О.Ю.Шведов, С.Д.Варламов, Д.Э.Харабадзе, И.Н.Горбатый, А.И.Елантьев,
В.А.Погожев, М.В.Семёнов, В.В.Палюлин, А.А.Якута, А.В.Андрианов,
Е.П.Антышев, К.В.Башевой, А.Р.Зильберман, Н.А.Пекальн

66-я Московская региональная олимпиада школьников по физике-2005

Продолжение. См. № 15, 17/05

7–11-й классы

Первый теоретический тур (продолжение)

10-й класс (продолжение)

Задача 3

Горизонтальный закрытый теплоизолированный цилиндр разделён на две части тонким теплопроводящим поршнем, который прикреплён пружиной к одной из торцевых стенок цилиндра. Слева и справа от поршня находятся по n молей идеального одноатомного газа. Начальная температура системы T, длина цилиндра 2l, собственная длина пружины l/2, удлинение пружины в состоянии равновесия равно x. В поршне проделали отверстие. На сколько изменится температура этой системы после установления нового состояния равновесия? Теплоёмкостями цилиндра, поршня и пружины пренебречь, трения нет.

Решение

В исходном состоянии сила упругости пружины была уравновешена разностью сил давления газов, находящихся по разные стороны от поршня:

где k – жёсткость пружины. Отсюда жёсткость пружины

После того, как в поршне проделали отверстие, давления по разные стороны от поршня стали одинаковыми, и удлинение пружины стало равным нулю. При этом потенциальная энергия E = kx²/2, которая была запасена в сжатой пружине, пошла на изменение внутренней энергии газа:

Отсюда искомое изменение температуры газа

Задача 4

В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, вольтметр и батарейка идеальные. Диод при включении в обратном направлении не пропускает ток, а при включении в прямом направлении открывается при напряжении U0 (вольт-амперная характеристика диода приведена на графике). Что показывает вольтметр в этой цепи? Что он будет показывать, если изменить полярность включения диода?

    

Решение

Очевидно, что при  < U₀ тока в цепи не будет при включении диода в любом направлении, и, следовательно, в этом случае вольтметр будет показывать напряжение U₁ = .

В случае  > U₀ диод открывается, падение напряжения на нём не зависит от тока и равняется U₀. Поэтому закон Ома для всей замкнутой цепи имеет вид:

а ток в цепи равен

При этом вольтметр будет показывать напряжение

Если изменить полярность включения диода, то ток в цепи течь не будет, т.к. диод не пропускает ток в обратном направлении. Поэтому вольтметр покажет напряжение U = .

Задача 5

На горизонтальном столе стоит прозрачный цилиндр радиусом основания R и высотой H1, изготовленный из стекла (показатель преломления n = 1,5). На высоте H2 над верхним основанием цилиндра на его оси расположен точечный источник света. Найдите площадь тени, отбрасываемой цилиндром на поверхность стола.

Решение

Из чертежа ясно, что тень на столе имеет вид кольца с центром на оси цилиндра (область тени показана штриховкой). Внешняя граница кольца находится там, куда падает световой луч 1, касающийся края верхнего основания цилиндра. Из чертежа следует, что радиус внешней границы тени равен

Чтобы найти радиус R₂ внутренней границы тени, рассмотрим луч 2, который проходит через цилиндр очень близко от края его верхнего основания (масштаб на чертеже не соблюдён). Именно этот луч определяет, где на столе будет проходить граница между тенью и светом, поскольку все остальные лучи, упавшие на верхнее основание цилиндра, попадут на стол левее луча 2. Рассматриваемый луч преломляется на верхнем основании и на боковой поверхности цилиндра. Запишем для двух указанных преломлений закон Снеллиуса:

Отсюда или Последнее соотношение можно преобразовать, выразив cos  и sin a через tg  и ctg :

Отсюда

Учитывая, что ctg  = H₂/R (луч 2 проходит практически через край верхнего основания цилиндра), найдём R₂:

Из полученного выражения видно, что внутренняя граница кольцевой тени может существовать за пределами нижнего основания цилиндра только при выполнении условия Переписав его в виде   заметим, что при заданном в условии задачи значении показателя преломления n = 1,5 полученное условие не выполняется. Это означает, что при заданном значении n все световые лучи, попавшие из источника на верхнее основание цилиндра, упадут на стол в пределах нижнего основания цилиндра, т.е. второго преломления на боковой поверхности цилиндра не будет. Поэтому радиус внутренней границы тени будет равен радиусу R цилиндра, и искомая площадь тени:

11-й класс

Задача 1

Имеются два одинаковых длинных однородных лёгких бруска, которые используют для проведения экспериментов по изучению прочности древесины. В первом эксперименте деревянный брусок положили концами на спинки двух стоящих стульев, а к его середине подвесили сосуд, который начали медленно заполнять водой. Когда масса сосуда с водой достигла m = 4,8 кг, брусок сломался. Во втором эксперименте брусок положили на гладкий горизонтальный стол, к его концам прикрепили два груза малых размеров массами m₁ = 6 кг, а к середине – груз массой m₂ = 10 кг и верёвку, за которую стали тянуть с плавно возрастающей силой F, перпендикулярной бруску и направленной горизонтально. При какой величине силы F брусок сломается? Считать g = 10 м/с².

Решение

На прикреплённый к середине бруска груз массой m₂ действуют сила F со стороны верёвки и некоторая сила F₁ со стороны бруска, направленная в противоположную сторону. Так как брусок лёгкий, то сумма всех действующих на него сил должна быть равна нулю. Поэтому на каждый из прикреплённых к концам бруска одинаковых грузов массой m1 действует сила –F₁/2. Так как ускорения всех трёх грузов одинаковы, то можно записать:

Отсюда

Из условия задачи следует, что брусок ломается, когда сила, действующая на его середину со стороны груза m₂, равна F₁ = mg. С учётом этого, полагая g = 10 м/с², получаем

Задача 2

Маленькая шайба, скользившая со скоростью ₀ по гладкому льду поперёк реки, попала на горизонтальный участок берега, на котором при удалении от кромки льда на расстояние x коэффициент трения возрастает по закону  = ₀ + kx, где ₀ и k – постоянные величины. Найдите, спустя какое время после выхода на берег шайба остановится.

Решение

Шайба, попадая на берег, начинает тормозиться под действием силы трения, равной · mg. Уравнение движения шайбы имеет вид:

ma = m=  – · mg = –(₀ + kx)·mg,

откуда

Обозначая kg через 2 и вводя новую переменную получаем для x > 0 уравнение гармонических колебаний:

Решением этого уравнения является функция так что а скорость шайбы Из условия задачи следует, что при t = 0 координата шайбы x = 0, а её скорость = ₀. Поэтому

откуда

Шайба остановится при достижении «максимального отклонения» когда её скорость упадёт до нуля. Это произойдёт в момент времени t₁, когда откуда

Задача 3

Теплоизолированный закрытый вертикальный цилиндр разделён на две равные части тонким массивным теплопроводящим поршнем. Сверху и снизу от поршня, закреплённого вначале посередине цилиндра, находятся одинаковые количества идеального одноатомного газа при температуре T и давлении p. После освобождения поршня он сместился вниз на некоторое расстояние и остановился в новом положении равновесия, при котором разность давлений в нижней и верхней частях цилиндра равняется p. Найдите, на какую величину T изменилась при этом температура газа. Теплоёмкостью поршня и стенок цилиндра пренебречь.

Решение

Обозначим площадь цилиндра через S, массу поршня через m, объём цилиндра через 2V, а количество содержащегося в нём газа через 2. Тогда для газа в исходном состоянии справедливо уравнение Клапейрона–Менделеева:

         (1)

Пусть после освобождения поршня он перешёл в положение равновесия, опустившись на расстояние h. При этом температура газа увеличилась на величину
T, давление в нижней части цилиндра возросло по сравнению с исходным на некоторую величину p1, а в верхней – уменьшилось на некоторую величину
р₂. После опускания поршня уравнение Клапейрона–Менделеева для порций газа, находящихся под поршнем и над ним, имеет вид:

         (2)

         (3)

Так как поршень после опускания находится в равновесии, то

             (4)

При опускании поршня изменение его потенциальной энергии в поле силы тяжести mgh пошло на изменение внутренней энергии газов, равной Следовательно, mgh = 3RT, откуда

             (5)

Решим полученную систему, состоящую из пяти уравнений. Для этого выразим из уравнения (1) объём V, из (4) – площадь S и преобразуем уравнения (2) и (3) с учётом (5):

Деля каждое этих уравнений на выражение, стоящее в нём в квадратных скобках, и затем вычитая эти уравнения друг из друга, получим:

         (6)

Преобразуя соотношение (6), получим квадратное уравнение относительно искомой величины T:

Дискриминант этого уравнения равен

а интересующий нас положительный корень