Е.Г.Бедрицкая, Т.Н.Курдюкова (учителя математики),
Е.В.Пронина (учитель физики),
школа № 329, г. Москва

Производная в механике и электродинамике

Интегрированный урок объяснения нового материала: АЛГЕБРА+ФИЗИКА. 11-й класс

Цели урока: конкретизация знаний учащихся (закрепление понятия производной и получение временных зависимостей скорости, ускорения, заряда и силы тока), применение геометрических и алгебраических методов при решении задач; развитие логического мышления, внимания и памяти; воспитание взаимопомощи, аккуратности.

Наглядные средства обучения: плакаты на магнитной доске («Электромагнитные колебания в колебательном контуре», «Алгоритм нахождения производной», «Правила дифференцирования»), на партах – раздаточный материал с задачами.

Ход урока

1. Мотивация

(Учитель математики сообщает тему и цели урока, объясняет механический смысл производной, повторяет определение и правила вычисления производной, основные формулы дифференцирования.)

2. Объяснение нового материала

Учитель математики. Материальная точка движется по координатной прямой, причём задан закон движения x(t) – функция времени.
За промежуток от t₀ до t=t₀+t перемещение точки равно x = x(t₀ + t) – x(t₀), а её средняя скорость ср(t) = x : t.

Обычно характер движения бывает таким, что при средняя скорость практически не меняется, т.е. движение можно считать равномерным. Другими словами, значение средней скорости при стремится к некоторому вполне определённому значению, которое и называют мгновенной скоростью (t₀) этой точки в момент времени t0. Итак, ср(t) = (x : t)  (t₀) при , но, по определению производной, поэтому коротко говорят: производная координаты по времени есть скорость.

В этом состоит смысл производной в механике. Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, может быть равной 0. Это зависит от направления движения вдоль оси x.

Аналогично с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция времени t, т.е.  = (t).
А из курса физики вы знаете, что, по определению, a=/t при . С другой стороны, поэтому a = '(t)  =  x"(t).  Короче говоря, производная от скорости по времени есть ускорение, или вторая производная от координаты по времени есть ускорение.

Пример. Рассмотрим свободное падение материальной точки. Если координатную прямую направить вертикально вниз, а начальное положение материальной точки совпадает с х = 0, то, как известно из физики, координата этой точки  

Тогда зависимости скорости и ускорения точки соответственно равны a = (gt)' = g.

Мы получили законы свободного падения.

3. Промежуточное закрепление материала

(Решение задач 1, 2 из Приложения.)

4. Объяснение нового материала (продолжение)

Учитель физики. На предыдущих уроках физики мы начали рассматривать электромагнитные колебания. Вспомните, что называют электромагнитными колебаниями? (Учащиеся дают определение.)

Мы выяснили, что между явлениями и величинами в механике и электродинамике прослеживаются определённые аналогии. В электромагнитных колебаниях большую роль играет явление самоиндукции. Какому механическому явлению оно аналогично? (Учащиеся вспоминают аналогию с инерцией.) Какие величины в механике имеют аналоги в электродинамике? (один учащийся записывает на доске.)

x q     m L      Eк Wмагн

i      R     Eп Wэл

Только что вы рассмотрели математическую взаимосвязь координаты и скорости. Исходя из аналогии можно сделать вывод, что i(t) = q'(t). Этот же вывод следует из определения силы тока:

если i = const, то i = q/t;

если i меняется, то i(t) = 

Таким образом, чтобы выяснить, какова зависимость силы тока от времени, нужно знать зависимость заряда от времени и взять её производную. На последнем уроке мы получили уравнение свободных колебаний из формулы энергии контура с помощью производной. Запишите на доске это уравнение (один ученик пишет на доске):

          (1)

Напомню, что L и C – постоянные величины, параметры элементов колебательного контура.

Любое уравнение имеет решение. В данном случае решением является зависимость заряда от времени. Найдём её методом математического анализа. (В ходе беседы учащиеся, опираясь на решение задачи 2 Приложения, определяют, что заряд меняется по закону косинуса, – такие колебания называются гармоническими. По плакатам обсуждается значение в формуле члена, соответствующего амплитуде заряда: если максимальное значение косинуса равно 1, то максимальное значение заряда – амплитуде заряда qm. Далее определяют коэффициент при t в аргументе функции cos ₀t.)

Пусть q(t) = qm cos ₀t. Тогда производная этой сложной функции есть q'(t) = –qm ₀ sin 0t. Вторая производная – соответственно

  или          (2)

Сравнивая уравнения (1) и (2), получаем

Записываем зависимость заряда от времени и находим зависимость силы тока от времени с помощью производной (величина qm0, стоящая перед синусом, – это максимальное значение силы тока Im, т.е. амплитуда силы тока):

I(t) = q'(t) = –qm₀sin₀t = –Imsin₀t = Imcos(₀t + /2).

5. Закрепление материала

(Решение задач № 3, 4 из Приложения.)

6. Подведение итогов урока

(Обсуждение с учащимися значения производной при изучении физики, оценка их работы на уроке.)

7. Домашнее задание

§ 22, 30 из учебника «Физика-11» Г.Я.Мякишева, Б.Б.Буховцева. – М.: Просвещение, 2005;  № 5–7 из Приложения.

Приложение 1. Пусть точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t3 + t – 1. Найдите ускорение в момент времени t. В какой момент времени ускорение равно 1/с2? (х – в м, t – в с.) 2. Координата маятника часов изменяется по закону x(t) = 0,6 cos100t. Найдите зависимость скорости и ускорения от времени. 3. Заряд конденсатора в контуре меняется по закону q(t) = 10–6 cos104 t. Определите зависимость силы тока от времени, амплитуды заряда и силы тока. (q – в Кл, t – в с.) 4. В колебательном контуре с катушкой индуктивностью 0,2 мГн и конденсатором ёмкостью 800 мкФ происходят колебания. Конденсатору сообщили начальный заряд 2 мкФ. Запишите зависимость заряда и силы тока от времени для данного контура. Каково максимальное значение силы тока в контуре? 5. Человек удаляется со скоростью 8 км/ч от подножия башни высотой 60 м. Какова скорость его удаления от вершины башни, когда он находится на расстоянии 80 м от её основания? 6. По условию задачи 3 определите индуктивность катушки, если ёмкость конденсатора 1 нФ. 7. По прямой движутся две материальные точки, по законам x1(t) = 4t2 – 3 и x2(t) = t3. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?

Елена Гелиевна Бедрицкая – выпускница МГПИ им. В.И.Ленина 1987 г., педстаж 19 лет, учитель математики высшей квалификационной категории. Награждена медалью «В память 850-летия Москвы» и почётной грамотой Минобрнауки РФ. Увлекается компьютерной графикой и рукоделием. Дочь учится в 8-м классе.

Татьяна Николаевна Курдюкова – выпускница Коломенского пединститута 1980 г., педстаж 26 лет, учитель математики 1-й квалификационной категории, награждена почётной грамотой ЮВАО г. Москвы. Татьяна Николаевна – многодетная мать, хобби – воспитание внуков.

Екатерина Вячеславовна Пронина – выпускница МГПИ им. В.И.Ленина 1989 г., педстаж 16 лет, учитель физики 1-й квалификационной категории. Награждена медалью «В память 850-летия Москвы» и почётной грамотой Минобрнауки РФ. Сын учится в 8-м классе.