С.С.Чесноков, С.Ю.Никитин, И.П.Николаев,
Н.Б.Подымова, М.С.Полякова, проф. В.И.Шмальгаузен,
физфак МГУ, г. Москва
sergeychesnokov@mail.ru

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет
вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2005 г.

I. Механика

1 Беговые дорожки легкоатлетического стадиона состоят из двух прямолинейных участков, соединённых двумя полуокружностями. Ширина дорожки d = 1 м. Линия старта проведена перпендикулярно прямолинейному участку дорожек и совпадает с линией финиша. Два бегуна, находящиеся на первой (внутренней) и второй дорожках, одновременно принимают старт и пробегают до финиша один круг. Они разгоняются равноускоренно, пока не наберут максимальную скорость ₀ = 8 м/с, одинаковую для обоих бегунов, с которой и пробегают оставшуюся часть дистанции. На сколько отличаются времена разгона бегунов, если, двигаясь каждый по середине своей дорожки, они финишируют одновременно?

Решение

Время, за которое бегун пробегает дистанцию, равно   где – время разгона, a – ускорение бегуна, t₀ – время движения с постоянной скоростью. За время разгона бегун пробегает расстояние

Поэтому

где s – длина дистанции. Таким образом,

По условию задачи, ₁ = ₂, откуда следует, что

или

(индексы относятся к обоим бегунам). Отсюда

Разность длин дистанции s₂ – s₁ равна разности длин окружностей радиусами R + d и R, т.е. s₂ – s₁ = 2d.

Окончательно:

2 Беговые дорожки легкоатлетического стадиона состоят из двух прямолинейных участков, соединённых двумя полуокружностями. Ширина дорожки d = 1 м. Линия старта проведена перпендикулярно прямолинейному участку дорожек и совпадает с линией финиша. Два бегуна, находящиеся на первой (внутренней) и второй дорожках, одновременно принимают старт и пробегают до финиша один круг. Они разгоняются равноускоренно, пока не наберут максимальную скорость ₀ = 8 м/с, одинаковую для обоих бегунов, с которой и пробегают, каждый по середине своей дорожки, оставшуюся часть дистанции, финишируя одновременно. Чему равно отношение n времени разгона второго бегуна ко времени разгона первого, если полная длина первой дорожки s₁ = 400 м, а время, за которое спортсмены пробегают всю дистанцию, = 52 с?

Решение

Используя решение задачи 1, находим, что время , за которое бегун пробегает дистанцию длиной s, равно

где a – ускорение бегуна. Отсюда

Поскольку скорость равномерного движения обоих бегунов одинакова, времена разгона бегунов обратно пропорциональны их ускорениям. Следовательно, искомая величина равна (индексы относятся к обоим бегунам). Имеем

Разность длин дистанции бегунов равна s₂ – s₁ = 2d (см. решение задачи 1).

Тогда

3 Две пружины, соединённые, как показано на рисунке, имеют жёсткости k₁ = 15 Н/м и k₂ = 10 Н/м. Пружины растянули за свободные концы в разные стороны, совершив работу A = 1 Дж. Каковы потенциальные энергии E₁ и E₂ деформации каждой из пружин по отдельности?

Решение

При растяжении пружин, соединённых последовательно, возникающие в них силы упругости одинаковы. Следовательно,

где l₁ и l₂ – абсолютные удлинения пружин. Их сумма равна общему удлинению системы: l₁ + l₂ = l. Отсюда

С другой стороны, жёсткость двух пружин, соединённых последовательно, равна Поэтому работа по их растяжению есть откуда

Потенциальные энергии деформации пружин

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

4 Шарик массой m подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 1 м. В него ударяется шарик массой 2m, летящий в плоскости рисунка со скоростью v₀ так, что вектор скорости направлен горизонтально вдоль линии, соединяющей центры шаров. Какой должна быть минимальная скорость ₀, чтобы после удара шарик массой m совершил полный оборот по окружности в вертикальной плоскости? Удар считать абсолютно упругим, силы трения не учитывать. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с².

Решение

Из условия задачи следует, что при соударении шариков сохраняется проекция импульса на горизонтальное направление и кинетическая энергия системы. Обозначив через ₁ и ₂ скорости шариков m и 2m после удара, имеем:

Так как сила натяжения нити T работу не совершает, при движении шарика m после удара сохраняется его полная механическая энергия. Для нижней и верхней точек окружности, по которой движется этот шарик, получаем

где u – скорость шарика в верхней точке. Уравнение движения шарика в верхней точке окружности имеет вид

Отсюда следует, что скорость u минимальна, если натяжение нити в верхней точке обращается в нуль, т.е.

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Продолжение в №  23