряд конденсатора C₁ становится равным q₀ = C₁U. Обозначим через q₁ и q₂ заряды конденсаторов после того, как пинцет убрали. В соответствии с законом сохранения заряда: q₁ – q₂ = q₀, откуда

Суммарное напряжение на конденсаторах равно U:

Из этих уравнений следует, что q₂ = 0, q₁ = C₁U = 4,5 •10^–6 Кл.

Полученный результат легко объясним: исключение из электрической цепи проводника, по которому не течет ток, не может привести к изменению потенциалов и зарядов элементов этой цепи.

Задача 5

Бесконечная электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке, состоит из одинаковых батареек и одинаковых вольтметров. Показание самого левого вольтметра равно U, а показание каждого из следующих вольтметров в n раз меньше, чем у соседнего с ним слева (n > 1). Найдите ЭДС батарейки.

Решение

Обозначим через R сопротивление каждого из вольтметров, а через r и – внутреннее сопротивление и ЭДС каждой из батареек. Тогда сила тока, текущего через k-й вольтметр, равна а сила тока, текущего через k-ю батарейку, равна

где k = 0, 1, 2…

Рассмотрим замкнутый участок исходной цепи, включающий в себя k-ю батарейку и два соседних с ней вольтметра. Как следует из закона Ома, ЭДС должна равняться сумме падений напряжения на всех трёх участках этой цепи:

или

Поскольку полученное равенство должно быть справедливым для любого k, то заключённое в скобки выражение равно нулю:

Отсюда и искомая ЭДС равна

Второй теоретический тур

8-й класс

Задача 1

На длинном прямом шоссе автомобили движутся с постоянной скоростью ₁ всюду за исключением моста, на котором автомобили движутся с другой постоянной скоростью ₂. На рисунке изображён график зависимости расстояния l между двумя едущими друг за другом автомобилями от времени t. Найдите скорости ₁ и ₂, а также длину моста.

Решение

Пока оба автомобиля движутся по шоссе или по мосту, расстояние между ними остаётся постоянным: соответственно l₁ = 400 м, l₂ = 200 м. Расстояние начинает уменьшаться, когда первый автомобиль въезжает на мост. Поэтому ясно, что второй автомобиль в этот момент (t₁ = 10 с на графике) находится на расстоянии l₁ = 400 м от въезда на мост. При движении первого автомобиля по мосту расстояние между ним и вторым автомобилем, движущимся по шоссе, как видно из графика, сокращается до момента времени t₂ = 30 с на l₁ – l₂ = 200 м за время t₂ – t₁ = 20 с, т.е. они сближаются со скоростью ₁–₂=(l₁ – l₂)/(t₂ – t₁)=10 м/с. Таким образом, скорость ₁ > 10 м/с и время, за которое второй автомобиль доедет до моста, не может быть больше (400 м)/(10 м/с) = 40 с.

В момент t₂ = 30 с расстояние между автомобилями перестаёт меняться. Это означает, что они снова движутся с одинаковыми скоростями: либо первый автомобиль съехал с моста, либо второй въехал на мост. В первом случае въезд второго автомобиля на мост будет соответствовать моменту времени t₃ = 60 с, когда расстояние между автомобилями начинает вновь расти. Поскольку это произойдёт только через t₃ – t₁ = 50 с после въезда первого автомобиля на мост, первый случай невозможен, и в данных условиях реализуется вторая возможность, когда в момент t₃ = 60 с первый автомобиль съезжает с моста.

Значит, второй автомобиль проехал по шоссе l₁ = 400 м за время t₂ – t₁ = 20 с, и его скорость была равна ₁  =  l₁/(t₂ – t₁)  = 20 м/с. Скорость автомобилей на мосту, очевидно, равна ₂  =  ₁  –  (l₁ – l₂)/(t₂ – t₁)  =  20 м/с – 10 м/с = 10 м/с. Первый автомобиль преодолел мост с этой скоростью ₂ = 10 м/с за время t₃ – t₁ = 50 с, так что длина моста равна L = ₂(t₃ – t₁) = 10 м/с • 50 c = 500 м.

Задача 2

В системе, изображённой на рисунке, груз, подвешенный к лёгкому подвижному блоку, является льдинкой массой 400 г, плавающей в воде при температуре 0 °C, а второй груз изготовлен из алюминия, имеет массу 160 г и касается поверхности воды. При этом система находится в равновесии. Какое количество теплоты надо сообщить системе, чтобы алюминиевый груз оказался на дне сосуда? Вертикальные размеры грузов меньше глубины сосуда, плотности льда и алюминия равны 0,9 г/см³ и 2,7 г/см³ соответственно, нити достаточно длинные, невесомые и нерастяжимые, трения нет. Удельная теплота плавления льда равна 335 Дж/г. Силами поверхностного натяжения пренебречь.

Решение

При сообщении системе тепла лёд начнёт таять при 0 °C, и в конце концов алюминиевый груз перевесит льдинку, которая окажется в воздухе, а груз – на дне сосуда с водой. Поскольку вес алюминиевого груза в воде равен 0,16 кг•10 м/с² – 1000 кг/м³•10 м/с²•0,16 кг/(2700 кг/м³) = 1,6 Н•(1 – 1/2,7)1 Н, а подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза, это произойдёт при весе льдинки в воздухе, равном 2 Н (т.е. массе льдинки, равной 200 г). Следовательно, надо расплавить 400 г – 200 г = 200 г льда, для чего понадобится количество теплоты, равное 335 Дж/г • 200 г = 67 000 Дж = 67 кДж.

Задача 3

В электрических цепях часто используют двухпозиционные переключатели, которые могут в зависимости от положения перемычки «П» соединять друг с другом либо контакты «0» и «1», либо контакты «0» и «2». Нарисуйте схему, состоящую из двух таких переключателей, двух одинаковых лампочек и одной батарейки, чтобы при четырёх различных положениях перемычек переключателей она работала следующим образом:

1) обе лампочки не горят;
2) одна лампочка не горит, а другая горит в полный накал;
3) обе лампочки горят в полный накал;
4) обе лампочки горят вполнакала.

Известно, что лампочка горит в полный накал, если её подключить непосредственно к батарейке, а вполнакала лампочки горят в том случае, если они соединены с батарейкой последовательно. Учтите, что в сконструированной вами цепи ни при каких положениях перемычек переключателей не должно происходить короткое замыкание батарейки.

Решение

Допустимая схема соединения элементов цепи изображена на рисунке. В таблице показаны 4 возможных сочетания положений «1» или «2» перемычек переключателей А и В, дающие в результате варианты включения лампочек, указанные в условии задачи.

9-й класс

Задача 1

Велосипед имеет два одинаковых колеса, расстояние между осями которых равно L. При повороте велосипеда его переднее колесо, повёрнутое на некоторый угол относительно рамы, вращается вокруг своей оси в n раз быстрее заднего. Найдите радиусы окружностей, по которым катятся по земле переднее и заднее колёса. Наклон велосипеда и проскальзывание его колёс не учитывать.

Решение

Обозначим ось заднего колеса через А, ось переднего колеса – через В, а центр окружности радиусом RA, по которой катится по земле заднее колесо, – через О. Из рисунка следует, что во все моменты времени, поэтому переднее колесо также катится по окружности с тем же центром и радиусом R_B.

Поскольку скорости вращения колёс вокруг своих осей пропорциональны радиусам окружностей, по которым катятся колёса, то R_B/R_A=n. Следовательно, откуда

Задача 2

Барон Мюнхгаузен поднялся на привязанном воздушном шаре над полем боя на высоту H. Мимо него параллельно земле пролетает тяжёлое ядро, пущенное из лагеря неприятеля. Барон садится на ядро и летит на нём до самой земли. Найдите, под каким углом к горизонту было запущено ядро, если Мюнхгаузен приземлился на расстоянии H по горизонтали от воздушного шара. Массы ядра и барона одинаковы. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Мюнхгаузен вместе с ядром начал полёт на высоте H с горизонтальной начальной скоростью и пролетел до приземления по горизонтали такое же расстояние H. Поэтому время полёта равно а горизонтальная скорость Мюнхгаузена на ядре равнялась   Из закона сохранения импульса можно найти скорость ядра я непосредственно перед тем моментом, когда на него сел Мюнхгаузен (массы ядра и барона одинаковы и равны М): Мя = (М + М)г, откуда я = 2г =  Значит, ядро из лагеря неприятеля было запущено с такой же горизонтальной составляющей скорости гя = я = Вертикальную составляющую начальной скорости ядра легко определить из тех соображений, что она уменьшилась до нуля за время полёта ядра от земли до Мюнхгаузена: вя = Поэтому угол , под которым ядро было запущено к горизонту, равен

Задача 3

Из неиссякаемого источника через круглую трубу внутренним диаметром D = 5 см вертикально вниз вытекает струя воды. Вёдра ёмкостью V = 10 л подставляют под струю так, что верх ведра находится на H = 1,5 м ниже конца трубы. На уровне верха ведра диаметр струи равен d = 4 см. Каков расход воды у источника? Ответ выразить в вёдрах в час.

Решение

Из условия неразрывности струи и несжимаемости жидкости следует, что ₁D₂ = ₂d₂, где ₁ и ₂ – скорости струи воды при выходе из трубы и на уровне верха ведра соответственно. Из закона сохранения энергии для некоторой массы воды m при её падении от трубы до ведра следует, что

Из написанных уравнений получаем

Задача 4

Внутри прозрачного клина перпендикулярно плоскости рисунка течёт жидкость изменяющегося состава так, что её показатель преломления изменяется со временем по закону n(t) = 1 + n₀(t/), где n₀ и – постоянные величины. На этот клин перпендикулярно падает узкий луч света и, пройдя через клин, попадает на экран. Угол при вершине клина мал, толщина клина в месте падения луча равна a, расстояние между экраном и клином Найдите скорость движения светлого пятна по экрану.

Указание. При малых значениях угла a можно пользоваться приближёнными формулами:

Решение

Преломление луча света происходит на нижней поверхности клина, на которую луч падает под углом . Поскольку угол падения мал, sina , из закона преломления света следует, что угол преломления g также мал:   Таким образом, луч света после клина отклоняется на угол от первоначального направления распространения. Светлое пятно от луча на экране при этом находится на расстоянии от того места, куда луч падает в отсутствие клина. Таким образом, скорость движения светлого пятна по экрану равна

10-й класс

Задача 1

В системе, изображённой на рисунке, масса подвижного блока равна M и равномерно распределена по ободу. Нить невесома, нерастяжима и не проскальзывает по блоку. За свободный конец нити тянут с силой F вертикально вверх. Найдите ускорение груза массой m. Трением в оси блока и о воздух пренебречь.

Решение

Запишем закон изменения механической энергии для данной системы. Если ось подвижного блока движется со скоростью и нить не проскальзывает, то кинетическая энергия поступательного движения блока равна M²/2, кинетическая энергия его вращательного движения также равна M²/2, и в сумме они дают полную кинетическую энергию блока, равную M². Кинетическая энергия груза, соединённого нерастяжимой нитью с осью блока, равна m²/2. Если обозначить через h вертикальное смещение оси блока, то потенциальная энергия системы при таком смещении изменяется на (M + m)gh, а кинетическая – на (M² + m²/2). При этом конец нити смещается на расстояние 2h, и сила F совершает работу F • 2h. Таким образом, закон изменения механической энергии системы имеет вид: F • 2h = (M² + m²/2) + (M + m)gh, или

Поскольку h = t, находим ускорение оси блока и груза массой m: