В.В.Альминдеров, А.М.Попов, О.Б.Поповичева,
МИК «Глюон», г. Москва

IX международный турнир «Компьютерная физика-2005»

Турнир – одно из направлений деятельности нашего клуба с целью поиска, отбора и поддержки интеллектуально-одарённых детей, проявляющих интерес к фундаментальным наукам и информатике. Одна из основных задач – поиск наиболее эффективных форм и средств активизации творческой активности высокомотивированных детей в области математики, физики и информатики. Все задачи предполагается решать с помощью численного моделирования на компьютере, поэтому на турнир приглашаются команды по 5 школьников, знающих физику и имеющих навыки работы на IBM PC. Турнир проводится в виде интеллектуального соревнования.

Традиционно заочный тур IX турнира начался в сентябре 2004 г. рассылкой (по заявкам) задания «Электродинамика в микрополости» в лицеи, школы и гимназии. Предварительно задание было опубликовано в журнале «Квант» № 5/2004 и в газете «Физика» № 40/2004, что значительно увеличило число команд-участников. Шесть лучших команд были приглашены на очный тур соревнований, который проходил 6–13 февраля 2005 г. в г. Пущино. В проведении турнира приняли участие Пущинский научный Центр РАН, МГУ им. М.В.Ломоносова и Межрегиональная ассоциация «Женщины в науке и образовании». МИК «Глюон» и оргкомитет турнира выражает благодарность компаниям «Физикон», «Кирилл и Мефодий», «1С», фонду «Династия» и журналу «Квант», газете «Физика» за помощь в проведении турнира и поддержку одарённых школьников и талантливых студентов.

Открытие турнира состоялось в Институте теоретической и экспериментальной биофизики Пущинского научного центра РАН, где с докладами по актуальным вопросам современной науки выступили ведущие учёные. В этот же день участники посетили ряд научных лабораторий и ознакомились с историей наукограда Пущино. На следующий день состоялся турнир заочных заданий. Каждой команде было предложено выступить с докладом о научных результатах перед командами оппонента и рецензента. Научная дискуссия завершилась победой команды лицея № 1511 при МИФИ. В день отдыха состоялась экскурсия в дом-музей А.П.Чехова.

Подготовка к соревнованиям очного тура традиционно началась с лекции проф. МГУ А.М.Попова «Основы физики колебаний», после которой команды получили задание очного тура «Одномерный кристалл». В течение последующих 36 ч команды решали поставленную задачу. На защите заочного задания отличилась команда ФМЛ № 1580 при МГТУ им. Н.Э.Баумана, представившая наиболее развёрнутое и глубокое решение и ставшая победителем этого тура. По итогам двух туров абсолютным победителем турнира стала команда лицея № 1511 при МИФИ, получившая переходящий приз «Хрустальный глобус». Дипломами I степени и памятными знаками были награждены команды лицея № 1511 при МИФИ и ФМЛ № 1580 при МГТУ, дипломы II степени получили команды Самарского медико-технического лицея (МТЛ) и Самарского аэрокосмического лицея, а дипломы III степени – гимназия № 56 г. Ижевска и команда из Аничкова лицея, г. Санкт-Петербург. Участникам соревнований было вручено множество призов от спонсоров и организаторов турнира.

В рамках турнира был проведён очередной конкурс компьютерного творчества, включающий четыре направления: разработка интернет-сайта, компьютерное моделирование, прикладное программное обеспечение, презентации и дизайн, а также конкурс «Виртуальная физическая лаборатория», разработанный компанией «Физикон». Четырнадцать команд из Москвы, Тольятти, Екатеринбурга, Ижевска, Самары и Казахстана боролись за победу. Лучшей стала команда РЦ «Глюон», г. Тольятти. В интеллектуальной командной компьютерной игре победителем в очередной раз стала команда самарского МТЛ.

Приглашаем региональные центры, гимназии и школы, работающие с одарёнными детьми, принять участие в Х турнире «Компьютерная физика» в январе–феврале 2006 г. в Дубне (Московская область). Заявки на участие присылайте по адресу:

• МИК «Глюон», г. Москва, 115522, Пролетарский пр., 15/2;

• тел. (095) 517-8014;

• факс. (095) 396-8227,

• e-mail: gluon@ yandex.ru

• см. также www. informika.ru/text/goscom/

Заочный тур

Электродинамика в полости. Разбор задания* (*Формулировку задачи и задания см. в № 40/04, с. 6. Решение представлено командой лицея № 1511 при МИФИ (Блохин Юрий, Салахутдинов Сергей, Бураков Владимир, Щербина Лариса, Макаров Андрей).

Рассмотрим простейшую механическую модель явления: два математических маятника (грузики массой m каждый, висящие на длинных невесомых нерастяжимых нитях длиной l каждая), связанные между собой пружиной жёсткостью k. Будем считать, что пружина находится в ненапряжённом состоянии, если оба маятника находятся в положении равновесия.

Для малых углов отклонения система уравнений движения маятников может быть записана в виде:

где – квадрат частоты собственных колебаний маятников, x₁, x₂ – координаты первого и второго маятника. Эта система уравнений описывает связанные колебания. Нетрудно видеть, что наличие связи обеспечивает обмен энергией между маятниками. По своей математической структуре эта система уравнений аналогична уравнениям, описывающим атом и электромагнитное поле в микрополости. Это значит, что математически похожими получатся и решения.

В простейшем случае взаимодействия атома с одной резонансной полевой модой в системе происходит колебательный процесс, сопровождающийся передачей энергии возбуждения от атома к электромагнитному полю и обратно. Начальная колебательная динамика атомной подсистемы представлена на рис. 2, а, а полевой подсистемы – на рис. 2, б. На больших временах наблюдается модуляция амплитуд колебаний подсистем (биения), происходящая с частотой (рис. 3). В слабо нерезонансном случае: – биения также наблюдаются, однако сопровождаются неполным перетеканием энергии от атома к полю и обратно (рис. 4 для случая ). В случае сильного «нерезонанса»: – осцилляторы практически не взаимодействуют.

 

Рис. 2. Начальные колебания атома (а) и электромагнитного поля (б) в резонансном случае на больших временах

Рис. 3. Амплитуды колебаний атома (сплошная кривая) и электромагнитного поля (точки) в резонансном случае

Рис. 4. Амплитуды колебаний атома (сплошная кривая) и электромагнитного поля (точки) в нерезонансном случае

При увеличении размера микрополости наблюдается уменьшение расстояния между соседними полевыми модами, что постепенно приводит к необходимости учёта взаимодействия атома сразу с несколькими полевыми модами.

В случае наличия в микрополости двух атомов между ними происходит взаимодействие через возбуждаемое ими электромагнитное поле, сопровождающееся перераспределением энергии в пределах системы. В случае, если начальные значения энергии атомов одинаковы, временная динамика системы существенным образом зависит от соотношения начальных фаз атомных осцилляторов. Изменения амплитуд колебаний атомных и полевой подсистем во времени, рассчитанные для трёх различных разностей фаз приведены на рис. 5. Случай соответствует сфазированным атомным колебаниям и сопровождается наиболее эффективным возбуждением электромагнитного поля в полости. Случай описывает колебания атомов в противофазе, в результате электромагнитное поле в полости не возбуждается.

Очный тур

Одномерный кристалл

Простейшая модель твёрдого тела (кристалла) состоит в следующем: имеется цепочка атомов массой m, попарно взаимодействующих между собой с некоторой силой, зависящей от расстояния между ними. Равновесное расстояние между атомами равно R₀. В общем случае энергия взаимодействия атомов между собой определяется потенциалом Морзе

         (1)

где D – это энергия разрыва связи между атомами, – параметр потенциала Морзе.

При малых отклонениях от равновесия, когда выполняется условие

         (2)

потенциал Морзе (1) представляется в виде U(R) = D²(R – R₀)², и величина действующей силы оказывается пропорциональна отклонению межатомного расстояния от равновесного значения, т.е. справедлив закон Гука. Приближённо можно говорить, что простейшая модель кристалла – это последовательность частиц, связанных между собой пружинками жёсткостью k = D².

Исследования физических процессов в кристаллах можно проводить в рамках рассмотренной модели. В состоянии термодинамического равновесия атомы совершают колебания вблизи положения равновесия, амплитуда которых определяется температурой системы. Для описания системы необходимо написать систему уравнений Ньютона, описывающую динамику движения атомов кристалла. Необходимо задать начальные условия для движения каждого атома, т.е. начальные смещения и скорости, чтобы направления и величины скоростей давали полный импульс равным нулю.

Задание

1. Получите зависимость от времени кинетической и потенциальной энергий каждого атома в случае, когда начальные условия для колебаний атомов кристалла заданы в области справедливости закона Гука, т.е. выполняется условие (2). Объясните полученные результаты. Определите температуру системы.

2. Получите зависимость от времени кинетической и потенциальной энергий каждого атома в области ангармоничности потенциала Морзе. Определите температуру системы.

3. Предположите, что цепочка атомов состоит наполовину сначала из атомов малой массы m, а затем из атомов большой массы М. Выполните для такого кристалла задание 1.

Рекомендуемые параметры: число атомов в цепочке n = 10–20; масса атома m = 12 а.е.
(1 а.е. = 1,6 •10^–24 г; М = 10m; R₀ = 2; 1 = 10^–8 cм; D = 4 эВ (1 эВ = 1,6 • 10^–19 Дж); = 10⁷ см^–1.

Разбор задания

Уравнения, описывающие колебания атом в цепочке, записываются в виде,

i = 2, …, n –1,          (3)

где F_ii±1 – сила, действующая между i-м и (i±1)-м атомами. В случае первого и последнего атомов в правой части уравнения (1) имеется только одно из слагаемых. Выражение для силы получается в результате дифференцирования потенциала Морзе (1).

В гармоническом приближении уравнение (3) имеет вид:

        (4)

Здесь k определяется выражением (2), а координата каждого атома отcчитывается от положения его равновесия.

Система уравнений (4) интегрировалась численно методом Эйлера, число атомов в кристалле изменялось от 10 до 400. Для описания динамики кристалла к уравнению (4) необходимо задать начальные условия. В случае, если в начальный момент времени первый атом смещён из положения равновесия (x₁ = R₀/2), а остальные атомы находятся в положении равновесия (скорости всех атомов равны нулю), в цепочке атомов возбуждается волна, распространяющаяся от одного конца к другому и обратно (рис. 1).

Рис. 1. Координата первого атома в цепочке из 100 атомов

Как видно, колебательное возмущение, распространяющееся по кристаллу, постепенно делокализуется и возникают неупорядоченные колебания всей цепочки атомов. Система оказывается близка к состоянию «термодинамического равновесия». При этом средние значения кинетической энергии всех атомов равны друг другу. Кроме того, средние значения кинетической <E_k(t)> и потенциальной энергий <E_p(t)> атомов равны друг другу (рис. 2).

Рис. 2. Отношение средних значений кинетической и потенциальной энергий для 10-го атома

В случае ангармонических колебаний в системе также устанавливается «термодинамическое равновесие», однако средние значения кинетической и потенциальной энергий атомов оказываются неравными. В качестве примера на рис. 3 показано соотношение <E_k(t)>/<E_p(t)>, полученное при условии, что в начальный момент времени смещения атомов от равновесия выбирались случайным образом из интервала (0, 0.2R₀).

Рис. 3. Отношение <E_k(t)>/<E_p(t)> в случае ангармоничности потенциала

Особенностью колебаний цепочки, состоящей из атомов разной массы, является то, что характерные амплитуды колебаний лёгких и тяжёлых атомов существенно отличаются. Поскольку в процессе эволюции системы происходит установление «термодинамического равновесия», характерные амплитуды колебаний атомов разной массы находятся в соотношении (рис. 4).

Рис. 4. Мгновенное значение координаты в цепочке из лёгких и тяжёлых атомов в некоторый момент времени после достижения состояния «термодинамического равновесия»

Решение представлено командой лицея № 1580 при МГТУ (Вельц Сергей, Быкадорова Наталья, Бузинин Николай, Глущенко Константин).