В.Б.Дроздов,
г. Рязань
Производная упрощает решение
В теоретическом туре 37-й Всероссийской
олимпиады по физике девятиклассникам была
предложена красивая в своей физической
естественности задача «Удаляющийся камень»:
«Мальчик бросил камень под некоторым углом 
к горизонту.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите,
при каких значениях угла бросания камень всё
время (до падения на землю) будет удаляться от
мальчика».
Возможное решение, приведённое, например, в журнале «Физика в школе» 2004, № 2, с. 71–72, носит явно олимпиадный характер, ибо требует сообразительности и нестандартных рассуждений.
Задача 1. Движение камня описывается следующими соотношениями:
Камень удалится на максимальное
расстояние от места бросания, когда вектор
скорости будет перпендикулярен радиус-вектору r.
При этом должно быть выполнено соотношение 
Подставляя сюда выражения для x, y, 
x и y, получим квадратное уравнение
относительно времени t:
Если дискриминант этого уравнения
отрицателен, то не существует такого момента
времени t, когда векторы 
и r перпендикулярны друг другу, а
следовательно, брошенный камень будет всё время
удаляться от места бросания. Отсюда
следовательно, 
Однако десятиклассникам, знакомым с производной, можно предложить более простое решение. Решение основной задачи кинематики для камня имеет вид:
Из условия следует, что расстояние r (t) от камня до мальчика
должно всё время возрастать. Требуем, чтобы производная была положительна в любой момент времени движения:
Так как квадратный корень всегда больше (или равен) нуля, то больше нуля должна быть и производная:
или, т.к. t > 0,
т.е. должна всегда быть положительной.
Дискриминант квадратного уравнения f(t) – 0 должен быть отрицательным, только тогда парабола f(t), ветки которой направлены вверх, не пересечёт горизонтальную ось координат.
Итак:
откуда 
и 